新教材高中物理第3章圆周运动第1节匀速圆周运动快慢的描述学案鲁科版必修第二册 15页

1 第 1 节 匀速圆周运动快慢的描述 核 心 素 养 物理观念 科学探究 科学思维 1.知道什么是圆周运动，什么是匀速圆周运动。 2.知道线速度的物理意义、定义式、矢量性，知道匀速 圆周运动线速度的特点。 3.知道角速度的物理意义、定义式及单位，了解转速和 周期的意义。 4.掌握线速度与角速度的关系，掌握角速度与转速、周 期的关系。 各种传动装置中 线速度、角速度 的关系。 线速度与角速 度的关系，掌 握角速度与转 速、周期的关 系。 知识点一 线速度和角速度 [观图助学] 观察上图，齿轮与过山车的运动轨迹有什么共同特点？地球绕太阳运动 1 s 走过的弧长为 29.79 km，月球绕地球运动 1 s 走过的弧长为 1.02 km。而地球一年才绕太阳转一圈，月球 27.3 天就能绕地球转一圈，它们谁运动的快呢？ 1.匀速圆周运动 在任意相等时间内通过的弧长都相等的圆周运动。 2.线速度 (1)大小：做匀速圆周运动的物体通过的弧长与所用时间的比值。 (2)方向：其方向沿圆周的切线方向。 (3)计算公式：v＝s t 。单位：国际单位为 m/s。 3.角速度 (1)定义：做匀速圆周运动的物体，连接物体和圆心的半径转过的角度与所用时间的比值。 2 (2)计算公式：ω＝φ t 。 (3)角速度的国际单位是弧度每秒，符号 rad/s。 [思考判断] (1)匀速圆周运动是变速曲线运动。(√) (2)匀速圆周运动的线速度恒定不变。(×) (3)匀速圆周运动的角速度恒定不变。(√) (4)线速度是位移与发生这段位移所用时间的比值。(×) 对圆周运动快和慢的问题应该从两个方面来认识：一个是物体与圆心的连线绕圆心转动的快 慢；另一个是物体沿圆弧运动的快慢。 做匀速圆周运动的物体相同的时间内发生的位移并不相同。 匀速圆周运动中的“匀速”是指“匀速率”。 匀速圆周运动是角速度不变的运动。 知识点二 周期、频率和转速；线速度、角速度、周期的关系 1.周期、频率和转速 周期 周期性运动每重复一次所需要的时间，符号 T，单位 s 频率 单位时间内运动重复的次数，f＝1 T ，单位 Hz 转速 单位时间内的转动圈数，符号 n，单位 r/min 或 r/s 2.线速度、角速度、周期的关系 (1)线速度和角速度关系：v＝rω。 (2)线速度和周期的关系：v＝2πr T 。 (3)角速度和周期的关系：ω＝2π T 。 [思考判断] (1)匀速圆周运动的周期相同，角速度大小及转速都相同。(√) 3 (2)匀速圆周运动的物体周期越长，转动越快。(×) (3)做匀速圆周运动的物体在角速度不变情况下，线速度与半径成正比。(√), r/min 或 r/s 都不是国际单位制中的单位，在运算时往往要把它们换成弧度每秒。 角速度相同的情况下，A 与 B 线速度与半径成正比。 在没确定半径相同的情况下，不能说线速度 v 与角速度ω成正比，但是角速度ω与周期 T 成反比。 核心要点 描述圆周运动的各物理量的关系 [情景探究] 打篮球的同学可能玩过转篮球，让篮球在指尖旋转，展示自己的球技。如图所示，若篮球正 绕指尖所在的竖直轴旋转，那么篮球上不同高度的各点的角速度相同吗？线速度大小相同 吗？ 答案 篮球上各点的角速度是相同的。但由于不同高度的各点转动时的圆心、半径不同，由 v＝ωr 可知不同高度的各点的线速度大小不同。 [探究归纳] 1.描述圆周运动的各物理量间的关系 4 2.描述匀速圆周运动的物理量之间关系的理解 (1)角速度、周期、转速之间关系的理解：物体做匀速圆周运动时，由ω＝2π T ＝2πn 知， 角速度、周期、转速三个物理量，只要其中一个物理量确定了，其余两个物理量也唯一确定 了。 (2)线速度与角速度关系的理解：由 v＝ωr 知，r 一定时，v∝ω；v 一定时，ω∝1 r ；ω一 定时，v∝r。 [经典示例] [例 1] 做匀速圆周运动的物体，在 10 s 内沿半径为 20 m 的圆周运动了 100 m，试求该物体 做匀速圆周运动时： (1)线速度的大小； (2)角速度的大小； (3)周期的大小。 解析 (1)由线速度的定义式得 v＝s t ＝100 10 m/s＝10 m/s。 (2)由 v＝ωr 得ω＝v r ＝10 20 rad/s＝0.5 rad/s。 (3)由ω＝2π T 得 T＝2π ω ＝2π 0.5 s＝4π s。 答案 (1)10 m/s (2)0.5 rad/s (3)4π s [针对训练 1] 关于做匀速圆周运动物体的线速度、角速度、周期之间的关系，下列说法中 正确的是( ) A.线速度大的角速度一定大 B.线速度大的周期一定小 C.角速度大的半径一定小 D.角速度大的周期一定小 5 解析 由 v＝ωr 得ω＝v r ，故只有当半径 r 一定时，角速度ω才与线速度大小 v 成正比；只 有当线速度大小 v 一定时，角速度ω才与半径 r 成反比，选项 A、C 错误；由 v＝2πr T 知， 只有当半径 r 一定时，线速度大小 v 才与周期 T 成反比，选项 B 错误；由ω＝2π T 知，角速 度ω与周期 T 成反比，即角速度大的周期一定小，选项 D 正确。 答案 D 核心要点 常见三种转动装置 [情景探究] 如图所示，跷跷板的支点位于板上的中点，A、B 是板的两个点，两点到支点的距离 rA>rB， 试比较在运动的某一时刻，A、B 的线速度 vA、vB 的大小关系及角速度ωA、ωB 的大小关系。 答案 根据题意，A、B 绕同一支点转动，所以角速度相等，即ωA＝ωB；又有 rA>rB，根据 v ＝ωr 得线速度 vA>vB。 [探究归纳] 同轴传动 皮带传动 齿轮传动 装置 A、B 两点在同轴的一 个圆盘上 两个轮子用皮带连接， A、B 两点分别是两个 轮子边缘的点 两个齿轮轮齿啮合，A、B 两点分别是两个齿轮边缘 上的点(两齿轮的齿数分别 n1、n2) 特点 角速度、周期相同 线速度大小相同 线速度大小相同 转动方向 相同 相同 相反 规律 线速度大小与半径成 正比：vA vB ＝r R 角速度与半径成反比： ωA ωB ＝r R 。 周期与半径成正比：TA TB 角速度与半径成反比：ωA ωB ＝ r2 r1 ＝n2 n1 。 周期与半径成正比：TA TB ＝r1 r2 6 ＝R r ＝n1 n2 [经典示例] [例 2] 如图所示的皮带传动装置中，右边两轮固定在一起同轴转动，图中 A、B、C 三轮的 半径关系为 3rA＝2rC＝4rB，设皮带不打滑，求三轮边缘上的点 A、B、C 的线速度之比、角速 度之比、周期之比。 解析 由题意可知，A、B 两轮由皮带传动，皮带不打滑，故 vA＝vB，B、C 在同一轮轴上， 同轴转动，故ωB＝ωC。由 v＝ωr 得 vB∶vC＝rB∶rC＝2∶4＝1∶2，所以 vA∶vB∶vC＝1∶1∶2； 由ω＝v r 得ωA∶ωB＝rB∶rA＝3∶4，所以ωA∶ωB∶ωC＝3∶4∶4；由ω＝2π T 可知，周期与 角速度成反比，即 TA∶TB∶TC＝4∶3∶3。 答案 vA∶vB∶vC＝1∶1∶2 ωA∶ωB∶ωC＝3∶4∶4 TA∶TB∶TC＝4∶3∶3 方法总结 三种传动问题的求解方法 (1)绕同一轴转动的各点角速度ω、转速 n 和周期 T 相等，而各点的线速度 v＝ω r，即 v∝r； (2)在皮带不打滑的情况下，传动皮带和皮带连接的轮子边缘各点线速度的大小相等，不打 滑的摩擦传动两轮边缘上各点线速度大小也相等，而角速度ω＝v r ，即ω∝1 r ； (3)齿轮传动与皮带传动具有相同的特点。 [针对训练 2] 如图所示，两个小球 a 和 b 用轻杆连接，并一起在水平面内做匀速圆周运动， 下列说法中正确的是( ) A.a 球的线速度比 b 球的线速度小 B.a 球的角速度比 b 球的角速度小 C.a 球的周期比 b 球的周期小 D.a 球的转速比 b 球的转速大 解析 两个小球一起转动，周期相同，所以它们的转速、角速度都相等，B、C、D 错误；而 由 v＝ωr 可知 b 的线速度大于 a 的线速度，所以 A 正确。 答案 A 7 1.(对匀速圆周运动的理解)(多选)做匀速圆周运动的物体，下列不变的物理量是 ( ) A.速度 B.速率 C.角速度 D.周期 解析 物体做匀速圆周运动时，速度的大小虽然不变，但它的方向在不断变化，选项 B、C、 D 正确。 答案 BCD 2.(对描述匀速圆周运动的物理量间关系的理解)关于匀速圆周运动的线速度 v、角速度ω和 半径 r，下列说法正确的是( ) A.若 r 一定，则 v 与ω成正比 B.若 r 一定，则 v 与ω成反比 C.若ω一定，则 v 与 r 成反比 D.若 v 一定，则ω与 r 成正比 解析 根据 v＝ωr 知，若 r 一定，则 v 与ω成正比；若ω一定，则 v 与 r 成正比；若 v 一 定，则ω与 r 成反比。故只有选项 A 正确。 答案 A 3.(圆周运动的传动问题)如图所示，A、B 是两个依靠摩擦传动的靠背轮，A 是主动轮，B 是 从动轮，它们的半径 RA＝2RB，a 和 b 两点在轮的边缘，c 和 d 在各轮半径的中点，下列判断 正确的是( ) A.va＝2vb B.ωb＝2ωa C.vc＝va D.ωb＝ωc 解析 由于 A、B 两轮之间通过摩擦传动，故 A、B 两轮边缘的线速度大小相同，故 va＝vb， 故 A 错误；根据 v＝ωR 可得ωaRA＝ωbRB，ωa∶ωb＝RB∶RA＝1∶2，即ωb＝2ωa，故 B 正确； 又由于 a 与 c 在同一个圆上，故ωa＝ωc，则ωb＝2ωc，由 v＝ωR 得 va∶vc＝2∶1，即 va ＝2vc，C、D 错误。 答案 B 4.(皮带传动问题)(多选)自行车的大齿轮、小齿轮、后轮的半径不一样，它们的边缘有三个 8 点 A、B、C，如图所示。在自行车正常骑行时，下列说法正确的是( ) A.A、B 两点的线速度大小相等 B.B、C 两点的角速度大小相等 C.A、B 两点的角速度与其半径成反比 D.A、B 两点的角速度与其半径成正比 解析 大齿轮与小齿轮类似于皮带传动，所以两轮边缘的点 A、B 的线速度大小相等，A 正 确；小齿轮与后轮类似于同轴传动，所以 B、C 的角速度大小相等，B 正确；A、B 两点的线 速度大小相等，由 v＝ωr 知 A、B 两点的角速度与半径成反比，C 正确，D 错误。 答案 ABC 5.(圆周运动的物理量间的关系)一汽车发动机的曲轴每分钟转 2 400 周，求： (1)曲轴转动的周期与角速度； (2)距转轴 r＝0.2 m 点的线速度。 解析 (1)由于曲轴每秒钟转2 400 60 ＝40(周)，周期 T＝ 1 40 s；而每转一周为 2π rad，因此 曲轴转动的角速度ω＝2π×40 rad/s＝80π rad/s。 (2)已知 r＝0.2 m，因此这一点的线速度 v＝ωr ＝80π×0.2 m/s＝16π m/s。 答案 (1) 1 40 s 80π rad/s (2)16π m/s 9 基础过关 1.(多选)下列关于匀速圆周运动的说法中正确的是( ) A.匀速圆周运动是匀速运动 B.匀速圆周运动是变速运动 C.匀速圆周运动的线速度不变 D.匀速圆周运动的角速度不变 解析 匀速圆周运动的线速度大小不变，方向时刻改变，故 A、C 错误，B 正确；匀速圆周 运动的角速度是不变的，故 D 正确。 答案 BD 2.一物体做匀速圆周运动的半径为 r，线速度大小为 v，角速度为ω，周期为 T。关于这些 物理量间的关系，下列说法正确的是( ) A.v＝ω r B.v＝2π T C.ω＝2πr T D.v＝ωr 解析 根据匀速圆周运动知识知 v＝rω，ω＝2π T ，v＝2πr T ，因此 A、B、C 错误，D 正确。 答案 D 3.(多选)如图所示，静止在地球上的物体都要随地球一起转动，a 是位于赤道上的一点，b 是位于北纬 30°的一点，则下列说法正确的是( ) 10 A.a、b 两点的运动周期都相同 B.它们的角速度是不同的 C.a、b 两点的线速度大小相同 D.a、b 两点线速度大小之比为 2∶ 3 解析 如题图所示，地球绕自转轴转动时，地球上各点的周期及角速度都是相同的。地球表 面物体做圆周运动的平面是物体所在纬度线平面，其圆心分布在整条自转轴上，不同纬度处 物体做圆周运动的半径是不同的，b 点半径 rb＝ 3ra 2 ，由 v＝ωr，可得 va∶vb＝2∶ 3。 答案 AD 4.有一棵大树将要被伐倒的时候，有经验的伐木工人就会双眼紧盯树梢，根据树梢的运动情 形就能判断大树正在朝哪个方向倒下，从而避免被倒下的大树砸伤。从物理知识的角度来解 释，以下说法正确的是( ) A.树木开始倒下时，树梢的角速度最大，易于判断 B.树木开始倒下时，树梢的线速度最大，易于判断 C.树木开始倒下时，树梢的周期较大，易于判断 D.伐木工人的经验缺乏科学依据 解析 树木开始倒下时，树各处的角速度一样大，故 A 项错误；由 T＝2π ω 知，树各处的周 期也一样大，故 C 项错误；由 v＝ωr 知，树梢的线速度最大，易判断树倒下的方向，故 B 项正确。 答案 B 5.甲沿着半径为 R 的圆周跑道匀速跑步，乙沿着半径为 2R 的圆周跑道匀速跑步，在相同的 时间内，甲、乙各自跑了一圈，他们的角速度和线速度的大小分别为ω1、ω2 和 v1、v2，则( ) A.ω1＞ω2，v1＞v2 B.ω1＜ω2，v1＜v2 C.ω1＝ω2，v1＜v2 D.ω1＝ω2，v1＝v2 解析 由于甲、乙在相同时间内各自跑了一圈，v1＝2πR t ，v2＝4πR t ，v1＜v2。由 v＝rω， 11 得ω＝v r ，ω1＝v1 R ＝2π t ，ω2＝v2 2R ＝2π t ，ω1＝ω2，故 C 正确。 答案 C 6.如图所示，甲、乙、丙三个轮子依靠摩擦转动，相互之间不打滑，其半径分别为 r1、r2、 r3。若甲轮的角速度为ω1，则丙轮的角速度为( ) A.r1ω1 r3 B.r3ω1 r1 C.r3ω1 r2 D.r1ω1 r2 解析 甲、丙两轮边缘的线速度大小相等，即ω1r1＝ω3r3，故丙轮的角速度ω3＝r1 r3 ω1，A 正确。 答案 A 7.(多选)甲、乙两个做匀速圆周运动的质点，它们的角速度之比为 3∶1，线速度之比为 2∶3， 那么下列说法中正确的是( ) A.它们的半径之比为 2∶9 B.它们的半径之比为 1∶2 C.它们的周期之比为 2∶3 D.它们的周期之比为 1∶3 解析 由 v＝ωr，得 r＝ v ω ，r 甲 r 乙 ＝v 甲ω乙 v 乙ω甲 ＝2 9 ，A 正确，B 错误；由 T＝2π ω ，得 T 甲∶T 乙＝2π ω甲 ∶2π ω乙 ＝1 3 ，C 错误，D 正确。 答案 AD 8.如图所示，一绳系一球在光滑的水平桌面上做匀速圆周运动，绳长 L＝0.1 m，当角速度 为ω＝20 rad/s 时，绳断开，试分析绳断开后： (1)小球在桌面上运动的速度； (2)若桌子高 1.00 m，小球离开桌面时速度方向与桌面平行。求小球离开桌子后运动的时间 12 和落点与桌子边缘的水平距离。(不计空气阻力) 解析 (1)v＝ωr＝20×0.1 m/s＝2 m/s。 (2)小球离开桌面后做平抛运动， 竖直方向：h＝1 2 gt2， 所以 t＝ 2h g ＝ 2×1 10 s＝0.45 s。 水平方向：x＝vt＝2×0.45 m＝0.9 m。 答案 (1)2 m/s (2)0.45 s 0.9 m 能力提升 9.(多选)如图所示，一个匀速转动的半径为 r 的水平圆盘上放着两个木块 M 和 N，木块 M 放 在圆盘的边缘处，木块 N 放在离圆心 1 3 r 的地方，它们都随圆盘一起运动。比较两木块的线 速度和角速度，下列说法正确的是( ) A.两木块的线速度相等 B.两木块的角速度相等 C.M 的线速度是 N 的线速度的 3 倍 D.M 的角速度是 N 的角速度的 3 倍 解析 由于 M、N 在圆盘上同轴转动，则有ωM＝ωN，由 v＝ωr 知 vM∶vN＝rM∶rN＝3∶1，故 选项 B、C 正确。 答案 BC 10.甲、乙两物体均做匀速圆周运动，甲的转动半径为乙的一半，当甲转过 60°时，乙在这 段时间里正好转过 45°，则甲、乙两物体的线速度之比为( ) A.1∶4 B.2∶3 C.4∶9 D.9∶16 解析 由题意知 r 甲＝1 2 r 乙，由ω＝Δθ Δt 得ω甲 ω乙 ＝ π 3 π 4 ＝4 3 ，由 v＝ωr 得v 甲 v 乙 ＝ω甲 r 甲 ω乙 r 乙 ＝2 3 ，故选 项 B 正确。 13 答案 B 11.两个小球固定在一根长为 L 的杆的两端，绕杆上的 O 点做圆周运动，如图所示，当小球 1 的速度为 v1 时，小球 2 的速度为 v2，则转轴 O 到小球 2 的距离为( ) A. v1L v1＋v2 B. v2L v1＋v2 C.（v1＋v2）L v1 D.（v1＋v2）L v2 解析 设小球 1、2 做圆周运动的半径分别为 r1、r2，则 v1∶v2＝ωr1∶ωr2＝r1∶r2，又因 r1＋r2＝L，所以小球 2 到转轴 O 的距离 r2＝ v2L v1＋v2 ，B 正确。 答案 B 12.无级变速是指在变速范围内任意连续地变换速度，其性能优于传统的挡位变速器，很多 高档汽车都应用了“无级变速”。如图所示为一种“滚轮—平盘无级变速器”的示意图，它 由固定在主动轴上的平盘和可随从动轴移动的圆柱形滚轮组成。由于摩擦的作用，当平盘转 动时，滚轮就会跟随转动，如果认为滚轮不会打滑，那么主动轴的转速 n1、从动轴的转速 n2、滚轮半径 r 以及滚轮中心距离主动轴轴线的距离 x 之间的关系是( ) A.n2＝n1 x r B.n1＝n2 x r C.n2＝n1 x2 r2 D.n2＝n1 x r 解析 由滚轮不会打滑可知，主动轴上的平盘与可随从动轴转动的圆柱形滚轮在接触点处的 线速度相同，即 v1＝v2，由此可得 x·2πn1＝r·2πn2，所以 n2＝n1 x r ，选项 A 正确。 答案 A 13.如图所示，小球 A 在光滑的半径为 R 的圆形槽内做匀速圆周运动，当它运动到图中 a 点 时，在圆形槽中心 O 点正上方 h 处，有一小球 B 沿 Oa 方向以某一初速度水平抛出，结果恰 好在 a 点与 A 球相碰，(不计空气阻力)求： 14 (1)B 球抛出时的水平初速度； (2)A 球运动的线速度最小值。 解析 (1)小球 B 做平抛运动，其在水平方向上做匀速直线运动，则 R＝v0t① 在竖直方向上做自由落体运动，则 h＝1 2 gt2② 由①②得 v0＝R t ＝R g 2h 。 (2)设相碰时，A 球转了 n 圈，则 A 球的线速度 vA＝2πR T ＝ 2πR t n ＝2πRn g 2h 当 n＝1 时，其线速度有最小值，即 vmin＝2πR g 2h 。 答案 (1)R g 2h (2)2πR g 2h 14.一半径为 R 的雨伞绕柄以角速度ω匀速旋转，如图所示。伞边缘距地面高 h，甩出的水 滴在地面上形成一个圆，则此圆的半径 r 为多少？(不计空气阻力) 解析 水滴飞出的速度大小 v＝ωR， 水滴做平抛运动，故： 竖直方向有 h＝1 2 gt2 水平方向有 l＝vt 由题意画出俯视图，如图所示。 由几何关系知，水滴形成圆的半径 r＝ R2＋l2 15 联立以上各式得 r＝R 1＋2ω2h g 。 答案 R 1＋2ω2h g