三维设计广东文人教版2014高考数学第一轮复习考案 生活中的优化问题举例 文 3页

第27课 生活中的优化问题举例 ‎ ‎1．（2019江门一模）某产品生产成本与产量（）的函数关系式为，销售单价与产量的函数关系式为．‎ ‎（1）产量为何值时，利润最大？‎ ‎（2）产量为何值时，每件产品的平均利润最大？‎ ‎【解析】（1）销售收入． ‎ 利润（）．‎ ‎∴产量时，利润最大． ‎ ‎（2）每件产品的平均利润． ‎ 令，解得得．‎ ‎∵当时，，单调递增；‎ 当时，，单调递减． ‎ ‎∵，且，‎ ‎∴产量时，每件产品的平均利润最大． ‎ 答：当产量时，每件产品的平均利润最大． ‎ ‎2．（2019福建高考）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量（单位：千克）与销售价格（单位：元/千克）满足关系式，其中，为常数，已知销售价格为元/千克时，每日可售出该商品千克。‎ ‎　　（1）求的值 ‎　　（2）若该商品的成本为元/千克，试确定销售价格的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．‎ ‎【解析】（1）∵时，，‎ 由函数式，‎ 得，∴．‎ ‎（2）由（1）知，‎ ‎∴每日的销售量为，．‎ 每日销售该商品所获得的利润为 于是，当变化时，，的变化情况如下表：‎ ‎（3,4）‎ ‎4‎ ‎（4,6）‎ ‎0‎ 极大值 由上表可以看出，是函数在区间内的极大值点，也是最大值点．‎ ‎∴当时，函数取得最大值．‎ 因此当销售价格为元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．‎ ‎3．（2019西城一模）如图，抛物线与轴交于两点，点在抛物线上（点在第一象限），∥．记，梯形面积为． ‎ ‎（1）求面积以为自变量的函数式；‎ ‎（2）若，其中为常数，且，求的最大值．‎ ‎【解析】（1）依题意，点的横坐标为，点的纵坐标为． ‎ 点的横坐标满足方程，解得，舍去． ‎ 由点在第一象限，得．‎ ‎∴关于的函数式为 ，． ‎ ‎（2）由 及，得．‎ 记，‎ 则． ‎ 令，得． ‎ ‎ ① 若，即时，与的变化情况如下：‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ ‎∴当时，取得最大值，且最大值为． ‎ ‎② 若，即时，恒成立，‎ ‎∴的最大值为． ‎ ‎ 综上，时，的最大值为；‎ 时，的最大值为．‎ ‎4．（2019江苏高考）请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为‎60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，、在上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设cm．‎ ‎（1）若广告商要求包装盒侧面积（cm）最大，试问应取何值？‎ ‎（2）若广告商要求包装盒容积（cm）最大，试问应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．‎ ‎【解析】（1）根据题意有 ‎∴包装盒侧面积最大．‎ ‎（2）根据题意有，‎ 当时，当时，递增；当时，递减，‎ ‎∴当时，取极大值也是最大值．‎ 此时，包装盒的高与底面边长的比值为．‎ 即包装盒容积（cm）最大, 此时包装盒的高与底面边长的比值为．‎