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- 2021-05-14 发布
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江苏省启东中学2006年高考数学复习最后一讲
各位学生:
今天我从高考的三种题型来研究2006年高考题的走向及解题过程中的信息收集、加工、处理.
一、 选择题
(一)高考题的走向为向量
1、设非零向量,,,若= + + ,则||的取值范围是( )
A.[0,1] [0,2] [0,3] [-3,3]
分析:(Ⅰ)信息的收集:①非零向量,②是单位向量,③||0;
(Ⅱ)信息的加工:①分母不为0,②向量、、的起点移至原点,终点视为在单位圆上;
(Ⅲ)信息的处理:①向量、、方向相同时||最大为3,②向量、、的终点均匀分布在单位圆上时||最小为0.故选C.
点评:本题涉及知识点有3个:单位向量,向量运算,模长范围确定;关键是能否看出是单位向量,方法中隐含数形结合、动态分析. 本题体现向量应用的灵活性,. 事实上,则||,还可以求的模的取值范围.
2、O是平面上一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P满点,则P点的轨迹一定通过的( ) (A)重心 (B)垂心 (C)内心 (D)外心
分析:(Ⅰ)信息的收集:
(Ⅱ)信息的加工:
(Ⅲ)信息的处理:两边乘以可得.
(二)高考题的走向为函数
3、已知函数f(x)=的定义域为(- ,),当|xi|< (i=1,2,3)时,f(x1)+f(x2)<0, f(x2)+f(x3)<0, f(x3)+f(x1)<0,则有 ( )
A、 x1+x2+x3>0 x1+x2+x3<0 C、f(x1+x2+x3)≥0 f(x1+x2+x3)≤0
分析:(Ⅰ)信息的收集:①f(x)=,②定义域为(- ,),③f(x1)+f(x2)<0.
(Ⅱ)信息的加工:①f(x)=是奇函数,②在(- ,)上f(x)=为单调增函数,③f(x1) < —f(x2).
(Ⅲ)信息的处理:由(Ⅱ)中的①、③可得x1+x2<0,同理可得x2+x3<0、x1+ x3<0,从而得x1+x2+x3<0,故选B.
点评:本题涉及知识点有2个:复合函数的奇偶性,在区间上的单调性,关键是能否从函数的性质入手.本题体现函数性质的综合应用,.实际上由f(x)= 为奇函数,在(- ,)上为单调增函数,若x1+x2+x3<0,|xi|< (i=1,2,3),则f(x1+x2+x3) <0.
4、已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象如图所示,若M=|a-b+c|+|2a+b|,N=|a+b+c|+|2a-b|,则M与N的大小关系是 ( )
(A)M≥N (B)M≤N (C)M<N (D)M>N
分析:(Ⅰ)信息的收集:(Ⅱ)信息的加工:
(Ⅲ)信息的处理: 答案:C
5、已知两个函数和的定义域和值域都是集合{1,2,3},其定义如下表.
x
1
2
3
f(x)
2
3
1
x
1
2
3
g(x)
1
3
2
填写下列的表格,其三个数依次为( )
x
1
2
3
g (f(x))
A. 3,1,2 B . 2,1,3 C. 1,2,3 D. 3,2,1
分析:(Ⅰ)信息的收集:(Ⅱ)信息的加工:(Ⅲ)信息的处理: 答案:D
6、已知y=f(2x+1)是偶函数,则函数y=f(2x)的图象的对称轴是( )
A.x=1 B.x=2 C.x=- D.x=
分析:(Ⅰ)信息的收集:(Ⅱ)信息的加工:(Ⅲ)信息的处理: 答案:D
(三)高考题的走向为立几中的体积
7、在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,Q是对角线A1C上的点,且PQ=,则三棱锥P-BDQ的体积为( ) (A)(B) (C)(D)不确定
分析:(Ⅰ)信息的收集:(Ⅱ)信息的加工:(Ⅲ)信息的处理: 答案:B
(四)高考题的走向为立几中的概率
8、以正方体的任意三个顶点为顶点作三角形,从中随机地取出两个三角形,则这两个三角形不共面的概率为 ( ) A. B. C. D.
解析:此问题可以分解成五个小问题:
(1)由正方体的八个顶点可以组成个三角形;
(2)正方体八个顶点中四点共面有12个平面;
(3)在上述12个平面中每个四边形中共面的三角形有个;
(4)从56个三角形中任取两个三角形共面的概率;
(5)从56个三角形中任取两个三角形不共面的概率,利用对立事件的概率的公式,得故选A.
(五)高考题的走向为正弦定理、余弦定理应用
9、在三角形ABC中,如果则(的值等于( )
A. B. C. D.
分析:(Ⅰ)信息的收集:(Ⅱ)信息的加工:(Ⅲ)信息的处理: 答案:B
(六)高考题的走向为考查排列组合
10、、身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人,身穿蓝颜色衣服的有一人,现将这五人排成一行,要求穿相同颜色衣服的人不能相邻,则不同的排法共有( )
A、48种 B、72种 C、78种 D、84种
分析:(Ⅰ)信息的收集:(Ⅱ)信息的加工:(Ⅲ)信息的处理: 答案:A
二、填空题
11、三次函数的图像过原点,且与轴相切于非原点的一点,若时有极值-1,则=
分析:(Ⅰ)信息的收集,①三次函数的图像过原点;②与轴相切于非原点的一点;③时有极值-1.
(Ⅱ)信息的加工,①令;②令切点A,点A既在原函数图像上又在导函数图像上;③点B在原函数图像上,点C在导函数图像上.
(Ⅲ)信息的处理,①,
得;②-1、是的两根,既-1,得;
③,得,从而得.
点评:本题涉及知识点有4个:函数与图像,导数,切点,极值点.关键是能否看出特殊的切点A既在原函数图像上又在导函数图像上,而极值点B在原函数图像上,对应点C在导函数图像上.本题注重导数的综合应用.
12、已知直线与圆有公共点,且横坐标纵坐标均为整数,则这样的直线共有 .
分析:因为两个整数的平方和为50,这两个数的平方分别为1、49,25、25,故圆上有整数点(1,7),(1,-7),(5,5),(5,-5),(7,1),(7,-1),(-1,7),(-1,-7),(-5,5),(-5,-5),(-7,-1),(-7,1),由于这12
个点任三个点都不共线,所以直线过其中一点或两点即可,又直线不过原点,因而这样的直线共有
13、在公差为的等差数列中,若是的前项和,则数列也成等差数列,且公差为,类比上述结论,相应地在公比为的等比数列中,若是数列的前项积,则有= 。
答案:
14、同学们都知道,在一次考试后,如果按顺序去掉一些高分,那么班级的平均分将降低;
反之,如果按顺序去掉一些低分,那么班级的平均分将提高. 这两个事实可以用数学语 言描述为:若有限数列 满足,则
(结论用数学式子表示).
答案:和
15、在4×□+9×□=60的两个□中,分别填入两自然数,使它们的倒数和最小,应分别填上 和 。
答案:设两数为x、y,即4x+9y=60,又=
≥,等于当且仅当,且4x+9y=60,即x=6且y=4时成立,故
应分别有6、4。
16、在正三棱锥中,侧棱侧面,侧棱,则此正三棱锥的外接球的表面积为 答案:
三、解答题
17、已知等比数列{an}的前n项和为Sn.
(Ⅰ)若Sm,Sm+2,Sm+1成等差数列,证明am,am+2,am+1成等差数列;
(Ⅱ)写出(Ⅰ)的逆命题,判断它的真伪,并给出证明.
证 (Ⅰ) ∵Sm+1=Sm+am+1,Sm+2=Sm+am+1+am+2.由已知2Sm+2=Sm+Sm+1,∴ 2(Sm+am+1+am+2)=Sm+(Sm+am+1),∴am+2=-am+1,即数列{an}的公比q=.
∴am+1=-am,am+2=am,∴2am+2=am+am+1,∴am,am+2,am+1成等差数列.
(Ⅱ) (Ⅰ)的逆命题是:若am,am+2,am+1成等差数列,则Sm,Sm+2,Sm+1成等差数列.
设数列{an}的公比为q,∵am+1=amq,am+2=amq2.
由题设,2am+2=am+am+1,即2amq2=am+amq,即2q2-q-1=0,∴q=1或q=-.
当q=1时,A≠0,∴Sm, Sm+2, Sm+1不成等差数列. 逆命题为假.
18、下面的一组图形为某一四棱锥S-ABCD的侧面与底面。
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
(1)请画出四棱锥S-ABCD的示意图,是否存在一条侧棱垂直于底面?如果存在,请给出证明;如果不存在,请说明理由;
(2)若SA面ABCD,E为AB中点,求二面角E-SC-D的大小;
(3)求点D到面SEC的距离。
(1)存在一条侧棱垂直于底面(如图)
S
A
B
C
D
E
F
G
H
证明:且AB、AD是面ABCD内的交线SA底面ABCD
(2)分别取SC、SD的中点G、F,连GE、GF、FA,
则GF//EA,GF=EA,AF//EG
而由SA面ABCD得SACD,
又ADCD,CD面SAD,
又SA=AD,F是中点,
面SCD,EG面SCD,面SCD
所以二面角E-SC-D的大小为90
(3)作DHSC于H,
面SEC面SCD,DH面SEC,
DH之长即为点D到面SEC的距离,12分
在RtSCD中,
答:点D到面SEC的距离为
19、已知之间满足
(1)方程表示的曲线经过一点,求b的值
(2)动点(x,y)在曲线(b>0)上变化,求x2+2y的最大值;
(3)由能否确定一个函数关系式,如能,求解析式;如不能,再加什么条件就可使之间建立函数关系,并求出解析式。
解:(1) (2)根据得
(3)不能 如再加条件就可使之间建立函数关系
解析式 (不唯一,也可其它答案)
20、已知数列,其中是首项为1,公差为1的等差数列;是公差为的等差数列;是公差为的等差数列().
(1)若,求; (2)试写出关于的关系式,并求的取值范围;
(3)续写已知数列,使得是公差为的等差数列,……,依次类推,把已知数列推广为无穷数列. 提出同(2)类似的问题((2)应当作为特例),并进行研究,你能得到什么样的结论?
解(1).
(2), ,
当时,.
(3)所给数列可推广为无穷数列,其中是首项为1,公差为1的等差数列,当时,数列是公差为的等差数列.
问题可以是:试写出关于的关系式,并求的取值范围.
结论可以是:由,
依次类推可得
当时,的取值范围为等.
21、已知函数的最大值为正实数,集合,集合。 (1)求和; (2)定义与的差集:且。设,,均为整数,且。为取自的概率,为取自的概率,写出与的二组值,使,。
(3)若函数中,, 是(2)中较大的一组,试写出在区间[,n]上的最大值函数的表达式。
答案:(1)∵,配方得,由得最大值。 ∴,。 (2)要使,。可以使①中有3个元素,中有2个元素, 中有1个元素。则。②中有6个元素,中有4个元素, 中有2个元素。则
(3)由(2)知
.