2017年全国高考理科数学试题及答案--全国卷1 13页

绝密★启用前 2017 年普通高等学校招生全国统一考试 全国卷 3 理科数学 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡 相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划 掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合 A={x|x<1}，B={x| }，则( ) A． B． C． D． 2．如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心 成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( ) A． B． C． D． 3．设有下面四个命题 ：若复数 满足 ，则 ； ：若复数 满足 ，则 ； ：若复数 满足 ，则 ； ：若复数 ，则 . 其中的真命题为( ) A． B． C． D． 4．记 为等差数列 的前 项和．若 ， ，则 的公差为( ) A．1 B．2 C．4 D．8 5．函数 在 单调递减，且为奇函数．若 ，则满足 的 的取值范围是 A． B． C． D． 6． 展开式中 的系数为( ) A．15 B．20 C．30 D．35 7．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为 2，俯视 图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为( ) { | 0}A B x x= < A B = R { | 1}A B x x= > A B = ∅ 1 4 π 8 1 2 π 4 1p z 1 z ∈R z ∈R 2p z 2z ∈R z ∈R 3p 1 2,z z 1 2z z ∈R 1 2z z= 4p z ∈R z ∈R 1 3,p p 1 4,p p 2 3,p p 2 4,p p nS { }na n 4 5 24a a+ = 6 48S = { }na ( )f x ( , )−∞ +∞ ( 11)f = − 21 ( ) 1xf −− ≤ ≤ x [ 2,2]− [ 1,1]− [0,4] [1,3] 6 2 1(1 )(1 )xx + + 2x 3 1x < A．10 B．12 C．14 D．16 8．右面程序框图是为了求出满足 3n−2n>1000 的最小偶数 n，那么在 和 两个空白框中，可以分别填入 A．A>1 000 和 n=n+1 B．A>1 000 和 n=n+2 C．A 1 000 和 n=n+1 D．A 1 000 和 n=n+2 9．已知曲线 C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+ )，则下面结论正确的是( ) A．把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得到曲线 C2 B．把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，得到曲线 C2 C．把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得到曲线 C2 D．把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，得到曲线 C2 10．已知 F 为抛物线 C：y2=4x 的焦点，过 F 作两条互相垂直的直线 l1，l2，直线 l1 与 C 交于 A、B 两点，直线 l2 与 C 交于 D、E 两点，则|AB|+|DE|的最小值为( ) A．16 B．14 C．12 D．10 11．设 xyz 为正数，且 ，则( ) A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z 12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件。为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题 获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列 1，1，2，1，2，4，1，2，4， 8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是 20，接下来的两项是 20，21，再接下来的三项是 20，21，22，依此类推。 求满足如下条件的最小整数 N：N>100 且该数列的前 N 项和为 2 的整数幂。那么该款软件的激活码是( ) A．440 B．330 C．220 D．110 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．已知向量 a，b 的夹角为 60°，|a|=2，|b|=1，则| a +2 b |= _______ . ≤ ≤ 2π 3 π 6 π 12 1 2 π 6 1 2 π 12 2 3 5x y z= = 14．设 x，y 满足约束条件 ，则 的最小值为_________ . 15．已知双曲线 C： （a>0，b>0）的右顶点为 A，以 A 为圆心，b 为半径做圆 A，圆 A 与双曲线 C 的一条 渐近线交于 M、N 两点。若∠MAN=60°，则 C 的离心率为________。 16．如图，圆形纸片的圆心为 O，半径为 5 cm，该纸片上的等边三角形 ABC 的中心为 O。D、E、F 为圆 O 上的点， △DBC，△ECA，△FAB 分别是以 BC，CA，AB 为底边的等腰三角形。沿虚线剪开后，分别以 BC，CA，AB 为折痕 折起△DBC，△ECA，△FAB，使得 D、E、F 重合，得到三棱锥。当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位： cm3）的最大值为_______。 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必须 作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17．（12 分）△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知△ABC 的面积为 （1）求 sinBsinC; （2）若 6cosBcosC=1，a=3，求△ABC 的周长. 18.（12 分）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，AB//CD，且 . （1）证明：平面 PAB⊥平面 PAD； 2 1 2 1 0 x y x y x y + ≤  + ≥ −  − ≤ 3 2z x y= − 2 2 2 2 1x y a b − = 2 3sin a A 90BAP CDP∠ = ∠ =  （2）若 PA=PD=AB=DC， ，求二面角 A-PB-C 的余弦值. 19．（12 分） 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取 16 个零件，并测量其尺寸（单位： cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布 ． （1）假设生产状态正常，记 X 表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在 之外的零件数，求 及 的数学期望； （2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程 可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． （ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸： 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 经计算得 ， ，其中 为抽取的第 个 零件的尺寸， ． 用样本平均数 作为 的估计值 ，用样本标准差 作为 的估计值 ，利用估计值判断是否需对当天的生 产过程进行检查？剔除 之外的数据，用剩下的数据估计 和 （精确到 0.01）． 附：若随机变量 服从正态分布 ，则 ， ， ． 90APD∠ =  2( , )N µ σ ( 3 , 3 )µ σ µ σ− + ( 1)P X ≥ X ( 3 , 3 )µ σ µ σ− + 16 1 1 9.9716 i i x x = = =∑ 16 16 2 2 2 2 1 1 1 1( ) ( 16 ) 0.21216 16i i i i s x x x x = = = − = − ≈∑ ∑ ix i 1,2, ,16i = ⋅⋅⋅ x µ ˆµ s σ ˆσ ˆ ˆ ˆ ˆ( 3 , 3 )µ σ µ σ− + µ σ Z 2( , )N µ σ ( 3 3 ) 0.997 4P Zµ σ µ σ− < < + = 160.997 4 0.959 2= 0.008 0.09≈ 20.（12 分）已知椭圆 C： （a>b>0），四点 P1（1,1），P2（0,1），P3（–1， ），P4（1， ）中恰 有三点在椭圆 C 上. （1）求 C 的方程； （2）设直线 l 不经过 P2 点且与 C 相交于 A，B 两点。若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点. 21.（12 分）已知函数 ae2x+(a﹣2) ex﹣x. （1）讨论 的单调性； （2）若 有两个零点，求 a 的取值范围. （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22．[选修 4―4：坐标系与参数方程]（10 分） 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （θ 为参数），直线 l 的参数方程为 . （1）若 a=−1，求 C 与 l 的交点坐标； （2）若 C 上的点到 l 的距离的最大值为 ，求 a. 23．[选修 4—5：不等式选讲]（10 分） 2 2 2 2 =1x y a b + 3 2 3 2 )f x =（ ( )f x ( )f x 3cos , sin , x y θ θ =  = 4 , 1 , x a t ty t = +  = − （ 为参数） 17 已知函数 f（x）=–x2+ax+4，g(x)=│x+1│+│x–1│. （1）当 a=1 时，求不等式 f（x）≥g（x）的解集； （2）若不等式 f（x）≥g（x）的解集包含[–1，1]，求 a 的取值范围. 2017 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学参考答案 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. A 2．B 3．B 4．C 5．D 6．C 7．B 8．D 9．D 10．A 11．D 12．A 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13． 14．-5 15． 16． 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必须 作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17．（12 分）△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知△ABC 的面积为 （1）求 sinBsinC; （2）若 6cosBcosC=1，a=3，求△ABC 的周长. 解：（1） 由题意可得 ， 化简可得 ， 根据正弦定理化简可得： 。 （2） 由 ， 因此可得 ， 将之代入 中可得： ， 化简可得 ， 利用正弦定理可得 ， 2 3sin a A 21 sin2 3sinABC aS bc A A∆ = = 2 22 3 sina bc A= 2 2 22sin 3sin sinCsin sin sinC 3A B A B= ⇒ = ( ) 2sin sinC 1 23 cos cos sin sinC cos cos1 2 3cos cos 6 B A A B B B C A B C π  = ⇒ = − + = − = ⇒ =  = 3B C π= − 2sin sinC 3B = 23 1sin sin sin cos sin 03 2 2C C C C C π − = − =   3tan ,3 6 6C C B π π= ⇒ = = 3 1sin 3sin 23 2 ab BA = = × = 2 3 2 3 3 315cm 同理可得 ， 故而三角形的周长为 。 18.（12 分） 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，AB//CD，且 . （1）证明：平面 PAB⊥平面 PAD； （2）若 PA=PD=AB=DC， ，求二面角 A-PB-C 的余弦值. （1）证明： , 又 ,PA、PD 都在平面 PAD 内， 故而可得 。 又 AB 在平面 PAB 内，故而平面 PAB⊥平面 PAD。 （2）解： 不妨设 ， 以 AD 中点 O 为原点，OA 为 x 轴，OP 为 z 轴建立平面直角坐标系。 故而可得各点坐标： ， 因此可得 ， 假设平面 的法向量 ，平面 的法向量 ， 故而可得 ，即 ， 同理可得 ，即 。 因此法向量的夹角余弦值： 。 很明显，这是一个钝角，故而可得余弦为 。 19．（12 分） 3c = 3 2 3+ 90BAP CDP∠ = ∠ =  90APD∠ =  / / ,AB CD CD PD AB PD⊥ ∴ ⊥ ,AB PA PA PD P∴ ⊥ ∩ = AB PAD⊥ 2PA PD AB CD a= = = = ( ) ( ) ( ) ( )0,0, 2 , 2 ,0,0 , 2 ,2 ,0 , 2 ,2 ,0P a A a B a a C a a− ( ) ( ) ( )2 ,0, 2 , 2 ,2 , 2 , 2 ,2 , 2PA a a PB a a a PC a a a= − = − = − −   PAB ( )1 , ,1n x y= PBC ( )2 , ,1n m n= 1 1 2 2 0 1 2 2 2 0 0 n PA ax a x n PB ax ay a y  ⋅ = − = ⇒ = ⋅ = − − = ⇒ =     ( )1 1,0,1n = 2 2 2 2 2 0 0 22 2 2 0 2 n PC am an a m n PB am an a n  ⋅ = − + − = ⇒ = ⋅ = + − = ⇒ =     2 20, ,12n  =      1 2 1 3cos , 332 2 n n< >= = ⋅   3 3 − 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取 16 个零件，并测量其尺寸（单 位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布 ． （1）假设生产状态正常，记 X 表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在 之外的零件数，求 及 的数学期望； （2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产 过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． （ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸： 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 经计算得 ， ，其中 为抽取的第 个 零件的尺寸， ． 用样本平均数 作为 的估计值 ，用样本标准差 作为 的估计值 ，利用估计值判断是否需对当天的生 产过程进行检查？剔除 之外的数据，用剩下的数据估计 和 （精确到 0.01）． 附：若随机变量 服从正态分布 ，则 ， ， ． 解：（1） 由题意可得，X 满足二项分布 ， 因此可得 （2） ○1 由（1）可得 ，属于小概率事件， 故而如果出现 的零件，需要进行检查。 ○2 由题意可得 ， 故而在 范围外存在 9.22 这一个数据，因此需要进行检查。 此时： ， 。 20.（12 分） 已知椭圆 C： （a>b>0），四点 P1（1,1），P2（0,1），P3（–1， ），P4（1， ）中恰有三点在椭 圆 C 上. 2( , )N µ σ ( 3 , 3 )µ σ µ σ− + ( 1)P X ≥ X ( 3 , 3 )µ σ µ σ− + 16 1 1 9.9716 i i x x = = =∑ 16 16 2 2 2 2 1 1 1 1( ) ( 16 ) 0.21216 16i i i i s x x x x = = = − = − ≈∑ ∑ ix i 1,2, ,16i = ⋅⋅⋅ x µ ˆµ s σ ˆσ ˆ ˆ ˆ ˆ( 3 , 3 )µ σ µ σ− + µ σ Z 2( , )N µ σ ( 3 3 ) 0.997 4P Zµ σ µ σ− < < + = 160.997 4 0.959 2= 0.008 0.09≈ ( ) ( ) 161 1 0 1 0.9974 1 0.9592 0.0408P X P X≥ = − = = − = − = ( )~ 16,0.0016X B ( )16,0.0016 16 0.0016 0.0256EX == × = ( )1 0.0408 5%P X ≥ = < ( 3 , 3 )µ σ µ σ− +      9.97, 0.212 3 9.334, 3 10.606µ σ µ σ µ σ= = ⇒ − = + = ( )9.334,10.606 9.97 16 9.22 10.0215xµ × −= = = ( )15 1 1 0.0915 i x xσ = = − ≈∑ 2 2 2 2 =1x y a b + 3 2 3 2 （1）求 C 的方程； （2）设直线 l 不经过 P2 点且与 C 相交于 A，B 两点。若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点. 解：（1） 根据椭圆对称性可得，P1（1,1）P4（1， ）不可能同时在椭圆上， P3（–1， ），P4（1， ）一定同时在椭圆上， 因此可得椭圆经过 P2（0,1），P3（–1， ），P4（1， ）， 代入椭圆方程可得： ， 故而可得椭圆的标准方程为： 。 （2）由题意可得直线 P2A 与直线 P2B 的斜率一定存在， 不妨设直线 P2A 为： ,P2B 为： . 联立 ， 假设 ， 此时可得： ， 此时可求得直线的斜率为： ， 化简可得 ，此时满足 。 ○1 当 时，AB 两点重合，不合题意。 ○2 当 时，直线方程为： ， 即 ，当 时， ，因此直线恒过定点 。 21.（12 分） 已知函数 ae2x+(a﹣2) ex﹣x. 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 2 1 31, 1 24b aa = + = ⇒ = 2 2 14 x y+ = 1y kx= + ( )1 1y k x= − + ( )2 22 2 1 4 1 8 0 14 y kx k x kxx y = + ⇒ + + = + = ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y ( ) ( ) ( ) ( ) 22 2 22 2 8 1 1 4 18 1 4, , ,4 1 4 1 4 1 1 4 1 1 k kk kA Bk k k k  + − + − −     + + + + + +    ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 4 1 1 4 4 14 1 1 8 1 8 4 14 1 1 AB k k kky yk kx x k kk − + −− ++ +−= = +− −− ++ + ( )2 1 1 2ABk k = − + 1 2k ≠ − 1 2k = − 1 2k ≠ − ( ) 2 2 2 2 1 8 1 4 4 1 4 11 2 k ky x k kk − = − + + + + + ( ) ( ) 2 2 4 4 1 1 2 k k x y k + − + = − + 2x = 1y = − ( )2, 1− )f x =（ （1）讨论 的单调性； （2）若 有两个零点，求 a 的取值范围. 解： （1）对函数进行求导可得 。 ○1 当 时， 恒成立，故而函数恒递减 ○2 当 时， ，故而可得函数在 上单调递减，在 上单调递增。 （2）函数有两个零点，故而可得 ，此时函数有极小值 ， 要使得函数有两个零点，亦即极小值小于 0， 故而可得 ，令 ， 对函数进行求导即可得到 ，故而函数恒递增， 又 ， ， 因此可得函数有两个零点的范围为 。 （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22．[选修 4―4：坐标系与参数方程]（10 分） 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （θ 为参数），直线 l 的参数方程为 . （1）若 a=−1，求 C 与 l 的交点坐标； （2）若 C 上的点到 l 的距离的最大值为 ，求 a. 解： 将曲线 C 的参数方程化为直角方程为 ，直线化为直角方程为 （1）当 时，代入可得直线为 ，联立曲线方程可得： ， ( )f x ( )f x ( ) ( ) ( )( )2' 2 2 1 1 1x x x xf x ae a e ae e= + − − = − + 0a ≤ ( ) ( )( )' 1 1 0x xf x ae e= − + ≤ 0a > ( ) ( )( ) 1' 1 1 0 lnx xf x ae e x a = − + > ⇒ > 1,ln a  −∞   1ln ,a  +∞   0a > 1 1ln ln 1f aa a   = − +   ( )1ln 1 0 0a aa − + < > ( ) 1g ln 1a a a = − + ( ) 2 1g' 0aa a += > ( )g 1 0= ( ) 1g ln 1 0 1a a aa ∴ = − + ⇒ < < ( )0,1a ∈ 3cos , sin , x y θ θ =  = 4 , 1 , x a t ty t = +  = − （ 为参数） 17 2 2 19 x y+ = 1 114 4y x a= − + − 1a = 1 3 4 4y x= − + 2 2 1 3 4 4 9 9 y x x y  = − +  + = 解得 或 ，故而交点为 或 （2）点 到直线 的距离为 ， 即： ， 化简可得 ， 根据辅助角公式可得 ， 又 ，解得 或者 。 23．[选修 4—5：不等式选讲]（10 分） 已知函数 f（x）=–x2+ax+4，g(x)=│x+1│+│x–1│. （1）当 a=1 时，求不等式 f（x）≥g（x）的解集； （2）若不等式 f（x）≥g（x）的解集包含[–1，1]，求 a 的取值范围. 解： 将函数 化简可得 （1） 当 时，作出函数图像可得 的范围在 F 和 G 点中间， 联立 可得点 ，因此可得解集为 。 （2） 即 在 内恒成立，故而可得 恒成立， 根据图像可得：函数 必须在 之间，故而可得 。 21 25 24 25 x y  = −  = 3 0 x y =  = 21 24,25 25  −   ( )3,0 3cos , sin , x y θ θ =  = 1 114 4y x a= − + − 3cos 4sin 4 17 17 ad θ θ+ + −= ≤ 3cos 4sin 4 17aθ θ+ + − ≤ ( ) ( )17 4 3cos 4sin 17 4a aθ θ− − − ≤ + ≤ − − ( )13 5sin 21a aθ ϕ− − ≤ + ≤ − ( )5 5sin 5θ ϕ− ≤ + ≤ 8a = − 16a = ( ) 1 1g x x x= + + − ( ) 2 1 2 1 1 2 1 x x g x x x x > = − ≤ ≤ − < − 1a = ( ) ( )f x g x≥ 2 2 4 y x y x x =  = − + + 17 1, 17 12G  − −    17 11, 2  −−    ( ) ( )f x g x≥ [ ]1,1− 2 24 2 2x ax x ax− + + ≥ ⇒ − ≤ y ax= 1 2,l l 1 1a− ≤ ≤