高考数列大题综合含详细答案部分 12页

数列高考大题专题（理科）‎ ‎(2012江苏)已知各项均为正数的两个数列和满足：．‎ ‎1.设，求证：数列是等差数列；‎ ‎2.设，且是等比数列，求和的值．‎ 解：‎ ‎（1）‎ ‎∵‎ ‎（2）‎ ‎∵，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∵是各项都为正数的等比数列 ‎∴设其公比为，则 ‎①当时，‎ ‎∵‎ ‎∴数列是单调递增的数列，必定存在一个自然数，使得 ‎②当时 ‎∵‎ ‎∴数列是单调递减的数列，必定存在一个自然数，使得 由①②得：‎ ‎∴‎ ‎∵‎ 得：，且 ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴数列是公比为的等比数列 ‎∵‎ ‎∴‎ ① 当时 数列是单调递增的数列，这与矛盾 ② 当时 数列是常数数列，符合题意 ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎（2010江苏）19.（本小题满分16分）‎ 设各项均为正数的数列的前n项和为，已知，数列是公差为的等差数列.‎ ‎（1）求数列的通项公式（用表示）‎ ‎（2）设为实数，对满足的任意正整数，不等式都成立，求证： 的最大值为.‎ ‎（2011高考）（本小题满分12分）‎ 等比数列的各项均为正数，且 ‎1.求数列的通项公式.‎ ‎2.设 求数列的前项和.‎ 解：‎ ‎（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，由得所以。有条件可知a>0,故。‎ 由得，所以。故数列{an}的通项式为an=。‎ ‎（Ⅱ ）‎ 故 所以数列的前n项和为 ‎（辽宁理17） ‎ 已知等差数列{an}满足a2=0，a6+a8=-10‎ ‎（I）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（II）求数列的前n项和．‎ 解：（I）设等差数列的公差为d，由已知条件可得 解得 故数列的通项公式为 ………………5分 （II）设数列，即，‎ 所以，当时，‎ ‎ ‎ 所以 综上，数列 ………………12分 ‎ （天津理20） ‎ 已知数列与满足：， ，且 ‎．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）设，证明：是等比数列；‎ ‎（I）解：由 ‎ 可得 又 ‎（II）证明：对任意 ‎ ①‎ ‎ ②‎ ‎ ③‎ ‎②—③，得 ④‎ 将④代入①，可得 即 又 因此是等比数列.‎ ‎3.（17）（本小题满分12分）‎ 设数列满足 （1） 求数列的通项公式；‎ （2） 令，求数列的前n项和 ‎（17）解：‎ ‎（Ⅰ）由已知，当n≥1时，‎ ‎。‎ 而 ‎ 所以数列{}的通项公式为。‎ ‎（Ⅱ）由知 ‎ ①‎ 从而 ‎ ②‎ ‎①-②得 ‎ 。‎ 即 ‎ ‎ 17．（本小题满分12分） ‎ 已知数列{an}满足a1=1,a2=3,an+2=3an+1-2an（n∈N+）‎ ‎ （1）证明：数列{an+1-an }是等比数列；‎ ‎ （2）求数列{an}的通项公式 ‎（1）证明：‎ 是以为首项，2为公比的等比数列。‎ ‎ （2）解：由（1）得[来源:学科网]‎ ‎ 17．（本小题满分12分）‎ 在数列中，，，．‎ ‎（1）证明数列是等比数列；‎ ‎（2）设数列的前项和，求的最大值。‎ ‎17.证明：（Ⅰ）由题设，得，．‎ 又，所以数列是首项为，且公比为的等比数列．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，于是数列的通项公式为．所以数列的前项和．‎ ‎= 故n=1，最大0.‎ ‎.(2011·东莞期末)(本小题满分14分)‎ 已知数列的各项满足：，.‎ ‎(1) 判断数列是否成等比数列；‎ ‎（2）求数列的通项公式；‎ 解：（1）‎ ‎ ， ‎ ‎ ． ‎ ‎ 当时，，则数列不是等比数列； ‎ 当时，，则数列是公比为的等比数列． ‎ ‎（2）由（1）可知当时，，‎ ‎ ． ‎ ‎ 当时，，也符合上式， ‎ ‎ 所以，数列的通项公式为．‎ ‎(2011·佛山一检)（本题满分14分）‎ 已知正项等差数列的前项和为，若，且成等比数列.‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）记的前项和为，求.‎ 解：（Ⅰ）∵，即，∴，所以，--------------------------------2‎ 又∵，，成等比数列， ‎ ‎∴，即， --------------------------------4分 解得，或（舍去），‎ ‎∴，故； ---------------------------------------7分 ‎（Ⅱ）法1：，‎ ‎∴， ①‎ ‎①得， ②‎ ‎①②得，‎ ‎∴． ---------------------------------------14分 法2：，‎ 设， ①‎ 则， ②‎ ‎①②得，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎9.（2011·三明三校一月联考）（本小题满分12分）已知等差数列和正项等比数列，，， ＝ ‎ ‎（1）求数列、的通项公式 ‎（2）若，求数列的前项和. ‎ 解（1）依题意， 为等差数列，设其公差为； 为正项等比数列，设其公比为，则可知 ‎ ‎∵ ∴可知2,即 又 ∴ ，解得 故 …………………………………………………………………3分 由已知＝＝4, ∴ ，即 ‎∴ ‎ 所以 ， ………………………………………………………………6分 ‎（2）∵ ＝‎ ‎∴ ＝‎ ‎∴ ＝ ‎ 以上两式相减，得－＝………………………9分 ‎ ＝＝‎ ‎∴ ＝………………………………………………………………12分 ‎10.(2011·杭州一检)（本题满分14分）设数列的前项和为,且，‎ ‎（1）证明:数列是等比数列；‎ ‎（2）若数列满足，，求数列的通项公式．‎ 解：（1）证：因为，则，‎ ‎ 所以当时，，‎ ‎ 整理得． 5分 ‎ 由，令，得，解得．‎ ‎ 所以是首项为1，公比为的等比数列． 7分 ‎（2）解：因为，‎ ‎ 由，得． 9分 ‎ 由累加得 ‎ ＝，（）， ‎ ‎ 当n=1时也满足，所以． ‎ ‎（2011·泰安高三期末）（本小题满分12分）‎ 在数列{an}中，a1=2，an+1=an+cn（c是常数，n=1,2,3…）,且a1, a2,a3,成公比不为1的等比数列.‎ ‎（Ⅰ）求c的值；‎ ‎（Ⅱ）求{an}的通项公式.‎ 解：（1）a1=2,a2=2+c,a3=2+‎3c,（1分）‎ 因为a1,a2,a3成等比数列，‎ 所以（2+c）2=2(2+‎3c),‎ 解得c=0或c=2.‎ 当c=0时，a1=a2=a3，不符合题意舍去 故c=2. ‎ ‎（2）当n≥2时，由于 a2 – a1 =c，‎ a3 – a2 =‎2c，‎ an – an-1=（n-1）c, ‎ 所以an –a1 =［1+2+…+（n-1）］c=‎ 又a1=2，c=2，故an=2+n(n -1)= n 2- n +2(n =2,3,…).‎ 当n=1时，上式也成立，‎ 所以an= n 2- n +2(n =1,2,…). ‎ ‎（2011·温州十校期末联考）（本题满分14分）已知等差数列满足前2项的和为5，前6项的和为3.‎ ‎ （1）求数列的通项公式；‎ ‎ （2）设，求数列的前项和。‎ 解： (1)设等差数列的首项为，公差为d,则 ————2分 ‎ ———4分 ————6分 ‎（2） ————7分 ‎  ‚ -‚，得 —11分 —13分 ‎ -------------14分 学子 http://www.wxckt.cn 特级教师王新敞 wxckt@126.c