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  • 2021-05-14 发布

优化高考数学试题计算量的五种方法

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优化高考数学试题计算量的五种方法 计算能力是思维能力和运算技能的结合,是高考数学考查的四大能力之一,在 代数、三角、立体几何、解析几何等内容中都有体现,高考中有 70%以上的试题 都具有一定的计算量,所以通过研究试题特点、了解算理、改进计算方法,减少高 考试题的计算是赢得考试成功的重要途径。本文结合近几年的高考试题和自己的解 题教学体会揭示如何优化高考数学中的计算量,给高三复习提供帮助。 一、 巧思妙解,避免计算 高考试题一般都有多种解法,最多的甚至有近二十种方法,这些方法有繁有简, 所以要通过对试题进行分析和联想,用化归、构造或类比等方法寻求最佳解题策略。 例 1(2003 全国新课程卷试题)一个四面体的所有棱长都为 ,四个顶点在 同一球面上,则此球的表面积为( ) A.3π B.4π C. π D.6π 解析:很多考生在考试时由于图形难画,计算量大而无可奈何的放弃,但本题 如果采用构造法则可以避免计算,由于连结正方体六个面的六条对角线,可以构成 一个正四面体,所以这个四面体可以看成是棱长为 1 的正方体面的对角线构成的, 这时正方体内接于球,球的直径就是正方体的对角线长. 易知球的直径是 ,故 球的表面积为 3 . 评析:由正四面体联想到正方体突破了寻找球心和半径的障碍,避免了复杂计 算,使解题快速准确。 例 2(2003 全国新课程卷试题)已知长方形四个顶点 A(0,0),B(2,0), C(2,1)和 D(0,1).一质点从 AB 的中点 P0 沿与 AB 夹角为θ的方向射到 BC 上的点 P1 后,依次反射到 CD、DA 和 AB 上的点 P2、P3 和 P4(入射角等于反射 角).设 P4 的坐标为(x4,0).若 1< x4<2,则 tanθ的取值范围是( ) A. B. C. D. 解析:依题意可记各点的坐标如下: , , , , ,由反射原理依次求得 、 、 后,再由 可得到结果。但这个方法不仅计算量相当大、容易出错,而且 2 33 3 π )1,3 1( )3 2,3 1( )2 1,5 2( )3 2,5 2( )0,1(0P )tan,2(1 θP )1,( 22 xP ),0( 33 yP )0,( 44 xP 2x 3y 4x 21 4 << x O (A) x y P0 P2 P4 P1 P3 B CD 图 1 浪费时间。但如果小题巧做,根据选择题特点可用特殊值检验,取 ,则 P1、P2、P3、P4 依次是各边中点,因此 不属于所求的范围,从而排除选项 A、B、 D 选 C。 评析:恰当地利用选择题的命制特点和考查功能,有助将解题建构在较高水平 上,避免计算。 二、 数形结合,以图助算 “数形结合”是中学数学最重要的思想方法之一,也是高考考查的重要方面, 利用数形结合,可以有效地增加解题过程的直观性,大大地减少计算量。 例 3(2004 天津市高考卷试题)若过定点 且斜率为 的直线与圆 在第一象限内的部分有交点,则 的取值范围是( ) A. B. C. D. 解析:本题很容易这样考虑,先设出直线的方程,解圆与直线组成的方程组, 得到交点后,令交点的横坐标和纵坐标都大于 0,从而求得 的范围,但这样计 算量大,费时费力。如果借助于图形就非常直观。如图 2 所示,在圆的方程 中,令 得 ,即 ,这时 。易知如果点 N 在第 一象限,则 ,故选 A。 三、 大胆取舍,进行估算 高考除要求考生能够根据题设条件精算外还要能够对数据进行估计,并能进行 近似计算。 例 4(2003 全国高考卷试题)已知 , ,则 ( ) A. B. C. D. 解析:在公式不够熟悉和计算不熟练的情况下由于选项的设置非常相近,极易 出错,而如果利用已知条件进行估算又是另一番情景了,由 , 得 ,从而 ,则 ,故选 D。 5±=y 2 1tan =θ 2 1 )0,1(M − k 054 22 =−++ yxx k 50 << k 05 <<− k 130 << k 50 << k k 054 22 =−++ yxx 0=x )5,0(N 5=MNk 50 << k )0,2( π−∈x 5 4cos =x =x2tan 24 7 24 7− 7 24 7 24− )0,2( π−∈x 5 4cos =x 64 ππ −<<− x 322 ππ −<<− x 32tan −y 124000≈ }{ na n nS =1a 2 3 1=d 2)(2 kk SS = k }{ na k 2)(2 kk SS = dnnnaSn 2 )1( 1 −+= 2)(2 kk SS = 2 1 22 1 2 2 )1( 2 )1(      −+=−+ dkkkadkkak 2)(2 kk SS = 2,1=k    = = 2 24 2 11 )( )( SS SS    +=+ = (2))2(64 (1))( 2 11 2 11 dada aa 01 =a 11 =a 01 =a 0=d 6=d 01 =a 0=d 0=nS 2)(2 kk SS = 01 =a 6=d , ,则 ;③若 , ,则 , 成立;④若 , , ,则 , 成立。综上,共 3 个满足条件的无穷等差数列,即 、 、 。 评析:由上面解析可见第二种方法注意推理,把繁杂的计算在推理中弱化了, 这类经过推理可以弱化计算的试题在高考卷中比比皆是,特别是在立体几何和代数 推理问题。在高考有限的时间内不能仅仅做到埋头苦算,更要注意推理,增加解答 过程的“含理量”。 五、 注重算理,精打细算 在考试中面对直接计算较为复杂的试题,必须要注意算理,小心地选取运算路 径,合理地选择运算方法,甚至对试题中看起来不重要的参量都加以精算,以此得 到启发,从而找准运算目标。 例 7(2004 年福建省高考试题)如图 3—1, 地在 地的正东方向 4 km 处, 地在 地的北偏东 30º方向 2 处,河流的沿岸 (曲线)上任意一点到 的距离比到 的距离远 2 现要在曲线 上选一处 建一座码头,向 、 两地转运货物。经测算,从 到 、 两地修建公路的费用分别是 万元 、 2 万元 ,那么修建这两条公路的总费用最低是( ) A.(2 -2) 万元 B.5 万元 C.(2 +1) 万元 D.(2 + ) 万元 解析:如图 3—2,以线段 AB 所在的直线为 轴,AB 的中垂线为 轴,建立 平面直角坐标系,由双曲线的第一定义知 的方程为: .由题意可得: ,两条公路总的费用为 .如果设 ,试图计算 183 =S 2169 =S 2 33 )(2 SS ≠ 11 =a 0=d nSn = 2)(2 kk SS = 11 =a 2=d 12 −= nan 2nSn = 2)(2 kk SS = 0=na 1=na 12 −= nan B A C B km PQ A B km PQ M B C M B C a km/ a km/ 7 a a 7 a 3 3 a x y PQ 13 2 2 =+ yx )3,3(C MCaMBa 2+ ),( 00 yxM 东 西 A B Q M C P 图 3—1 A B Q M CD 图 3—2 O y x 最小值,几乎是不可能的事。其实这里需要我们精算:双曲线的离心 率为 2,这样 转化为两倍的 到准线距离,且右准线方程为: ,过 作 垂直于右准线于 点,交曲线 于 点,则 为所求的点。这时, 。 评析:本题利用双曲线的第二定义实现线段长的转化,就是符合算理的选择, 通过对离心率的计算从而发现能够转化,则是精打细算的体现。 例 8 ( 2002 年 新 课 程 卷 试 题 ) 已 知 , , 求 的值。 解析:在考试中很多同学试图从解方程组的角度求出 、 ,再求出 、 代入 的展开式。这样计算量非常大,也有部分同学发 现如下关系: ,但同样遇到求 、 障碍,这些都不 符合算理,还需要进一步细算。再往下分析还可以发现: , 这个关系虽然看起来较繁,但 、 容易求得, ; 。 故 。 评注:本题的解法称为“变角法”,也叫“凑角法”,解题的关键是寻找已知 角和所求角这间的关系,同时还要注意后续解题过程的简洁性。 高考对计算能力的考查是多角度、多层次的,尤其重视对算理的考查,很多 试题需要根据不同的情况灵活处理,平时在训练中一定要注意运算的方法,能避免 计算的就避免,不能避免的计算一定要注意运算的合理性、简捷性和准确性,这样 才能在高考中提高效益,立于不败之地。 MCMB 2+ MB M 2 1=x C CD D PQ M M =+ MCaMBa 2 aaDCaMCMDa 5)2 13(22)(2 =−==+ 5 3)4cos( =+ πα 2 3 2 παπ <≤ )42cos( πα + αsin αcos α2sin α2cos )42cos( πα + )4(42 πααπα ++=+ αsin αcos 4)22(42 ππαπα −+=+ α2sin α2cos =α2sin =+− )22cos( πα 25 71)4(cos2 2 =++− πα 25 24)4cos()4sin(2)22sin(2cos −=++=+= παπαπαα 25 231)2sin2(cos2 2 4sin2sin4cos2cos)42cos( −=−=−=+ ααπαπαπα