高考试题数学理新课标卷 解析版 18页

绝密★启封并使用完毕前 ‎ 试题类型：A ‎2015年普通高等学校招生全国统一考试（新课标1卷）‎ 数学理 注意事项：‎ ‎ 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。‎ ‎ 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。‎ ‎ 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。 ‎ ‎ 4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。‎ 第Ⅰ卷 一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ （1） 设复数z满足=i，则|z|=‎ ‎（A）1 （B） （C） （D）2‎ ‎【答案】A 考点：1.复数的运算；2.复数的模.‎ ‎（2）sin20°cos10°-con160°sin10°=‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：原式=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°=，故选D.‎ 考点：诱导公式；两角和与差的正余弦公式 ‎（3）设命题P：nN，>，则P为 ‎ （A）nN, > （B） nN, ≤‎ ‎ （C）nN, ≤ （D） nN, =‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：:，故选C.‎ 考点：特称命题的否定 ‎（4）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为 ‎ （A）0.648 （B）0.432 （C）0.36 （D）0.312‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为=0.648，故选A.‎ 考点：独立重复试验；互斥事件和概率公式 ‎（5）已知M（x0，y0）是双曲线C：上的一点，F1、F2是C上的两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是 ‎（A）（-，） （B）（-，）‎ ‎（C）（，） （D）（，）‎ ‎【答案】A 考点：向量数量积；双曲线的标准方程 ‎（6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（ ）‎ ‎ A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛 ‎【答案】B 考点：圆锥的体积公式 ‎（7）设D为ABC所在平面内一点，则（ ）‎ ‎（A） (B) ‎ ‎（C） (D) ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由题知=，故选A.‎ 考点：平面向量运算 ‎ (8) 函数=的部分图像如图所示，则的单调递减区间为 ‎(A)（）,k (b)（）,k ‎(C)（）,k (D)（）,k ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：由五点作图知，，解得，，所以，令，解得＜＜，，故单调减区间为（，），，故选D.‎ 考点：三角函数图像与性质 ‎（9）执行右面的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=‎ ‎（A）5 （B）6 （C）7 （D）8‎ ‎ ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：执行第1次，t=0.01,S=1,n=0,m==0.5,S=S-m=0.5,=0.25,n=1,S=0.5＞t=0.01,是，循环，‎ 执行第2次，S=S-m=0.25,=0.125,n=2,S=0.25＞t=0.01,是，循环，‎ 执行第3次，S=S-m=0.125,=0.0625,n=3,S=0.125＞t=0.01,是，循环，‎ 执行第4次，S=S-m=0.0625,=0.03125,n=4,S=0.0625＞t=0.01,是，循环，‎ 执行第5次，S=S-m=0.03125,=0.015625,n=5,S=0.03125＞t=0.01,是，循环，‎ 执行第6次，S=S-m=0.015625,=0.0078125,n=6,S=0.015625＞t=0.01,是，循环，‎ 执行第7次，S=S-m=0.0078125,=0.00390625,n=7,S=0.0078125＞t=0.01,否，输出n=7，故选C.‎ 考点：程序框图 （10） 的展开式中，的系数为 ‎（A）10 （B）20 （C）30（D）60‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：在的5个因式中，2个取因式中剩余的3个因式中1个取，其余因式取y,故 的系数为=30，故选 C.‎ 考点：排列组合；二项式定理 （11） 圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示。若该几何体的表面积为16 + 20，则r=‎ ‎（A）1（B）2（C）4（D）8‎ ‎【答案】B 考点：简单几何体的三视图；球的表面积公式；圆柱的测面积公式 ‎12. 设函数=,其中a1，若存在唯一的整数x0，使得0，则的取值范围是（ ）‎ A.[-，1） B. [-，） C. [，） D. [，1）‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：设=，，由题知存在唯一的整数，使得在直线的下方.‎ 因为，所以当时，＜0，当时，＞0，所以当时，=，‎ 当时，=-1，，直线恒过（1,0）斜率且，故，且，解得≤＜1，故选D.‎ 考点：导数的综合应用 第II卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答。第（22）题~第（24）题未选考题，考生根据要求作答。‎ 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分 ‎（13）若函数f(x)=xln（x+）为偶函数，则a= ‎ ‎【答案】1‎ 考点：函数的奇偶性 ‎（14）一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在x轴上，则该圆的标准方程为 。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：设圆心为（，0），则半径为，则，解得，故圆的方程为.学优高考网[来源:学优高考网]‎ 考点：椭圆的几何性质；圆的标准方程 ‎（15）若x,y满足约束条件，则的最大值为 .‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ 试题分析：作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A（1,3）与原点连线的斜率最大，故的最大值为3.‎ 考点：线性规划解法 ‎（16）在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB的取值范围是 ‎ ‎【答案】（，）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：如图所示，延长BA，CD交于E，平移AD，当A与D重合与E点时，AB最长，在△BCE中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，BC=2，由正弦定理可得，即，解得=，平移AD ，当D与C重合时，AB最短，此时与AB交于F，在△BCF中，∠B=∠BFC=75°，∠FCB=30°，由正弦定理知，，即，解得BF=，所以AB的取值范围为（，）.‎ 考点：正余弦定理；数形结合思想 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎（17）（本小题满分12分）‎ ‎ 为数列{}的前n项和.已知＞0，=.‎ ‎（Ⅰ）求{}的通项公式：‎ ‎（Ⅱ）设 ,求数列}的前n项和 ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）先用数列第n项与前n项和的关系求出数列{}的递推公式，可以判断数列{}是等差数列，利用等差数列的通项公式即可写出数列{}的通项公式；（Ⅱ）根据（Ⅰ）数列{}的通项公式，再用拆项消去法求其前n项和. 学优高考网 试题解析：（Ⅰ）当时，，因为，所以=3，‎ 当时，==，即，因为，所以=2，‎ 所以数列{}是首项为3，公差为2的等差数列，‎ 所以=；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，=，‎ 所以数列{}前n项和为= =.‎ 考点：数列前n项和与第n项的关系；等差数列定义与通项公式；拆项消去法 ‎（18）如图，，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC。[来源:学优高考网]‎ ‎（1）证明：平面AEC⊥平面AFC ‎（2）求直线AE与直线CF所成角的余弦值 ‎[来源:学优高考网]‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）‎ ‎∴，∴EG⊥FG，‎ ‎∵AC∩FG=G，∴EG⊥平面AFC，‎ ‎∵EG面AEC，∴平面AFC⊥平面AEC. ……6分 ‎（Ⅱ）如图，以G为坐标原点，分别以的方向为轴，y轴正方向，为单位长度，建立空间直角坐标系G-xyz，由（Ⅰ）可得A（0，－，0），E(1,0, )，F（－1,0，），C（0，，0），∴=（1，，），=（-1，-，）.…10分 故.‎ 所以直线AE与CF所成的角的余弦值为. ……12分 考点：空间垂直判定与性质；异面直线所成角的计算；空间想象能力，推理论证能力 ‎（19）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费x1和年销售量y1（i=1,2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值。‎ ‎46.6‎ ‎56.3‎ ‎6.8‎ ‎289.8‎ ‎1.6‎ ‎1469‎ ‎108.8‎ 表中w1 =1, ， =‎ ‎（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）‎ ‎（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；‎ ‎（Ⅲ）已知这种产品的年利率z与x、y的关系为z=0.2y-x.根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：‎ （i） 年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？‎ （ii） 年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？‎ 附：对于一组数据,，……，,其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：‎ ‎，‎ ‎【答案】（Ⅰ）适合作为年销售关于年宣传费用的回归方程类型（Ⅱ）（Ⅲ）46.24‎ ‎∴关于的回归方程为.……6分 考点：非线性拟合；线性回归方程求法；利用回归方程进行预报预测；应用意识 ‎（20）（本小题满分12分）‎ 在直角坐标系xoy中，曲线C：y=与直线(＞0)交与M,N两点，‎ ‎（Ⅰ）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？说明理由。‎ ‎【答案】（Ⅰ）或（Ⅱ）存在 ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）先求出M,N的坐标，再利用导数求出M,N.（Ⅱ）先作出判定，再利用设而不求思想即将代入曲线C的方程整理成关于的一元二次方程，设出M,N的坐标和P点坐标，利用设而不求思想，将直线PM，PN的斜率之和用表示出来，利用直线PM，PN的斜率为0,即可求出关系，从而找出适合条件的P点坐标.‎ 试题解析：（Ⅰ）由题设可得，，或，.‎ ‎∵，故在=处的到数值为，C在处的切线方程为 ‎，即.‎ 故在=-处的到数值为-，C在处的切线方程为 ‎，即.‎ ‎ 故所求切线方程为或. ……5分 ‎（Ⅱ）存在符合题意的点，证明如下：‎ ‎ 设P（0，b）为复合题意得点，，，直线PM，PN的斜率分别为.‎ ‎ 将代入C得方程整理得.‎ ‎ ∴.‎ ‎ ∴==.‎ ‎ 当时，有=0，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，‎ ‎ 故∠OPM=∠OPN，所以符合题意. ……12分 考点：抛物线的切线；直线与抛物线位置关系；探索新问题；运算求解能力 ‎（21）（本小题满分12分）‎ 已知函数f（x）= ‎ ‎(Ⅰ)当a为何值时，x轴为曲线 的切线；‎ ‎（Ⅱ）用 表示m,n中的最小值，设函数 ，讨论h（x）零点的个数 ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）当或时，由一个零点；当或时，有两个零点；当时，有三个零点.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）先利用导数的几何意义列出关于切点的方程组，解出切点坐标与对应的值；（Ⅱ）根据对数函数的图像与性质将分为研究的零点个数，若零点不容易求解，则对再分类讨论.‎ 试题解析：（Ⅰ）设曲线与轴相切于点，则，，即，‎ 解得.‎ 因此，当时，轴是曲线的切线. ……5分 ‎（Ⅱ）当时，，从而，‎ ‎ ∴在（1，+∞）无零点.‎ ‎ 当=1时，若，则，,故=1是的零点；若，则，,故=1不是的零点.‎ 当时，，所以只需考虑在（0,1）的零点个数.‎ ‎(ⅰ)若或，则在（0,1）无零点，故在（0,1）单调，而，，所以当时，在（0，1）有一个零点；当0时，在（0，1）无零点.‎ ‎ (ⅱ)若，则在（0，）单调递减，在（，1）单调递增，故当=时，取的最小值，最小值为=.学优高考网 ① 若＞0，即＜＜0，在（0,1）无零点.‎ ② 若=0，即，则在（0,1）有唯一零点；‎ ③ 若＜0，即，由于，，所以当时，在（0,1）有两个零点；当时，在（0,1）有一个零点.…10分 综上，当或时，由一个零点；当或时，有两个零点；当时，有三个零点. ……12分 考点：利用导数研究曲线的切线；对新概念的理解；分段函数的零点；分类整合思想 请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。‎ ‎（22）（本题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，AB是O的直径，AC是O的切线，BC交O于E ‎ ‎ （I） 若D为AC的中点，证明：DE是O的切线；‎ ‎（Ⅱ）若，求∠ACB的大小. ‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）60°‎ 考点：圆的切线判定与性质；圆周角定理；直角三角形射影定理 ‎（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，直线:=2，圆：,以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。‎ （I） 求，的极坐标方程；‎ （II） 若直线的极坐标方程为，设与的交点为, ,求的面积 ‎ ‎【答案】（Ⅰ）,（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）用直角坐标方程与极坐标互化公式即可求得，的极坐标方程；（Ⅱ）将将代入即可求出|MN|，利用三角形面积公式即可求出的面积.‎ 试题解析：（Ⅰ）因为，‎ ‎∴的极坐标方程为，的极坐标方程为.……5分 ‎ （Ⅱ）将代入，得，解得=，=，|MN|=－=，‎ 因为的半径为1，则的面积=.‎ 考点：直角坐标方程与极坐标互化；直线与圆的位置关系 ‎（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 ‎ 已知函数=|x+1|-2|x-a|，a>0.‎ ‎（Ⅰ）当a=1时，求不等式f(x)>1的解集；‎ ‎（Ⅱ）若f(x)的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围 ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（2，+∞）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）利用零点分析法将不等式f(x)>1化为一元一次不等式组来解；（Ⅱ）将化为分段函数，求出与轴围成三角形的顶点坐标，即可求出三角形的面积，根据题意列出关于的不等式，即可解出的取值范围.学优高考网[来源:学优高考网gkstk]‎ 考点：含绝对值不等式解法；分段函数；一元二次不等式解法[来源:学优高考网gkstk]‎