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- 2021-05-26 发布
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考点三 带电粒子在复合场中的运动
基础点
知识点 1 带电粒子在复合场、组合场中的运动
1.复合场与组合场
(1)复合场:电场、磁场、重力场共存,或其中某两场共存。
(2)组合场:电场与磁场各位于一定的区域内,并不重叠,或在同一区域,电场、磁场
分时间段或分区域交替出现。
2.带电粒子在复合场中运动情况分类
(1)静止或匀速直线运动:当带电粒子在复合场中所受合外力为零时,将处于静止状态
或匀速直线运动状态。
(2)匀速圆周运动:当带电粒子所受的重力与电场力大小相等,方向相反时,带电粒子
在洛伦兹力的作用下,在垂直于匀强磁场的平面内做匀速圆周运动。
(3)较复杂的曲线运动:当带电粒子所受合外力的大小和方向均变化,且与初速度方向
不在一条直线上时,粒子做非匀变速曲线运动,这时粒子的运动轨迹既不是圆弧,也不是抛
物线。
(4)分阶段运动:带电粒子可能依次通过几个情况不同的复合场区域,其运动情况随区
域发生变化,其运动过程由几种不同的运动阶段组成。
知识点 2 带电粒子在复合场中运动的应用实例
装置 原理图 规律
质谱
仪
粒子由静止被加速电场加速 qU=1
2
mv2,在磁场中做匀速圆周
运动 qvB=mv2
r
,则比荷q
m
= 2U
B2r2
回旋
加速
器
交流电的周期和粒子做圆周运动的周期相等,粒子在圆周运
动过程中每次经过 D 形盒缝隙都会被加速。由 qvB=mv2
r
得
Ekm=q2B2r2
2m
续表
装置 原理图 规律
速度选
择器
若 qv0B=Eq,即 v0=E
B
,粒子做匀速直线
运动
磁流体
发电机
等离子体射入,受洛伦兹力偏转,使两极
板带正、负电,两极板间电压为 U 时稳定,
qU
d
=qvB,U=Bdv
电磁流
量计
U
D
q=qvB,则 v= U
DB
,所以流量 Q=vS=
U
DB
π
D
2 2
霍尔效
应
当磁场方向与电流方向垂直时,导体在与
磁场、电流方向都垂直的方向上出现电势
差
重难点
一、带电粒子在组合场中的运动
1.组合场
电场与磁场各位于一定的区域内,并不重叠,或在同一区域,电场、磁场分时间段或分
区域交替出现。
2.运动特点及处理方法
分阶段运动,带电粒子可能依次通过几个情况不同的组合场区域,其运动情况随区域发
生变化,其运动过程由几种不同的运动阶段组成。
运动特点 处理方法
电场中
匀变速直线运动(v∥E)
(1)牛顿运动定律、运动学公式
(2)动能定理
类平抛运动(v⊥E)
(1)运动的合成与分解
(2)功能关系
磁场中
匀速直线运动(v∥B) 匀速运动的公式
匀速圆周运动(v⊥B) 圆周运动公式、牛顿运动定律、几何知识
3.“电偏转”和“磁偏转”的比较
匀强电场中的偏转 匀强磁场中的偏转
偏转产生
条件
带电粒子以速度 v0 垂直射入匀强电场 带电粒子以速度 v0 垂直射入匀强磁场
续表
匀强电场中的偏转 匀强磁场中的偏转
受力特征
只受恒定的电场力 F=Eq,方向与
初速度方向垂直
只受大小恒定的洛伦兹力 F=
qv0B,方向始终与速度方向垂
直
运动性质 匀变速曲线运动(类平抛) 匀速圆周运动
轨迹 抛物线 圆或圆弧
运动轨迹图
运动规律
vx=v0 vy=qE
m
t
x=v0t y=qEt2
2m
qv0B=mv2
0
R
R=mv0
qB
T=2πm
qB
动能变化 动能增大 动能不变
运动时间 t=x
v0
t= θ
2π
T=θm
Bq
特别提醒
带电粒子在组合场区内运动时,分析每个场区内的受力和运动比较简单。解题的关键是
抓住场区之间的交接特点(如速度 v 的大小、方向),建立时间和空间几何关系的联系。
二、带电粒子在复合场(叠加场)中的运动
1.关于粒子重力是否考虑的三种情况
(1)对于微观粒子,如电子、质子、离子等,因为其重力一般情况下与静电力或磁场力
相比太小,可以忽略;而对于一些实际物体,如带电小球、液滴、尘埃等一般应当考虑其重
力。
(2)在题目中有明确说明是否要考虑重力的,按题目要求处理。
(3)不能直接判断是否要考虑重力的,在进行受力分析与运动分析时,要结合运动状态
确定是否要考虑重力。
2.三种场的比较
名称 力的特点 功和能的特点
重力场
大小:G=mg
方向:竖直向下
重力做功与路径无关重力做功改变
物体的重力势能
静电场
大小:F=qE
方向:正电荷受力方向与场强方向相
同;负电荷受力方向与场强方向相反
电场力做功与路径无关
W=qU
电场力做功改变电势能
磁场
洛伦兹力 F=qvB
方向可用左手定则判断
洛伦兹力不做功,不改变带电粒子的
动能
3.带电体在复合场中无约束情况下的运动归类分析
(1)磁场力、重力并存。
①若重力和洛伦兹力平衡,则带电体做匀速直线运动。
②若重力和洛伦兹力不平衡,则带电体将做复杂的曲线运动,因洛伦兹力不做功,故机
械能守恒。
(2)电场力、磁场力并存(不计重力)。
①若电场力和洛伦兹力平衡,则带电体做匀速直线运动。
②若电场力和洛伦兹力不平衡,则带电体做复杂的曲线运动,可用动能定理求解。
(3)电场力、磁场力、重力并存。
①若三力平衡,带电体做匀速直线运动。
②若重力与电场力平衡,带电体做匀速圆周运动。
③若合力不为零,带电体可能做复杂的曲线运动,可用能量守恒定律或动能定理求解。
4.带电体在叠加场中有约束情况下的运动
带电体在叠加场中受轻杆、轻绳、圆环、轨道等约束的情况下,常见的运动形式有直线
运动和圆周运动,此时解题要通过受力分析明确变力、恒力做功情况,并注意洛伦兹力不做
功的特点,运用动能定理、能量守恒定律结合牛顿运动定律求解。
5.带电粒子在复合场中运动的解题思路
(1)弄清复合场的组成,一般有磁场、电场的复合,电场、重力场的复合,磁场、重力
场的复合,磁场、电场、重力场三者的复合。
(2)正确受力分析,除重力、弹力、摩擦力外要特别注意电场力和磁场力的分析。
(3)确定带电粒子的运动状态,注意运动情况和受力情况的分析。
(4)对于粒子连续通过几个不同情况场的问题,要分阶段进行处理。转折点的速度往往
成为解题的突破。
(5)画出粒子运动轨迹,灵活选择不同的运动规律。
①当带电粒子在复合场中做匀速直线运动时,根据受力平衡列方程求解。
②当带电粒子在复合场中做匀速圆周运动时,应用牛顿运动定律结合圆周运动规律求
解。
③当带电粒子做复杂曲线运动时,一般用动能定理或能量守恒定律求解。
④对于临界问题,注意挖掘隐含条件。
特别提醒
处理带电粒子在复合(叠加)场中的运动问题时,特别注意要做到“三个分析”:
(1)受力分析:正确分析物体的受力情况,重点明确是否不计重力和洛伦兹力的方向。
(2)运动分析:分析物体的运动情况,看物体所做运动是直线运动、圆周运动还是一般
曲线运动,要注意化曲为直分解物体的运动情况。
(3)做功分析:要分别分析物体所受各力的做功情况,重力、电场力做功与运动路径无
关,要特别注意洛伦兹力一定不做功。
三、带电粒子在交变复合场中的运动
1.问题特点
带电粒子在周期性变化的电、磁场中的运动是高考必考的重点和热点,又是高中物理的
一个难点。近几年高考题,题目中的运动情景复杂、综合性强,将场的性质、运动学规律、
牛顿运动定律、功能关系以及交变电场等知识有机地结合,对考生的空间想象能力、物理过
程和运动规律的综合分析能力,以及用数学知识解决物理问题的能力要求较高。
2.处理办法
分析带电粒子在交变复合场中的运动,常用的处理办法为:
(1)仔细分析并确定各场的变化特点及相应的时间,其变化周期一般与粒子在电场或磁
场中的运动周期相关联,应抓住变化周期与运动周期之间的联系作为解题的突破口。
(2)必要时,可把粒子的运动过程还原成一个直观的运动轨迹草图进行分析。
(3)把粒子的运动分解成多个运动阶段分别进行处理,根据每一阶段上的受力情况确定
粒子的运动规律。
(4)还要注意对题目中隐含条件的挖掘,分析不确定因素,力求使解答准确、完整。
特别提醒
(1)带电粒子在周期性变化的电场和磁场中运动时,运动和受力具有周期性、规律性、
多样性等特点,解题的关键是抓住周期性变化规律在时间和空间上的特殊点,进行相应的求
解。
(2)分析周期性变化磁场中的运动时,重点是明确在一个周期内的运动,化“变”为
“恒”是思维根本,其技巧是画出轨迹示意图,结合带电粒子在电磁场和重力场组合与叠加
场中的运动知识列方程解答。
四、电磁场知识在现代科技中的应用典例
1.速度选择器模型
速度选择器模型是电磁叠加场的一个典型应用,其核心规律是电磁叠加场中力的平衡,
即 qE=qvB。很多电磁技术应用中都用到了此规律,如电磁流量计、霍尔效应等。
(1)速度选择器
如图所示,带电粒子无论带正电还是负电,能够沿直线匀速通过速度选择器的条件都是
qE=qvB,即 v=E
B
.
速度选择器只能选择速度,不能选择粒子的质量和电荷量。
(2)电磁流量计
如图所示,圆形导管直径为 d,用非磁性材料制成,导电液体在管中向左流动,导电流
体中的自由电荷(正、负离子)在洛伦兹力的作用下偏转,a、b 间出现电势差,形成电场。
当自由电荷所受的电场力和洛伦兹力平衡时,a、b 间的电势差就保持稳定,即 qvB=qE=qU
d
,
所以 v= U
Bd
,因此液体流量 Q=Sv=πd2
4
· U
Bd
=πdU
4B
。
(3)霍尔效应
如图所示,在匀强磁场中放置一个矩形截面的载流体,当磁场方向与电流方向垂直时,
导体在与磁场、电流方向都垂直的方向出现了电势差。这个现象称为霍尔效应。
静电力和洛伦兹力平衡时有 qU
h
=qvB,上下两表面的电势差 U=vhB。电流与自由电荷定
向运动的速度关系为 I=nqSv=nqdhv。由上述两式可得电势差 U= BI
nqd
。
2.回旋加速器模型
回旋加速器模型是电磁组合场的一个典型应用,即电场中的直线加速运动和磁场中的匀
速圆周运动交替衔接。
(1)质谱仪
质谱仪是一种测定带电粒子质量和分离同位素的仪器。如图所示,离子源 A 产生质量为
m、电荷量为 q 的正离子(所受重力不计),无初速度地经过电压为 U 的电场加速后,进入磁
感应强度为 B 的匀强磁场中做匀速圆周运动,经过半个周期后到达记录它的感光片的 P 点。
现测得 P 点到入口 S 的距离为 L,则 qU=1
2
mv2,qvB=
mv2
L
2
,得 m=qB2L2
8U
。
因为 m 正比于 L2,不同质量的同位素带电荷量相同,在磁场中转动半径不同,在 P 处就
可以分离,所以质谱仪是分离同位素的重要仪器。
(2)回旋加速器
如图所示,回旋加速器的核心部分是两个 D 形金属盒,两盒之间留下一个窄缝,在中心
附近放有粒子源,D 形盒在真空容器中,整个装置放在巨大的电磁铁产生的匀强磁场中,并
把两个 D 形盒分别接在高频电源的两极上。
①其工作原理是:
a.电场加速 qU=ΔEk;
b.磁场的约束偏转 qvB=mv2
r
,r=mv
qB
∝v;
c.加速条件:高频电源的周期与带电粒子在 D 形盒中运动的周期相同,即 T 电场=T 回旋
=2πm
qB
。
②回旋加速器中的五个基本问题
a.同步问题
交变电压的频率 f 与粒子在磁场中做匀速圆周运动的频率相等,交变电压的频率 f=1
T
=
qB
2πm
(当粒子的比荷或磁感应强度改变时,同时也要调节交变电压的频率)。
b.粒子的最大动能
粒子从边缘离开回旋加速器时动能最大,Ekm=1
2
mv2=q2B2R2
2m
,可知在 q、m 和 B 一定的情
况下,回旋加速器的半径 R 越大,粒子的能量就越大(最大动能与加速电压无关)。
c.回旋加速的次数
粒子每加速一次动能增加 qU,故需要加速的次数 n=Ekm
Uq
,回旋的次数为n
2
。
d.粒子运动时间
粒子运动时间由加速次数 n 或回旋的次数n
2
决定,在磁场中的回旋时间 t1=n
2
T;在电场
中的加速时间 t2= nd
vn/2
或 t2= 2nd
a
,其中 a=qU
md
。
在回旋加速器中运动的总时间 t=t1+t2.
回旋轨道半径
rn=mvn
qB
,nqU=1
2
mv2
n,n 为加速次数。
特别提醒
(1)解决速度选择器模型仪器的关键是抓住其合外力为 0,即 qE=qvB 求解。
(2)在回旋加速器中起“回旋”作用的是磁场,起“加速”作用的是电场,但决定“回
旋”次数的是电场,决定“加速”效果(最大动能)的是磁场(前提是回旋加速器半径的大小
确定)。
1.思维辨析
(1)带电粒子在复合场中不可能处于静止状态。( )
(2)带电粒子在复合场中可能做匀速圆周运动。( )
(3)带电粒子在复合场中一定能做匀变速直线运动。( )
(4)带电粒子在复合场中运动一定要考虑重力。( )
(5)电荷在速度选择器中做匀速直线运动的速度与电荷的电性有关。( )
(6)利用质谱仪可以测得带电粒子的比荷。( )
(7)经过回旋加速器加速的带电粒子的最大动能是由 D 形盒的最大半径、磁感应强度 B、
加速电压的大小共同决定的。( )
答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)√ (7)×
2. 回旋加速器是加速带电粒子的装置,其主体部分是两个 D 形金属盒。两金属盒处在
垂直于盒底的匀强磁场中,a、b 分别与高频交流电源两极相连接,下列说法正确的是( )
A.离子从磁场中获得能量
B.带电粒子的运动周期是变化的
C.离子由加速器的中心附近进入加速器
D.增大金属盒的半径,粒子射出时的动能不变
答案 C
解析 离子在回旋加速器中从电场中获得能量,带电粒子的运动周期是不变的,选项 A、
B 错误;离子由加速器的中心附近进入加速器,增大金属盒的半径,粒子射出时的动能增大,
选项 C 正确 D 错误。
3.(多选)如图所示,已知甲空间中没有电场、磁场;乙空间中有竖直向上的匀强电场;
丙空间中有竖直向下的匀强电场;丁空间中有垂直纸面向里的匀强磁场。四个图中的斜面相
同且绝缘,相同的带负电小球从斜面上的同一点 O 以相同初速度 v0 同时沿水平方向抛出,
分别落在甲、乙、丙、丁图中斜面上 A、B、C、D 点(图中未画出)。小球受到的电场力、洛
伦兹力都始终小于重力,不计空气阻力,则 ( )
A.O、C 之间距离大于 O、B 之间距离
B.小球从抛出到落在斜面上用时相等
C.小球落到 B 点与 C 点速度大小相等
D.从 O 到 A 与从 O 到 D,合力对小球做功相同
答案 AC
解析 根据平抛运动的特点可知,tanθ=
1
2
at2
v0t
=at
2v0
,因乙图小球下落的加速度大于丙
图小球下落的加速度,所以乙图小球运动的时间 t 乙小于丙图小球运动的时间 t 丙,因小球在
水平方向做匀速直线运动,水平方向的位移 x=v0t,所以 x 丙>x 乙,O、C 之间距离大于 O、
B 之间的距离,选项 A 正确,B 错误;因平抛运动中速度与水平方向的夹角 tan α=2tanθ,
且小球初速度 v0 也相同,结合数学知识可知小球落到 B 点与 C 点速度大小相等,选项 C 正
确;从 O 到 A 与从 O 到 D,都只有重力做功,但从 O 到 D 小球运动的时间长,水平距离大,
下落高度大,重力做功多,选项 D 错误。
[考法综述] 本考点知识在高考中考查频度较高,交汇命题考查带电粒子在复合
场中的运动,常以压轴题的形式呈现。涉及的知识有运动学公式、牛顿运动定律、圆周运动
规律、功能关系、电场、磁场等,因此复习本考点时应掌握:
2 种场——叠加场、组合场的构成及特点
2 种方法——带电粒子在叠加场、组合场中运动时的处理方法
6 种装置——回旋加速器、质谱仪、速度选择器、磁流体发电机、电磁流量计、霍尔元
件
命题法 1 带电粒子在组合场中的运动
典例 1 在如图所示的竖直平面内,水平轨道 CD 和倾斜轨道 GH 与半径 r= 9
44
m 的光
滑圆弧轨道分别相切于 D 点和 G 点,GH 与水平面的夹角θ=37°。过 G 点、垂直于纸面的
竖直平面左侧有匀强磁场,磁场方向垂直于纸面向里,磁感应强度 B=1.25 T;过 D 点、垂
直于纸面的竖直平面右侧有匀强电场,电场方向水平向右,电场强度 E=1×104 N/C。小物
体 P1 质量 m=2×10-3 kg、电荷量 q=+8×10-6 C,受到水平向右的推力 F=9.98×10-3 N
的作用,沿 CD 向右做匀速直线运动,到达 D 点后撤去推力。当 P1 到达倾斜轨道底端 G 点时,
不带电的小物体 P2 在 GH 顶端静止释放,经过时间 t=0.1 s 与 P1 相遇。P1 和 P2 与轨道 CD、
GH 间的动摩擦因数均为μ=0.5,取 g= 10 m/s2 ,sin37°=0.6,cos37°=0.8,物体
电荷量保持不变,不计空气阻力。求:
(1)小物体 P1 在水平轨道 CD 上运动速度 v 的大小;
(2)倾斜轨道 GH 的长度 s。
[答案] (1)4 m/s (2)0.56 m
[解析] (1)设小物体 P1 在匀强磁场中运动的速度为 v,受到向上的洛伦兹力为 F1,受
到的摩擦力为 f,则
F1=qvB①
f=μ(mg-F1)②
由题意,水平方向合力为零
F-f=0③
联立①②③式,代入数据解得
v=4 m/s④
(2)设 P1 在 G 点的速度大小为 vG,由于洛伦兹力不做功,根据动能定理
qErsinθ-mgr(1-cosθ)=1
2
mv2
G-1
2
mv2⑤
P1 在 GH 上运动,受到重力、电场力和摩擦力的作用,设加速度为 a1,根据牛顿第二定
律
qEcosθ-mgsinθ-μ(mgcosθ+qEsinθ)=ma1⑥
P1 与 P2 在 GH 上相遇时,设 P1 在 GH 上运动的距离为 s1,则
s1=vGt+1
2
a1t2⑦
设 P2 质量为 m2,在 GH 上运动的加速度为 a2,则
m2gsinθ-μm2gcosθ=m2a2⑧
P1 与 P2 在 GH 上相遇时,设 P2 在 GH 上运动的距离为 s2,则
s2=1
2
a2t2⑨
s=s1+s2⑩
联立⑤~⑩式,代入数据得
s=0.56 m⑪
【解题法】 带电粒子在组合场中运动的分析思路
命题法 2 带电粒子在复合场(叠加场)中的运动
典例 2 如图所示,空间存在一范围足够大的垂直于 xOy 平面向外的匀强磁场,磁感
应强度大小为 B。让质量为 m,电量为 q(q>0)的粒子从坐标原点 O 沿 xOy 平面以不同的初速
度大小和方向入射到该磁场中。不计重力和粒子间的影响。
(1)若粒子以初速度 v1 沿 y 轴正向入射,恰好能经过 x 轴上的 A(a,0)点,求 v1 的大小;
(2)已知一粒子的初速度大小为 v(v>v1),为使该粒子能经过 A(a,0)点,其入射角θ(粒
子初速度与 x 轴正向的夹角)有几个?并求出对应的 sinθ值;
(3)如图乙,若在此空间再加入沿 y 轴正向、大小为 E 的匀强电场,一粒子从 O 点以初
速度 v0 沿 y 轴正向发射。研究表明:粒子在 xOy 平面内做周期性运动,且在任一时刻,粒
子速度的 x 分量 vx 与其所在位置的 y 坐标成正比,比例系数与场强大小 E 无关。求该粒子
运动过程中的最大速度值 vm。
[答案] (1)qBa
2m
(2)2 个 aqB
2mv
(3)E
B
+
E
B 2+v2
0
[解析] (1)带电粒子以速率 v 在匀强磁场 B 中做匀速圆周运动,半径为 R,有
qvB=mv2
R
①
当粒子以初速度 v1 沿 y 轴正向入射,转过半个圆周至 A 点,该圆周半径为 R1,有:
R1=a
2
②
由②代入①式得
v1=qBa
2m
。③
(2)如图,O、A 两点处于同一圆周上,且圆心在 x=a
2
的直线上,半径为 R.当给定一
个初速率 v 时,有 2 个入射角,分别在第 1、2 象限,有
sinθ′=sinθ= a
2R
④
由①④式解得
sinθ=aqB
2mv
⑤
(3)粒子在运动过程中仅电场力做功,因而在轨道的最高点处速率最大,用 ym 表示其 y
坐标,由动能定理,有
qEym=1
2
mv2
m-1
2
mv2
0⑥
由题知,有
vm=kym⑦
若 E=0 时,粒子以初速度 v0 沿 y 轴正向入射,有
qv0B=mv2
0
R0
⑧
v0=kR0⑨
由⑥⑦⑧⑨式解得 vm=E
B
+
E
B 2+v2
0。
【解题法】 带电粒子在复合场(叠加场)中的力和运动分析思路
命题法 3 带电粒子在交变复合场中的运动
典例 3 两块足够大的平行金属极板水平放置,极板间加有空间分布均匀、大小随时
间周期性变化的电场和磁场,变化规律分别如图甲、乙所示(规定垂直纸面向里为磁感应强
度的正方向)。在 t=0 时由负极板释放一个初速度为零的带负电的粒子(不计重力)。若电场
强度 E0、磁感应强度 B0、粒子的比荷q
m
均已知,且 t0=2πm
qB0
两板间距 h=10π2mE0
qB2
0
。
(1)求粒子在 0~t0 时间内的位移大小与极板间距 h 的比值;
(2)求粒子在极板间做圆周运动的最大半径(用 h 表示);
(3)若板间电场强度 E 随时间的变化仍如图甲所示,磁场的变化改为如图丙所示,试画
出粒子在板间运动的轨迹图(不必写计算过程)。
[答案] (1)1
5
(2) 2h
5π
(3)见解析图 2
[解析] (1)设粒子在 0~t0 时间内运动的位移大小为 x1,
x1=1
2
at2
0①
a=qE0
m
②
又已知 t0=2πm
qB0
,h=10π2mE0
qB2
0
③
联立①②③式解得x1
h
=1
5
(2)粒子在 t0~2t0 时间内只受洛伦兹力作用,且速度与磁场方向垂直,所以粒子做匀速
圆周运动,设运动速度大小为 v1,轨道半径为 R1,周期为 T,则 v1=at0④
qv1B0=mv2
1
R1
⑤
联立②③④⑤解得 R1= h
5π
⑥
又 T=2πm
qB0
⑦
即粒子在 t0~2t0 时间内恰好完成一个周期的圆周运动。在 2t0~3t0 时间内,粒子做初
速度为 v1 的匀加速直线运动,设位移大小为 x2,则 x2=v1t0+1
2
at2
0⑧
联立②③④⑧解得 x2=3
5
h⑨
由于 x1+x2q
m
则导致 sinθn′>1
说明θn′不存在,即原假设不成立。所以比荷较该粒子大的粒子不能穿出该层磁场右
侧边界。
5.如图,绝缘粗糙的竖直平面 MN 左侧同时存在相互垂直的匀强电场和匀强磁场,电场
方向水平向右,电场强度大小为 E,磁场方向垂直纸面向外,磁感应强度大小为 B。一质量
为 m、电荷量为 q 的带正电的小滑块从 A 点由静止开始沿 MN 下滑,到达 C 点时离开 MN 做曲
线运动。A、C 两点间距离为 h,重力加速度为 g。
(1)求小滑块运动到 C 点时的速度大小 vC;
(2)求小滑块从 A 点运动到 C 点过程中克服摩擦力做的功 Wf;
(3)若 D 点为小滑块在电场力、洛伦兹力及重力作用下运动过程中速度最大的位置,当
小滑块运动到 D 点时撤去磁场,此后小滑块继续运动到水平地面上的 P 点。已知小滑块在 D
点时的速度大小为 vD,从 D 点运动到 P 点的时间为 t,求小滑块运动到 P 点时速度的大小 vP。
答案 (1)vC=E
B
(2)Wf=mgh-mE2
2B2
(3)vP= v2
D+
qE
m 2+g2 t2
解析 (1)小滑块沿 MN 运动过程,水平方向受力满足
qvB+N=qE①
小滑块在 C 点离开 MN 时
N=0②
解得 vC=E
B
③
(2)由动能定理
mgh-Wf=1
2
mv2
C-0④
解得 Wf=mgh-mE2
2B2⑤
(3)如图,小滑块速度最大时,速度方向与电场力、重力的合力方向垂直。撤去磁场后
小滑块将做类平抛运动,等效加速度为 g′
g′=
qE
m 2+g2⑥
且 v2
P=v2
D+g′2t2⑦
解得 vP= v2
D+
qE
m 2+g2 t2⑧
6.使用回旋加速器的实验需要把离子束从加速器中引出,离子束引出的方法有磁屏蔽
通道法和静电偏转法等,质量为 m、速度为 v 的离子在回旋加速器内旋转,旋转轨道是半径
为 r 的圆,圆心在 O 点,轨道在垂直纸面向外的匀强磁场中,磁感应强度为 B。
为引出离子束,使用磁屏蔽通道法设计引出器。引出器原理如图所示,一对圆弧形金属
板组成弧形引出通道,通道的圆心位于 O′点(O′点图中未画出)。引出离子时,令引出通
道内磁场的磁感应强度降低,从而使离子从 P 点进入通道,沿通道中心线从 Q 点射出。已知
OQ 长度为 L,OQ 与 OP 的夹角为θ。
(1)求离子的电荷量 q 并判断其正负;
(2)离子从 P 点进入、Q 点射出,通道内匀强磁场的磁感应强度应降为 B′,求 B′;
(3)换用静电偏转法引出离子束,维持通道内的原有磁感应强度 B 不变,在内外金属板
间加直流电压,两板间产生径向电场,忽略边缘效应。为使离子仍从 P 点进入 Q 点射出,求
通道内引出轨迹处电场强度 E 的方向和大小。
答 案 (1) mv
Br
, 正 电 荷 (2) mv 2r-2Lcosθ
q r2+L2-2rLcosθ
(3) 沿 径 向 向 外 ; Bv -
mv2 2r-2Lcosθ
q r2+L2-2rLcosθ
解析 (1)离子做圆周运动 Bqv=mv2
r
①
q=mv
Br
,正电荷②
(2)如图所示。
O′Q=R,OQ=L,O′O=R-r
引出轨迹为圆弧,B′qv=mv2
R
③
R= mv
qB′
④
根据几何关系得
R2=L2+(R-r)2-2L(R-r)cos(π-θ)⑤
联立④⑤式得
B′=mv
qR
= mv 2r-2Lcosθ
q r2+L2-2rLcosθ
⑥
(3)电场强度方向沿径向向外⑦
引出轨迹为圆弧,Bqv-Eq=mv2
R
⑧
E=Bv- mv2 2r-2Lcosθ
q r2+L2-2rLcosθ
⑨
7.如图所示,某种离子加速器的设计方案。两个半圆形金属盒内存在相同的垂直于纸
面向外的匀强磁场。其中 MN 和 M′N′是间距为 h 的两平行极板,其上分别有正对的两个小
孔 O 和 O′,O′N′=ON=d,P 为靶点,O′P=kd(k 为大于 1 的整数)。极板间存在方向向
上的匀强电场,两极板间电压为 U。质量为 m、带电量为 q 的正离子从 O 点由静止开始加速,
经 O′进入磁场区域。当离子打到极板上 O′N′区域(含 N′点)或外壳上时将会被吸收。两
虚线之间的区域无电场和磁场存在,离子可匀速穿过。忽略相对论效应和离子所受的重力。
求:
(1)离子经过电场仅加速一次后能打到 P 点所需的磁感应强度大小;
(2)能使离子打到 P 点的磁感应强度的所有可能值;
(3)打到 P 点的能量最大的离子在磁场中运动的时间和在电场中运动的时间。
答案 (1)2 2Uqm
qkd
(2)2 2nUqm
qkd
(n=1,2,3…,k2-1)
(3) 2k2-3π mkd
2 2Uqm k2-1
h 2 k2-1 m
Uq
解析 (1)离子经过电场仅加速一次后能打到 P 点时,轨道半径 R1=kd
2
根据牛顿第二定律有:
B1qv1=mv2
1
R1
对离子在电场中加速的过程应用动能定理有:qU=1
2
mv2
1
解得:B1=2 2Uqm
qkd
(2)假设离子在电场中加速了 n 次后恰好打在 P 点,则有
nqU=1
2
mv2
2
Bqv2=mv2
2
R
R=kd
2
解得 B=2 2nUqm
qkd
若离子在电场中加速一次后恰好打在 N′。同理可得此时的磁感应强度
B0=2 2Uqm
qd
。由题意可知,B<B0 时离子才可能打在 P 点上。
由2 2nUqm
qkd
<2 2Uqm
qd
解得:n<k2,可见 n 的最大值应为 k2-1,即 n 的取值应为 n=
1,2,3,…,k2-1。
(3)n=k2-1 对应的离子就是打在 P 点的能量最大的离子。
离子在磁场中运动的圈数为 k2-3
2
,故在磁场中运动的时间 t1=
k2-3
2 T=
k2-3
2 ×2πm
Bq
=
2k2-3π mkd
2 2Uqm k2-1
。
设离子在电场中运动的时间为 t2,则有:
(k2-1)h=1
2
qU
hm
t2
2
解得:t2=h 2 k2-1 m
Uq
。
8.一台质谱仪的工作原理如图所示,电荷量均为+q、质量不同的离子飘入电压为 U0
的加速电场,其初速度几乎为零。这些离子经加速后通过狭缝 O 沿着与磁场垂直的方向进入
磁感应强度为 B 的匀强磁场,最后打在底片上。已知放置底片的区域 MN=L,且 OM=L。某
次测量发现 MN 中左侧2
3
区域 MQ 损坏,检测不到离子,但右侧1
3
区域 QN 仍能正常检测到离子。
在适当调节加速电压后,原本打在 MQ 的离子即可在 QN 检测到。
(1)求原本打在 MN 中点 P 的离子质量 m;
(2)为使原本打在 P 的离子能打在 QN 区域,求加速电压 U 的调节范围;
(3)为了在 QN 区域将原本打在 MQ 区域的所有离子检测完整,求需要调节 U 的最少次数。
(取 lg 2=0.301, lg 3=0.477, lg 5=0.699)
答案 (1)9qB2L2
32U0
(2)100U0
81
≤U≤16U0
9
(3)3
解析 (1)离子在电场中加速,qU0=1
2
mv2
在磁场中做匀速圆周运动,qvB=mv2
r
解得 r=1
B
2mU0
q
代入 r0=3
4
L
解得 m=9qB2L2
32U0
(2)由(1)知,U=16U0r2
9L2
离子打在 Q 点,r=5
6
L,U=100U0
81
离子打在 N 点,r=L,U=16U0
9
则电压的范围100U0
81
≤U≤16U0
9
(3)由(1)可知,r∝ U
由题意知,第 1 次调节电压到 U1,使原本 Q 点的离子打在 N 点,
L
5
6
L
= U1
U0
此时,原本半径为 r1 的打在 Q1 的离子打在 Q 上,
5
6
L
r1
= U1
U0
解得 r1=
5
6 2L
第 2 次调节电压到 U2,原本打在 Q1 的离子打在 N 点,原本半径为 r2 的打在 Q2 的离子打
在 Q 上,则L
r1
= U2
U0
,
5
6
L
r2
= U2
U0
解得 r2=
5
6 3L
同理,第 n 次调节电压,有 rn=
5
6 n+1L
检测完整,有 rn≤L
2
解得 n≥
lg 2
lg
6
5
-1≈2.8
最少次数为 3 次。
物理建模 带电粒子在组合场中运动模型问题
带电粒子在组合场中的运动情况复杂,可根据进入电、磁场的先后以及各场的特点分为
如下几种模型处理:
(1)先电场后磁场模型
①先在电场中做加速直线运动,然后进入磁场做圆周运动(如图 1、2 所示);
在电场中利用功能定理或运动学公式求粒子刚进入磁场时的速度。
②先在电场中做类平抛运动,然后进入磁场做圆周运动。(如图 3、4 所示)
在电场中利用平抛运动知识求粒子进入磁场时的速度。
(2)先磁场后电场模型
常见两种情况:①进入电场时粒子速度方向与电场方向相同或相反;
②进入电场时粒子速度方向与电场方向垂直(如图 5、6 所示)。
(3)两磁场组合模型
粒子在两磁场中做圆周运动(如图 7 所示)。
【典例】 如图所示,在坐标系 xOy 的第一、第三象限内存在相同的匀强磁场,磁场方
向垂直于 xOy 平面向里;第四象限内有沿 y 轴正方向的匀强电场,电场强度大小为 E。一带
电量为+q、质量为 m 的粒子,自 y 轴上的 P 点沿 x 轴正方向射入第四象限,经 x 轴上的 Q
点进入第一象限,随即撤去电场,以后仅保留磁场。已知 OP=d,OQ=2d。不计粒子重力。
(1)求粒子过 Q 点时速度的大小和方向;
(2)若磁感应强度的大小为一确定值 B0,粒子将以垂直 y 轴的方向进入第二象限,求 B0;
(3)若磁感应强度的大小为另一确定值,经过一段时间后粒子将再次经过 Q 点,且速度
与第一次过 Q 点时相同,求该粒子相邻两次经过 Q 点所用的时间。
[审题指导]
第一步:抓关键点
关键点 获取信息
①沿 y 轴正方向的匀强电场
②自 y 轴 P 点沿 x 轴正方向射入
带电粒子在第四象限内做类平抛运动
在第一、三象限内存在相同的匀强磁场
在第一、三象限内带电粒子做半径相同的匀
速圆周运动
以垂直 y 轴的方向进入第二象限 在第一象限内做圆周运动的圆心在 y 轴上
改变磁感应强度值,经过一段时间后粒子再次经过 Q
点,且速度与第一次相同
带电粒子在第一、三象限内运动的轨迹均为
半圆
第二步:找突破口
(1)要求过 Q 点的速度,可以结合平抛运动的知识列方程求解。
(2)要求以垂直 y 轴的方向进入第二象限时的磁感应强度 B0 值,可以先画出带电粒子在
第一象限的运动轨迹,后结合匀速圆周运动的知识求解。
(3)要求经过一段时间后仍以相同的速度过 Q 点情况下经历的时间,必须先综合分析带
电粒子的运动过程,画出运动轨迹,后结合有关知识列方程求解。
[解析] (1)设粒子在电场中运动的时间为 t0,加速度的大小为 a,粒子的初速度为 v0,
过 Q 点时速度的大小为 v,沿 y 轴方向分速度的大小为 vy,速度与 x 轴正方向间的夹角为θ,
由牛顿第二定律得
qE=ma①
由运动学公式得 d=1
2
at2
0②
2d=v0t0③
vy=at0④
v= v2
0+v2
y⑤
tanθ=vy
v0
⑥
联立①②③④⑤⑥式得 v=2 qEd
m
⑦
θ=45°,即粒子过 Q 点时速度方向斜向上与 x 轴正方向成 45°角⑧
(2)设粒子做圆周运动的半径为 R1,粒子在第一象限的运动轨迹如图所示,O1 为圆心,
由几何关系可知ΔO1OQ 为等腰直角三角形,得 R1=2 2d⑨
由牛顿第二定律得 qvB0=mv2
R1
⑩
联立⑦⑨⑩式得 B0= mE
2qd
⑪
(3)设粒子做圆周运动的半径为 R2,由几何知识分析知,粒子运动的轨迹如图所示,O2、
O2′是粒子做圆周运动的圆心,Q、F、G、H 是轨迹与两坐标轴的交点,连接 O2,O2′,由几
何关系知,O2FGO2′和 O2QHO2′均为矩形,进而知 FQ、GH 均为直径,QFGH 也是矩形,又 FH
⊥GQ,可知 QFGH 是正方形,ΔQOF 为等腰直角三角形。由此可知,粒子在第一、第三象限
的轨迹均为半圆,得
2R2=2 2d⑫
粒子在第二、第四象限的轨迹为长度相等的线段,得 FG=HQ=2R2⑬
设粒子相邻两次经过 Q 点所用的时间为 t,则 t=FG+HQ+2πR2
v
⑭
联立⑦⑫⑬⑭式得 t=(2+π) 2md
qE
。
[答案] (1)2 qEd
m
,方向斜向上与 x 轴正方向成 45°角 (2) mE
2qd
(3)(2+π)
2md
qE
[心得体会]
当带电粒子在重力场、电场、磁场并存的空间做直线运动时,重力、电场力和洛伦兹力
的合力必为零,粒子一定做匀速直线运动;当带电粒子所受重力和电场力等大反向,洛伦兹
力提供向心力时,带电粒子做匀速圆周运动;当带电粒子连续通过几个不同的场区,带电粒
子的受力情况和运动情况也发生相应的变化,其运动过程分别由几个不同的运动阶段组成,
应逐一分析,否则易造成错误,现举一例如下:
(多选) 如图所示,虚线框中存在垂直纸面向外的匀强磁场 B 和平行纸面且与竖直
平面夹角为 45°的斜向下的匀强电场 E,有一质量为 m、电荷量为 q 的带负电的小球在高为
h 处的 P 点从静止开始自由下落,当小球运动到复合场内时刚好做直线运动,那么( )
A.小球在复合场中一定做匀速直线运动
B.磁感应强度 B=m 2gh
2qh
,场强 E= 2mg
q
C.若换成带正电的小球,小球仍可能做直线运动
D.若同时改变小球的比荷与初始下落高度 h,小球仍能沿直线通过复合场
[错解]
[错因分析] 根据小球做直线运动的受力要求,认为只要小球进入复合场时合外力方向
与速度方向在一条直线上,小球就可以沿直线运动,忽视了小球速度变化对洛伦兹力的影响
而漏选 A、B 项,不加分析地错选了 C 项。
考虑问题不全面,认为同时改变小球的比荷与初始下落高度 h,磁感应强度 B=m 2gh
2qh
仍
然可以成立,但没有注意
到改变比荷时 E= 2mg
q
就不能成立,故判断小球仍能沿直线通过复合场而错选 D 项。
[正解] 小球在复合场中受到竖直向下的重力、与电场强度方向相反的电场力和水平向
右的洛伦兹力的作用,如图所示。其中重力和电场力是恒力,而洛伦兹力的大小与小球的速
度大小成正比,若小球做的是变速运动,那么洛伦兹力也是变力,小球的合外力方向也要改
变,这与题意不符,所以小球在复合场中一定做匀速直线运动,选项 A 正确;根据小球的平
衡条件可得:qvB=mg,qE= 2mg,又 v2= 2gh,联立以上各式解得磁感应强度 B=m 2gh
2qh
,
电场强度 E= 2mg
q
,B 正确;若换成带正电的小球,则电场力和洛伦兹力同时反向,合力不
可能为零,C 项错误;若要使小球沿直线通过复合场,小球的合力一定为零,所以一定要满
足 B=m 2gh
2qh
和 E= 2mg
q
,若同时改变小球的比荷与初始下落高度 h,以上两个式子不能同
时满足,所以选项 D 错误。
[答案] AB
[心得体会]
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