2020学年高中物理 第五章 曲线运动 微型专题 竖直面内的圆周运动学案 新人教版必修2 14页

微型专题　竖直面内的圆周运动 一、竖直面内圆周运动的轻绳(过山车)模型 如图1所示，甲图中小球受绳拉力和重力作用，乙图中小球受轨道的弹力和重力作用，二者运动规律相同，现以甲图为例.‎ 图1‎ ‎(1)最低点运动学方程：FT1－mg＝m 所以FT1＝mg＋m ‎(2)最高点运动学方程：FT2＋mg＝m 所以FT2＝m－mg ‎(3)最高点的最小速度：由于绳不可能对球有向上的支持力，只能产生向下的拉力，由FT2＋mg＝可知，当FT2＝0时，v2最小，最小速度为v2＝.‎ 讨论：当v2＝时，拉力或压力为零.‎ 当v2>时，小球受向下的拉力或压力.‎ 14‎ 当v2<时，小球不能到达最高点.‎ 例1　一细绳与水桶相连，水桶中装有水，水桶与细绳一起在竖直平面内做圆周运动，如图2所示，水的质量m＝‎0.5 kg，水的重心到转轴的距离l＝‎50 cm.(g取‎10 m/s2)‎ 图2‎ ‎(1)若在最高点水不流出来，求桶的最小速率；(结果保留三位有效数字)‎ ‎(2)若在最高点水桶的速率v＝‎3 m/s，求水对桶底的压力大小.‎ 答案　(1)‎2.24 m/s　(2)4 N 解析　(1)以水桶中的水为研究对象，在最高点恰好不流出来，说明水的重力恰好提供其做圆周运动所需的向心力，此时桶的速率最小.‎ 此时有：mg＝m，‎ 则所求的最小速率为：v0＝≈‎2.24 m/s.‎ ‎(2)此时桶底对水有一向下的压力，设为FN，则由牛顿第二定律有：FN＋mg＝m，‎ 代入数据可得：FN＝4 N.‎ 由牛顿第三定律，水对桶底的压力大小：FN′＝4 N.‎ ‎【考点】竖直面内的圆周运动分析 ‎【题点】竖直面内的“绳”模型 针对训练1　如图3所示，用长为l的细绳拴着质量为m的小球在竖直平面内做圆周运动，则下列说法中正确的是(　　)‎ 图3‎ A.小球在圆周最高点时所受的向心力一定为重力 B.小球在最高点时绳子的拉力不可能为零 C.若小球刚好能在竖直平面内做圆周运动，则其在最高点的速率为0‎ D.小球过最低点时绳子的拉力一定大于小球重力 答案　D 14‎ 解析　小球在圆周最高点时，向心力可能等于重力也可能等于重力与绳子的拉力之和，取决于小球的瞬时速度的大小，A错误；小球在圆周最高点时，如果向心力完全由重力充当，则可以使绳子的拉力为零，B错误；小球刚好能在竖直面内做圆周运动，则在最高点，重力提供向心力，mg＝，v＝，C错误；小球在圆周最低点时，具有竖直向上的向心加速度，处于超重状态，绳子的拉力一定大于小球的重力，故D正确.‎ ‎【考点】竖直面内的圆周运动分析 ‎【题点】竖直面内的“绳”模型 二、竖直面内圆周运动的轻杆(管)模型 如图4所示，细杆上固定的小球和管形轨道内运动的小球在重力和杆(管道)的弹力作用下做圆周运动.‎ 图4‎ ‎(1)最高点的最小速度由于杆和管在最高处能对小球产生向上的支持力，故小球恰能到达最高点的最小速度v＝0，此时小球受到的支持力FN＝mg.‎ ‎(2)小球通过最高点时，轨道对小球的弹力情况 ‎①v>，杆或管的外侧对球产生向下的拉力或压力，mg＋F＝m，所以F＝m－mg，F随v 增大而增大.‎ ‎②v＝，球在最高点只受重力，不受杆或管的作用力，F＝0，mg＝m.‎ ‎③0≤v<，杆或管的内侧对球产生向上的弹力，mg－F＝m，所以F＝mg－m，F随v的增大而减小.‎ 例2　长L＝‎0.5 m的轻杆，其一端连接着一个零件A，A的质量m＝‎2 kg.现让A在竖直平面内绕O点做匀速圆周运动，如图5所示.在A通过最高点时，求下列两种情况下A对杆的作用力大小(g＝‎10 m/s2).‎ 图5‎ ‎(1)A的速率为‎1 m/s；‎ ‎(2)A的速率为‎4 m/s.‎ 答案　(1)16 N　(2)44 N 14‎ 解析　以A为研究对象，设其受到杆的拉力为F，‎ 则有mg＋F＝m.‎ ‎(1)代入数据v1＝‎1 m/s，可得F＝m(－g)＝2×(－10) N＝－16 N，即A受到杆的支持力为16 N.根据牛顿第三定律可得A对杆的作用力为压力，大小为16 N.‎ ‎(2)代入数据v2＝‎4 m/s，可得F′＝m(－g)＝2×(－10) N＝44 N，即A受到杆的拉力为44 N.根据牛顿第三定律可得A对杆的作用力为拉力，大小为44 N.‎ ‎【考点】竖直面内的圆周运动分析 ‎【题点】竖直面内的“杆”模型 例3　如图6所示，半径为L的圆管轨道(圆管内径远小于轨道半径)竖直放置，管内壁光滑，管内有一个小球(小球直径略小于管内径)可沿管转动，设小球经过最高点P时的速度为v，则(重力加速度为g)(　　 )‎ 图6‎ A.v的最小值为 B.v若增大，球所需的向心力也增大 C.当v由逐渐减小时，轨道对球的弹力也减小 D.当v由逐渐增大时，轨道对球的弹力减小 答案　B 解析　由于小球在圆管中运动，在最高点速度可为零，A错误；根据向心力公式有Fn＝m，v若增大，球所需的向心力一定增大，B正确；因为圆管既可提供向上的支持力也可提供向下的压力，当v＝时，圆管受力为零，故v由逐渐减小时，轨道对球的弹力增大，C错误；v由逐渐增大时，轨道对球的弹力也增大，D错误.‎ ‎【考点】竖直面内的圆周运动分析 ‎【题点】竖直面内的“杆”模型 针对训练2　一轻杆一端固定质量为m的小球，以另一端O为圆心，使小球在竖直面内做半径为R的圆周运动，如图7所示，重力加速度为g，则下列说法正确的是(　　)‎ 14‎ 图7‎ A.小球过最高点时，杆所受到的弹力可以等于零 B.小球过最高点的最小速度是 C.小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而增大 D.小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而减小 答案　A 解析　小球过最高点时，若v＝，杆所受弹力等于零，选项A正确.此题属于轻杆模型，小球过最高点的最小速度是零，选项B错误.小球过最高点时，若v<，杆对球有向上的支持力，且该力随速度的增大而减小；若v>，杆对球有向下的拉力，且该力随速度的增大而增大，选项C、D错误.‎ ‎【考点】竖直面内的圆周运动分析 ‎【题点】竖直面内的“杆”模型 ‎1.(轻绳作用下物体的运动)杂技演员表演“水流星”，在长为‎1.6 m的细绳的一端，系一个与水的总质量为m＝‎0.5 kg的盛水容器，以绳的另一端为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图8所示，若“水流星”通过最高点时的速率为‎4 m/s，则下列说法正确的是(g＝‎10 m/s2)(　　)‎ 图8‎ A.“水流星”通过最高点时，有水从容器中流出 B.“水流星”通过最高点时，绳的张力及容器底部受到的压力均为零 C.“水流星”通过最高点时，处于完全失重状态，不受力的作用 D.“水流星”通过最高点时，绳子的拉力大小为5 N 答案　B 解析　“水流星”在最高点的临界速度v＝＝‎4 m/s，由此知绳的拉力恰为零，且水恰不流出，故选B.‎ ‎【考点】竖直面内的圆周运动分析 14‎ ‎【题点】竖直面内的“绳”模型 ‎2.(轨道约束下小球的运动)如图9所示，过山车的轨道可视为竖直平面内半径为R的圆轨道.质量为m的游客随过山车一起运动，当游客以速度v经过圆轨道的最高点时(　　)‎ 图9‎ A.处于超重状态 B.向心加速度方向竖直向下 C.速度v的大小一定为 D.座位对游客的作用力为m 答案　B 解析　游客经过最高点时，加速度方向竖直向下.处于失重状态，A错误，B正确；由牛顿第二定律得FN＋mg＝m，分析知C、D错误.‎ ‎3.(球在管形轨道中的运动)(多选)如图10所示，小球m在竖直放置的光滑的圆形管道内做圆周运动，重力加速度为g，下列说法正确的是(　　)‎ 图10‎ A.小球通过最高点时的最小速度是 B.小球通过最高点时的最小速度为零 C.小球在水平线ab以下的管道中运动时外侧管壁对小球一定无作用力 D.小球在水平线ab以下的管道中运动时外侧管壁对小球一定有作用力 答案　BD 解析　小球通过最高点的最小速度为0，圆形管外侧、内侧都可以对小球提供弹力，小球在水平线ab以下时，必须有指向圆心的力提供向心力，即外侧管壁对小球一定有作用力，故B、D正确.‎ ‎【考点】竖直面内的圆周运动分析 ‎【题点】竖直面内的“杆”模型 ‎4.(轻杆作用下小球的运动)如图11所示，质量为m 14‎ 的小球固定在杆的一端，在竖直面内绕杆的另一端O做圆周运动.当小球运动到最高点时，瞬时速度为v＝ ，L是球心到O点的距离，则球对杆的作用力是(　　)‎ 图11‎ A.mg的拉力 B.mg的压力 C.零 D.mg的压力 答案　B 解析　当重力完全充当向心力时，球对杆的作用力为零，所以mg＝m，解得：v′＝，而 <，故杆对球是支持力，即mg－FN＝m，解得FN＝mg，由牛顿第三定律，球对杆是压力，故选B.‎ ‎【考点】竖直面内的圆周运动分析 ‎【题点】竖直面内的“杆”模型 一、选择题 考点一　轻绳(过山车)模型 ‎1.长为L的细绳，一端系一质量为m的小球，另一端固定于某点，当绳竖直时小球静止，再给小球一水平初速度v0，使小球在竖直平面内做圆周运动，并且刚好能过最高点.则下列说法中正确的是(重力加速度为g)(　　)‎ A.小球过最高点时速度为零 B.小球过最高点时速度大小为 C.小球开始运动时绳对小球的拉力为m D.小球过最高点时绳对小球的拉力为mg 答案　B ‎【考点】竖直面内的圆周运动分析 ‎【题点】竖直面内的“绳”模型 14‎ ‎2.如图1所示，质量为m的小球在竖直平面内的光滑圆环内侧做圆周运动.圆环半径为R，小球经过圆环内侧最高点时刚好不脱离圆环，则其通过最高点时下列表述正确的是(　　)‎ 图1‎ A.小球对圆环的压力大小等于mg B.重力mg充当小球做圆周运动的向心力 C.小球的速度大小等于零 D.小球的向心加速度一定大于g 答案　B 解析　因为小球经过圆环内侧最高点时刚好不脱离圆环，故在最高点时小球对圆环的压力为零，选项A错误；此时小球只受重力作用，即重力mg充当小球做圆周运动的向心力，满足mg＝m＝man，即v＝，an＝g，选项B正确，C、D错误.‎ ‎3.某飞行员的质量为m，驾驶飞机在竖直面内以速度v做匀速圆周运动，圆的半径为R，在圆周的最高点和最低点比较，飞行员对座椅的压力在最低点比最高点大(设飞行员始终垂直于座椅的表面)(　　)‎ A.mg B.2mg C.mg＋ D.2 答案　B 解析　在最高点有：F1＋mg＝m，解得：F1＝m－mg；在最低点有：F2－mg＝m，解得：F2＝mg＋m.所以F2－F1＝2mg，B正确.‎ ‎【考点】竖直面内的圆周运动分析 ‎【题点】竖直面内的“绳”模型 ‎4.在游乐园乘坐如图2所示的过山车时，质量为m的人随车在竖直平面内沿圆周轨道运动，下列说法正确的是(　　)‎ 图2‎ A.车在最高点时人处于倒坐状态，全靠保险带拉住，若没有保险带，人一定会掉下去 14‎ B.人在最高点时对座位仍可能产生压力，但压力一定小于mg C.人在最高点和最低点时的向心加速度大小相等 D.人在最低点时对座位的压力大于mg 答案　D 解析　过山车上人经最高点及最低点时，受力如图，‎ 在最高点，由mg＋FN＝m，可得：FN＝m(－g)①‎ 在最低点，由FN′－mg＝m，可得：FN′＝m(＋g)②‎ 由支持力(等于压力)表达式分析知：当v1较大时，在最高点无保险带也不会掉下，且还可能会对座位有压力，大小因v1而定，所以A、B错误.最高点、最低点两处向心力大小不等，向心加速度大小也不等(变速率)，所以C错误.由②式知最低点FN′>mg，根据牛顿第三定律得D正确.‎ ‎【考点】竖直面内的圆周运动分析 ‎【题点】竖直面内的“绳”模型 考点二　轻杆(管道)模型 ‎5.长度为‎1 m的轻杆OA的A端有一质量为‎2 kg的小球，以O点为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图3所示，小球通过最高点时的速度为‎3 m/s，g取‎10 m/s2，则此时小球将(　　)‎ 图3‎ A.受到18 N的拉力 B.受到38 N的支持力 C.受到2 N的拉力 D.受到2 N的支持力 答案　D 解析　设此时轻杆拉力大小为F，根据向心力公式有F＋mg＝m，代入数值可得F＝－2 N，表示小球受到2 N的支持力，选项D正确.‎ ‎【考点】竖直面内的圆周运动分析 14‎ ‎【题点】竖直面内的“杆”模型 ‎6.(多选)如图4所示，一个内壁光滑的弯管处于竖直平面内，其中管道半径为R.现有一个半径略小于弯管横截面半径的光滑小球在弯管里运动，当小球通过最高点时速率为v0，则下列说法中正确的是(　　)‎ 图4‎ A.若v0＝，则小球对管内壁无压力 B.若v0>，则小球对管内上壁有压力 C.若0