2020学年高中物理 习题课 电磁感应中的动力学和能量问题 4 17页

习题课　电磁感应中的动力学和能量问题 ‎ ‎[目标定位]　1.综合运用楞次定律和法拉第电磁感应定律解决电磁感应中的动力学问题.2.会分析电磁感应中的能量转化问题．‎ ‎1．闭合回路的磁通量发生变化时，根据法拉第电磁感应定律E＝n，计算电动势大小，根据楞次定律判定电动势方向．当导体做切割磁感线运动时E＝Blv，感应电动势方向由右手定则判断．‎ ‎2．垂直于匀强磁场放置、长为L的直导线通过的电流为I时，它所受的安培力F＝BIL，安培力方向的判断用左手定则．‎ ‎3．牛顿第二定律：F＝ma，它揭示了力与运动的关系．‎ 当加速度a与速度v方向相同时，速度增大，反之速度减小，当加速度a为零时，速度达到最大或最小，物体做匀速直线运动．‎ ‎4．做功的过程就是能量转化的过程，做了多少功，就有多少能量发生了转化，功是能量转化的量度．‎ 几种常见的功能关系 ‎(1)合外力所做的功等于物体动能的变化．(动能定理)‎ ‎(2)重力做的功等于重力势能的变化．‎ ‎(3)弹簧弹力做的功等于弹性势能的变化．‎ ‎(4)除了重力和系统内弹力之外的其他力做的功等于机械能的变化．‎ ‎(5)安培力做的功等于电能的变化．‎ ‎5．焦耳定律：Q＝I2Rt.‎ 一、电磁感应中的动力学问题 ‎1．具有感应电流的导体在磁场中将受到安培力作用，所以电磁感应问题往往与力学问题联系在一起，处理此类问题的基本方法是：‎ ‎(1)用法拉第电磁感应定律和楞次定律求感应电动势的大小和方向．‎ ‎(2)求回路中的感应电流的大小和方向．‎ ‎(3)分析导体的受力情况(包括安培力)．‎ ‎(4)列动力学方程或平衡方程求解．‎ ‎2．电磁感应现象中涉及的具有收尾速度的力学问题，关键是要抓好受力情况和运动情况的动态分析：‎ 周而复始地循环，加速度等于零时，导体达到稳定运动状态．‎ ‎3．两种状态处理 导体匀速运动，受力平衡，应根据平衡条件列式分析；导体做匀速直线运动之前，往往做变加速运动，处于非平衡状态，应根据牛顿第二定律结合功能关系分析．‎ 例1　如图1所示，空间存在B＝0.5 T、方向竖直向下的匀强磁场，MN、PQ是水平放置的平行长直导轨，其间距L＝‎0.2 m，电阻R＝0.3 Ω接在导轨一端，ab是跨接在导轨上质量m＝‎0.1 kg、电阻r＝0.1 Ω的导体棒，已知导体棒和导轨间的动摩擦因数为0.2.从零时刻开始，对ab棒施加一个大小为F＝0.45 N、方向水平向左的恒定拉力，使其从静止开始沿导轨滑动，过程中棒始终保持与导轨垂直且接触良好，求：‎ 图1‎ ‎(1)导体棒所能达到的最大速度；‎ ‎(2)试定性画出导体棒运动的速度—时间图象．‎ 解析　ab棒在拉力F作用下运动，随着ab棒切割磁感线运动的速度增大，棒中的感应电动势增大，棒中感应电流增大，棒受到的安培力也增大，最终达到匀速运动时棒的速度达到最大值．外力在克服安培力做功的过程中，消耗了其他形式的能，转化成了电能，最终转化成了焦耳热．‎ ‎(1)导体棒切割磁感线运动，产生的感应电动势：‎ E＝BLv①‎ I＝②‎ 导体棒受到的安培力F安＝BIL③‎ 棒运动过程中受到拉力F、安培力F安和摩擦力Ff的作用，根据牛顿第二定律：‎ F－μmg－F安＝ma④‎ 由①②③④得：F－μmg－＝ma⑤‎ 由上式可以看出，随着速度的增大，安培力增大，加速度a减小，当加速度a减小到0时，速度达到最大．‎ 此时有F－μmg－＝0⑥‎ 可得：vm＝＝‎10 m/s⑦‎ ‎(2)棒的速度—时间图象如图所示．‎ 答案　(1)‎10 m/s　(2)见解析图 例2‎ ‎　如图2甲所示，两根足够长的直金属导轨MN、PQ平行放置在倾角为θ的绝缘斜面上，两导轨间距为L，M、P两点间接有阻值为R的电阻，一根质量为m的均匀直金属杆ab放在两导轨上，并与导轨垂直，整套装置处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直于斜面向下，导轨和金属杆的电阻可忽略，让ab杆沿导轨由静止开始下滑，导轨和金属杆接触良好，不计它们之间的摩擦．‎ 图2‎ ‎(1)由b向a方向看到的装置如图乙所示，请在此图中画出ab杆下滑过程中某时刻的受力示意图；‎ ‎(2)在加速下滑过程中，当ab杆的速度大小为v时，求此时ab杆中的电流及其加速度的大小；‎ ‎(3)求在下滑过程中，ab杆可以达到的速度最大值．‎ 解析　(1)如图所示，ab杆受重力mg，竖直向下；支持力FN，垂直于斜面向上；安培力F安．‎ ‎(2)当ab杆的速度大小为v时，感应电动势E＝BLv，此时 电路中的电流I＝＝ ab杆受到安培力F安＝BIL＝ 根据牛顿第二定律，有 ma＝mgsin θ－F安＝mgsin θ－ a＝gsin θ－.‎ ‎(3)当a＝0时，ab杆有最大速度：vm＝.‎ 答案　(1)见解析图 ‎(2)　gsin θ－　(3) 例3　‎ 图3‎ 如图3所示，竖直平面内有足够长的金属导轨，轨距为‎0.2 m，金属导体ab可在导轨上无摩擦地上下滑动，ab的电阻为0.4 Ω，导轨电阻不计，导体ab的质量为‎0.2 g，垂直纸面向里的匀强磁场的磁感应强度为0.2 T，且磁场区域足够大，当导体ab自由下落0.4 s时，突然闭合开关S，则：‎ ‎(1)试说出S接通后，导体ab的运动情况；‎ ‎(2)导体ab匀速下落的速度是多少？(g取‎10 m/s2)‎ 解析　(1)闭合S之前导体自由下落的末速度为：‎ v0＝gt＝‎4 m/s.‎ S闭合瞬间，导体产生感应电动势，回路中产生感应电流，ab立即受到一个竖直向上的安培力．‎ F安＝BIL＝＝0.016 N＞mg＝0.002 N.‎ 此刻导体所受到合力的方向竖直向上，与初速度方向相反，加速度的表达式为 a＝＝－g，所以ab做竖直向下的加速度逐渐减小的减速运动．当速度减小至F安＝mg时，ab做竖直向下的匀速运动．‎ ‎(2)设匀速下落的速度为vm，‎ 此时F安＝mg，即＝mg，vm＝＝‎0.5 m/s.‎ 答案　(1)先做竖直向下的加速度逐渐减小的减速运动，后做匀速运动 ‎(2)‎0.5 m/s 二、电磁感应中的能量问题 ‎1．电磁感应现象中的能量守恒 电磁感应现象中的“阻碍”是能量守恒的具体体现，在这种“阻碍”的过程中，其他形式的能转化为电能．‎ ‎2．电磁感应现象中的能量转化方式 外力克服安培力做功，把机械能或其他形式的能转化成电能；感应电流通过电路做功又把电能转化成其他形式的能．若电路是纯电阻电路，转化过来的电能也将全部转化为电阻的内能(焦耳热)．‎ ‎3．求解电磁感应现象中能量问题的一般思路 ‎(1)确定回路，分清电源和外电路．‎ ‎(2)分析清楚有哪些力做功，明确有哪些形式的能量发生了转化．如：‎ ‎①有摩擦力做功，必有内能产生；‎ ‎②有重力做功，重力势能必然发生变化；‎ ‎③克服安培力做功，必然有其他形式的能转化为电能，并且克服安培力做多少功，就产生多少电能；如果安培力做正功，就是电能转化为其他形式的能．‎ ‎(3)列有关能量的关系式．‎ ‎4．电磁感应中焦耳热的计算技巧 ‎(1)电流恒定时，根据焦耳定律求解，即Q＝I2Rt.‎ ‎(2)感应电流变化，可用以下方法分析：‎ ‎①利用动能定理，求出克服安培力做的功，产生的焦耳热等于克服安培力做的功，即Q＝W安．‎ ‎②利用能量守恒，即感应电流产生的焦耳热等于其他形式能量的减少，即Q＝ΔE其他．‎ 例4　如图4所示，两根电阻不计的光滑平行金属导轨倾角为θ，导轨下端接有电阻R，匀强磁场垂直斜面向上．质量为m、电阻不计的金属棒ab在沿斜面与棒垂直的恒力F作用下沿导轨匀速上滑，上升高度为h，在这个过程中(　　)‎ 图4‎ A．金属棒所受各力的合力所做的功等于零 B．金属棒所受各力的合力所做的功等于mgh和电阻R上产生的焦耳热之和 C．恒力F与重力的合力所做的功等于棒克服安培力所做的功与电阻R上产生的焦耳热之和 D．恒力F与重力的合力所做的功等于电阻R上产生的焦耳热 解析　棒匀速上升的过程有三个力做功：恒力F做正功、重力G做负功、安培力F安做负功．根据动能定理：W＝WF＋WG＋W安＝0，故A对，B错；恒力F与重力G的合力所做的功等于棒克服安培力做的功．而棒克服安培力做的功等于回路中电能(最终转化为焦耳热)的增加量，克服安培力做功与焦耳热不能重复考虑，故C错，D对．‎ 答案　AD 例5　如图5所示，足够长的光滑金属框竖直放置，框宽L＝‎0.5 m，框的电阻不计，匀强磁场的磁感应强度B＝1 T，方向与框面垂直，金属棒MN的质量为‎100 g，电阻为1 Ω，现让MN无初速度释放并与框保持接触良好的竖直下落，从释放直至到最大速度的过程中通过棒某一截面的电荷量为‎2 C，求此过程中回路产生的电能为多少？(空气阻力不计，g＝‎10 m/s2)‎ 图5‎ 解析　金属棒下落过程做加速度逐渐减小的加速运动，加速度减小到零时速度达到最大，根据平衡条件得 mg＝①‎ 在下落过程中，金属棒减小的重力势能转化为它的动能和电能E，由能量守恒定律得 mgh＝mv＋E②‎ 通过棒某一横截面的电荷量为 q＝③‎ 由①②③解得：‎ E＝mgh－mv＝－＝ J－ J＝3.2 J 答案　3.2 J 电磁感应中的动力学问题 ‎1．如图6所示，在光滑水平桌面上有一边长为L、电阻为R的正方形导线框．在导线框右侧有一宽度为d(d>L)的条形匀强磁场区域，磁场的边界与导线框的一边平行，磁场方向竖直向下．导线框以某一初速度向右运动，t＝0时导线框的右边恰与磁场的左边界重合，随后导线框进入并通过磁场区域．下列v－t图象中，可能正确描述上述过程的是(　　)‎ 图6‎ 答案　D 解析　根据题意，线框进入磁场时，由右手定则和左手定则可知线框受到向左的安培力，阻碍线框的相对运动，v减小，由F安＝，则安培力减小，故线框做加速度减小的减速运动；由于d＞L，线框完全进入磁场后，线框中没有感应电流，不再受安培力作用，线框做匀速直线运动，同理可知线框离开磁场时，线框也受到向左的安培力，阻碍线框的相对运动，做加速度减小的减速运动．综上所述，正确答案为D.‎ ‎2．如图7所示，光滑金属直轨道MN和PQ固定在同一水平面内，MN、PQ平行且足够长，两轨道间的宽度L＝‎0.50 m．轨道左端接一阻值R＝0.50 Ω的电阻．轨道处于磁感应强度大小为B＝0.40 T，方向竖直向下的匀强磁场中，质量m＝‎0.50 kg的导体棒ab垂直于轨道放置．在沿着轨道方向向右的力F作用下，导体棒由静止开始运动，导体棒与轨道始终接触良好并且相互垂直，不计轨道和导体棒的电阻，不计空气阻力，若力F的大小保持不变，且F＝1.0 N，求：‎ 图7‎ ‎(1)导体棒能达到的最大速度大小vm；‎ ‎(2)导体棒的速度v＝‎5.0 m/s时，导体棒的加速度大小．‎ 答案　(1)‎12.5 m/s　(2)‎1.2 m/s2‎ 解析　(1)导体棒达到最大速度vm时受力平衡，有F＝F安m，此时F安m＝，解得vm＝‎12.5 m/s.‎ ‎(2)导体棒的速度v＝‎5.0 m/s时，感应电动势E＝BLv＝1.0 V，导体棒上通过的感应电流大小I＝＝‎2.0 A，导体棒受到的安培力F安＝BIL＝0.40‎ ‎ N，根据牛顿第二定律，有F－F安＝ma，解得a＝‎1.2 m/s2.‎ 电磁感应中的能量问题 ‎3．如图8所示，两根足够长的光滑金属导轨MN、PQ平行放置，导轨平面与水平面的夹角为θ，导轨的下端接有电阻．当导轨所在空间没有磁场时，使导体棒ab以平行导轨平面的初速度v0冲上导轨，ab上升的最大高度为H；当导轨所在空间存在方向与导轨平面垂直的匀强磁场时，再次使ab以相同的初速度从同一位置冲上导轨，ab上升的最大高度为h，两次运动中ab始终与两导轨垂直且接触良好，关于上述情景，下列说法中正确的是(　　)‎ 图8‎ A．比较两次上升的最大高度，有H＝h B．比较两次上升的最大高度，有H＜h C．无磁场时，导轨下端的电阻中有电热产生 D．有磁场时，导轨下端的电阻中有电热产生 答案　D 解析　没有磁场时，只有重力做功，机械能守恒，没有电热产生，C错误；有磁场时，ab切割磁感线产生感应电流，重力和安培力均做负功，机械能减小，有电热产生，故ab上升的最大高度变小，A、B错误，D正确.‎ ‎(时间：60分钟)‎ 题组一　电磁感应中的动力学问题 ‎1．如图1所示，在一匀强磁场中有一U形导线框abcd，线框处于水平面内，磁场与线框平面垂直，R为一电阻，ef为垂直于ab的一根导体杆，它可在ab、cd上无摩擦地滑动．杆ef及线框中导线的电阻都可不计．开始时，给ef一个向右的初速度，则(　　)‎ 图1‎ A．ef将减速向右运动，但不是匀减速 B．ef将匀减速向右运动，最后停止 C．ef将匀速向右运动 D．ef将往返运动 答案　A 解析　ef向右运动，切割磁感线，产生感应电动势和感应电流，会受到向左的安培力而做减速运动，直到停止，但不是匀减速，由F＝BIL＝＝ma知，ef做的是加速度减小的减速运动，故A正确．‎ ‎2．如图2所示，MN和PQ是两根互相平行竖直放置的光滑金属导轨，已知导轨足够长，且电阻不计，ab是一根不但与导轨垂直而且始终与导轨接触良好的金属杆，开始时，将开关S断开，让杆ab由静止开始自由下落，过段时间后，再将S闭合，若从S闭合开始计时，则金属杆ab的速度v随时间t变化的图象不可能是下图中的(　　)‎ 图2‎ 答案　B 解析　S闭合时，若＞mg，先减速再匀速，D项有可能；若 ‎＝mg匀速，A项有可能；若＜mg，先加速再匀速，C项有可能；由于v变化，－mg＝ma中a不恒定，故B项不可能．‎ ‎3．如图3所示，有两根和水平方向成α角的光滑平行的金属轨道，间距为l，上端接有可变电阻R，下端足够长，空间有垂直于轨道平面向上的匀强磁场，磁感应强度为B.一根质量为m的金属杆从轨道上由静止滑下，经过足够长的时间后，金属杆的速度会趋近于一个最大速度vm，则(　　)‎ 图3‎ A．如果B变大，vm将变大 B．如果α变大，vm将变大 C．如果R变大，vm将变大 D．如果m变小，vm将变大 答案　BC 解析　金属杆从轨道上滑下切割磁感线产生感应电动势E＝Blv，在闭合电路中形成电流I＝，因此金属杆从轨道上滑下的过程中除受重力、轨道的弹力外还受安培力F安作用，F安＝BIl＝，先用右手定则判定感应电流方向，再用左手定则判定出安培力方向，如图所示，根据牛顿第二定律，得mgsin α－＝ma，当a→0时，v→vm，解得vm＝，故选项B、C正确．‎ ‎4．均匀导线制成的单匝正方形闭合线框abcd，每边长为L，总电阻为R，总质量为m.将其置于磁感应强度为B的水平匀强磁场上方h处，如图4所示．线框由静止自由下落，线框平面保持在竖直平面内，且cd边始终与水平的磁场边界平行．当cd边刚进入磁场时，‎ 图4‎ ‎(1)求线框中产生的感应电动势大小；‎ ‎(2)求cd两点间的电势差大小；‎ ‎(3)若此时线框加速度恰好为零，求线框下落的高度h.‎ 答案　(1)BL　(2)BL　(3) 解析　(1)cd边刚进入磁场时，线框速度：v＝ 线框中产生的感应电动势E＝BLv＝BL ‎(2)此时线框中的电流I＝ cd切割磁感线相当于电源，cd两点间的电势差即路端电压：U＝I·R＝BL ‎(3)安培力：F安＝BIL＝ 根据牛顿第二定律：mg－F安＝ma，‎ 由a＝0，解得下落高度h＝ 题组二　电磁感应中的能量问题 ‎5.光滑曲面与竖直平面的交线是抛物线，如图5所示，抛物线的方程为y＝x2，其下半部处在一个水平方向的匀强磁场中，磁场的上边界是y＝a的直线(图中虚线所示)，一个质量为m的小金属块从抛物线y＝b(b＞a)处以速度v沿抛物线下滑，假设抛物线足够长，则金属块在曲面上滑动的过程中产生的焦耳热总量是(　　)‎ 图5‎ A．mgb　　　　　　　　 B.mv2‎ C．mg(b－a) D．mg(b－a)＋mv2‎ 答案　D 解析　金属块在进入磁场或离开磁场的过程中，穿过金属块的磁通量发生变化，产生电流，进而产生焦耳热，最后，金属块在高为a的曲面上做往复运动，减少的机械能为mg(b－a)＋mv2，由能量守恒定律可知，减少的机械能全部转化成焦耳热，即D选项正确．‎ ‎6．如图6所示，质量为m、高为h的矩形导线框在竖直面内自由下落，其上下两边始终保持水平，途中恰好匀速穿过一有理想边界、高亦为h的匀强磁场区域，线框在此过程中产生的内能为(　　)‎ 图6‎ A．mgh B．2mgh C．大于mgh而小于2mgh D．大于2mgh 答案　B 解析　因线框匀速穿过磁场，在穿过磁场的过程中合外力做功为零，克服安培力做功为2mgh，产生的内能亦为2mgh.故选B.‎ ‎7．如图7所示，纸面内有一矩形导体闭合线框abcd，ab边长大于bc边长，置于垂直纸面向里、边界为MN的匀强磁场外，线框两次匀速地完全进入磁场，两次速度大小相同，方向均垂直于MN.第一次ab边平行MN进入磁场，线框上产生的热量为Q1，通过线框导体横截面的电荷量为q1‎ ‎；第二次bc边平行于MN进入磁场，线框上产生的热量为Q2，通过线框导体横截面的电荷量为q2，则(　　)‎ 图7‎ A．Q1＞Q2，q1＝q2 B．Q1＞Q2，q1＞q2‎ C．Q1＝Q2，q1＝q2 D．Q1＝Q2，q1＞q2‎ 答案　A 解析　根据功能关系知，线框上产生的热量等于克服安培力做的功，即Q1＝W1＝F1lbc＝lbc＝lab，同理Q2＝lbc，又lab＞lbc，故Q1＞Q2；因q＝t＝t＝，故q1＝q2，因此A正确．‎ 题组三　电磁感应中的动力学问题和能量问题的综合 ‎8．如图8所示，间距为L、电阻不计的足够长平行光滑金属导轨水平放置，导轨左端用一阻值为R的电阻连接，导轨上横跨一根质量为m、电阻也为R的金属棒，金属棒与导轨接触良好．整个装置处于竖直向上、磁感应强度为B的匀强磁场中．现使金属棒以初速度v沿导轨向右运动，若金属棒在整个运动过程中通过的电荷量为q.下列说法正确的是(　　)‎ 图8‎ A．金属棒在导轨上做匀减速运动 B．整个过程中金属棒在导轨上发生的位移为 C．整个过程中金属棒克服安培力做功为mv2‎ D．整个过程中电阻R上产生的焦耳热为mv2‎ 答案　C 解析　因为导体向右运动时受到向左的安培力作用，且安培力随速度的减小而减小，所以导体向左做加速度减小的减速运动；根据E＝＝，q＝IΔt＝Δt＝，解得x＝；整个过程中金属棒克服安培力做功等于金属棒动能的减少量mv2；整个过程中电路中产生的热量等于机械能的减少量mv2，电阻R上产生的焦耳热为mv2.‎ ‎9．如图9所示，长L1、宽L2的矩形线圈电阻为R，处于磁感应强度为B的匀强磁场边缘，线圈与磁感线垂直，求将线圈以向右的速度v匀速拉出磁场的过程中，‎ 图9‎ ‎(1)拉力的大小F；‎ ‎(2)线圈中产生的电热Q.‎ 答案　(1)　(2) 解析　(1)线圈出磁场时：F＝BIL2‎ I＝ E＝BL2v 解得F＝ ‎(2)方法一：t＝ Q＝I2Rt 所以Q＝ 方法二：Q＝W＝FL1＝ ‎10．如图10所示，有一磁感应强度B＝0.1 T的水平匀强磁场，垂直匀强磁场放置一很长的U型金属框架，框架上有一导体棒ab保持与框架边垂直接触且由静止开始下滑．已知ab长‎100 cm，质量为‎0.1 kg，电阻为0.1 Ω，框架光滑且电阻不计，取g＝‎10 m/s2，求：‎ 图10‎ ‎(1)导体棒ab下落的最大加速度；‎ ‎(2)导体棒ab下落的最大速度；‎ ‎(3)导体棒ab在最大速度时产生的电功率．‎ 答案　(1)‎10 m/s2　(2)‎10 m/s　(3)10 W 解析　(1)对导体棒受力分析可知，其开始运动时受合力最大，即为重力．由牛顿第二定律可知最大加速度：a＝g＝‎10 m/s2‎ ‎(2)导体棒ab下落速度最大时，加速度为零 此时有：mg＝F安 F安＝BIL I＝ E＝BLvm 联立以上各式得：vm＝＝ m/s＝‎10 m/s ‎(3)导体棒最大速度时其电功率：P＝IE 由以上各式得：P＝＝ W＝10 W