高中物理磁场大题(超全) 70页

高中物理磁场大题 一．解答题（共 30 小题） 1．如图甲所示，建立 Oxy 坐标系，两平行极板 P、Q 垂直于 y 轴且关于 x 轴对 称，极板长度和板间距均为 l，第一四象限有磁场，方向垂直于 Oxy 平面向里．位 于极板左侧的粒子源沿 x 轴间右连续发射质量为 m、电量为+q、速度相同、重力 不计的带电粒子在 0～3t0 时间内两板间加上如图乙所示的电压（不考虑极边缘的 影响）．已知 t=0 时刻进入两板间的带电粒子恰好在 t0 时刻经极板边缘射入磁 场．上述 m、q、l、t0、B 为已知量．（不考虑粒子间相互影响及返回板间的情况） （1）求电压 U0 的大小． （2）求 t0 时进入两板间的带电粒子在磁场中做圆周运动的半径． （3）何时射入两板间的带电粒子在磁场中的运动时间最短？求此最短时间． 2．如图所示，在 xOy 平面内，0＜x＜2L 的区域内有一方向竖直向上的匀强电场， 2L＜x＜3L 的区域内有一方向竖直向下的匀强电场，两电场强度大小相等．x＞3L 的区域内有一方向垂直于 xOy 平面向外的匀强磁场．某时刻，一带正电的粒子从 坐标原点以沿 x 轴正方向的初速度 v0 进入电场；之后的另一时刻，一带负电粒 子以同样的初速度从坐标原点进入电场．正、负粒子从电场进入磁场时速度方向 与电场和磁场边界的夹角分别为 60°和 30°，两粒子在磁场中分别运动半周后在 某点相遇．已经两粒子的重力以及两粒子之间的相互作用都可忽略不计，两粒子 带电量大小相等．求： （1）正、负粒子的质量之比 m1：m2； （2）两粒子相遇的位置 P 点的坐标； （3）两粒子先后进入电场的时间差． 3．如图所示，相距为 R 的两块平行金属板 M、N 正对着放置，s1、s2 分别为 M、 N 板上的小孔，s1、s2、O 三点共线，它们的连线垂直 M、N，且 s2O=R．以 O 为 圆心、R 为半径的圆形区域内存在磁感应强度为 B、方向垂直纸面向外的匀强磁 场．D 为收集板，板上各点到 O 点的距离以及板两端点的距离都为 2R，板两端 点的连线垂直 M、N 板．质量为 m、带电量为+q 的粒子，经 s1 进入 M、N 间的 电场后，通过 s2 进入磁场．粒子在 s1 处的速度和粒子所受的重力均不计． （1）当 M、N 间的电压为 U 时，求粒子进入磁场时速度的大小υ； （2）若粒子恰好打在收集板 D 的中点上，求 M、N 间的电压值 U0； （3）当 M、N 间的电压不同时，粒子从 s1 到打在 D 上经历的时间 t 会不同，求 t 的最小值． 4．如图所示，直角坐标系 xoy 位于竖直平面内，在‑ m≤x≤0 的区域内有磁 感应强度大小 B=4.0×10﹣4T、方向垂直于纸面向里的条形匀强磁场，其左边界与 x 轴交于 P 点；在 x＞0 的区域内有电场强度大小 E=4N/C、方向沿 y 轴正方向的 条形匀强电场，其宽度 d=2m．一质量 m=6.4×10﹣27kg、电荷量 q=﹣3.2×10‑ 19C 的带电粒子从 P 点以速度 v=4×104m/s，沿与 x 轴正方向成α=60°角射入磁场，经 电场偏转最终通过 x 轴上的 Q 点（图中未标出），不计粒子重力．求： （1）带电粒子在磁场中运动时间； （2）当电场左边界与 y 轴重合时 Q 点的横坐标； （3）若只改变上述电场强度的大小，要求带电粒子仍能通过 Q 点，讨论此电场 左边界的横坐标 x′与电场强度的大小 E′的函数关系． 5．如图所示，两平行金属板 AB 中间有互相垂直的匀强电场和匀强磁场．A 板带 正电荷，B 板带等量负电荷，电场强度为 E；磁场方向垂直纸面向里，磁感应强 度为 B1．平行金属板右侧有一挡板 M，中间有小孔 O′，OO′是平行于两金属板的 中心线．挡板右侧有垂直纸面向外的匀强磁场，磁场应强度为 B2．CD 为磁场 B2 边界上的一绝缘板，它与 M 板的夹角θ=45°，O′C=a，现有大量质量均为 m，含 有各种不同电荷量、不同速度的带电粒子（不计重力），自 O 点沿 OO′方向进入 电磁场区域，其中有些粒子沿直线 OO′方向运动，并进入匀强磁场 B2 中，求： （1）进入匀强磁场 B2 的带电粒子的速度； （2）能击中绝缘板 CD 的粒子中，所带电荷量的最大值； （3）绝缘板 CD 上被带电粒子击中区域的长度． 6．在平面直角坐标系 xoy 中，第 I 象限存在沿 y 轴负方向的匀强电场，第 IV 象 限存在垂直于坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度为 B．一质量为 m，电荷量 为 q 的带正电的粒子从 y 轴正半轴上的 M 点以速度 v0 垂直于 y 轴射入电场，经 x 轴上的 N 点与 x 轴正方向成 45°角射入磁场，最后从 y 轴负半轴上的 P 点垂直 于 y 轴射出磁场，如图所示．不计粒子重力，求： （1）M、N 两点间的电势差 UMN； （2）粒子在磁场中运动的轨道半径 r； （3）粒子从 M 点运动到 P 点的总时间 t． 7．如图所示的平行板器件中，存在相互垂直的匀强磁场和匀强电场，磁场的磁 感应强度 B1=0.40T，方向垂直纸面向里，电场强度 E=2.0×105V/m，PQ 为板间中 线．紧靠平行板右侧边缘 xOy 坐标系的第一象限内，有垂直纸面向外的匀强磁场， 磁感应强度 B2=0.25T，磁场边界 AO 和 y 轴的夹角∠AOy=45°．一束带电量 q=8.0 ×10﹣19C 的正离子从 P 点射入平行板间，沿中线 PQ 做直线运动，穿出平行板后 从 y 轴上坐标为（0，0.2m）的 Q 点垂直 y 轴射入磁场区，离子通过 x 轴时的速 度方向与 x 轴正方向夹角在 45°～90°之间．则： （1）离子运动的速度为多大？ （2）离子的质量应在什么范围内？ （3）现只改变 AOy 区域内磁场的磁感应强度大小，使离子都不能打到 x 轴上， 磁感应强度大小 B2 应满足什么条件？ 8．如图所示，在空间中存在垂直纸面向里的匀强磁场，其竖直边界 AB、CD 的 宽度为 d，在边界 AB 左侧是竖直向下、场强为 E 的匀强电场．现有质量为 m、 带电量为+q 的粒子（不计重力）从 P 点以大小为 v0 的水平初速度射入电场，随 后与边界 AB 成 45°射入磁场．若粒子能垂直 CD 边界飞出磁场，穿过小孔进入如 图所示两竖直平行金属板间的匀强电场中减速至零且不碰到正极板． （1）请画出粒子上述过程中的运动轨迹，并求出粒子进入磁场时的速度大小 v； （2）求匀强磁场的磁感应强度 B； （3）求金属板间的电压 U 的最小值． 9．如图甲，真空中竖直放置两块相距为 d 的平行金属板 P、Q，两板间加上如图 乙最大值为 U0 的周期性变化的电压，在 Q 板右侧某个区域内存在磁感应强度大 小为 B、方向垂直于纸面向里的有界匀强磁场．在紧靠 P 板处有一粒子源 A，自 t=0 开始连续释放初速不计的粒子，经一段时间从 Q 板小孔 O 射入磁场，然后射 出磁场，射出时所有粒子的速度方向均竖直向上．已知电场变化周期 T= ， 粒子质量为 m，电荷量为+q，不计粒子重力及相互间的作用力．求： （1）t=0 时刻释放的粒子在 P、Q 间运动的时间； （2）粒子射入磁场时的最大速率和最小速率； （3）有界磁场区域的最小面积． 10．“太空粒子探测器”是由加速、偏转和收集三部分组成，其原理可简化如下： 如图 1 所示，辐射状的加速电场区域边界为两个同心平行半圆弧面，圆心为 O， 外圆弧面 AB 的半径为 L，电势为φ1，内圆弧面 CD 的半径为 ，电势为φ2．足 够长的收集板 MN 平行边界 ACDB，O 到 MN 板的距离 OP=L．假设太空中漂浮着 质量为 m，电量为 q 的带正电粒子，它们能均匀地吸附到 AB 圆弧面上，并被加 速电场从静止开始加速，不计粒子间的相互作用和其它星球对粒子引力的影响． （1）求粒子到达 O 点时速度的大小； （2）如图 2 所示，在边界 ACDB 和收集板 MN 之间加一个半圆形匀强磁场，圆 心为 O，半径为 L，方向垂直纸面向内，则发现从 AB 圆弧面收集到的粒子经 O 点进入磁场后有 能打到 MN 板上（不考虑过边界 ACDB 的粒子再次返回），求所 加磁感应强度的大小； （3）同上问，从 AB 圆弧面收集到的粒子经 O 点进入磁场后均不能到达收集板 MN，求磁感应强度所满足的条件．试写出定量反映收集板 MN 上的收集效率η 与磁感应强度 B 的关系的相关式子． 11．如图，静止于 A 处的离子，经电压为 U 的加速电场加速后沿图中圆弧虚线 通过静电分析器，从 P 点垂直 CN 进入矩形区域的有界匀强电场，电场方向水平 向左．静电分析器通道内有均匀辐向分布的电场，已知圆弧所在处场强为 E0，方 向如图所示；离子质量为 m、电荷量为 q； =2d、 =3d，离子重力不计． （1）求圆弧虚线对应的半径 R 的大小； （2）若离子恰好能打在 NQ 的中点上，求矩形区域 QNCD 内匀强电场场强 E 的 值； （3）若撤去矩形区域 QNCD 内的匀强电场，换为垂直纸面向里的匀强磁场，要 求离子能最终打在 QN 上，求磁场磁感应强度 B 的取值范围． 12．如图甲所示，一对平行金属板 M、N 长为 L，相距为 d，O1O 为中轴线．当 两板间加电压 UMN=U0 时，两板间为匀强电场，忽略两极板外的电场．某种带负 电的粒子从 O1 点以速度 v0 沿 O1O 方向射入电场，粒子恰好打在上极板 M 的中点， 粒子重力忽略不计． （1）求带电粒子的比荷 ； （2）若 MN 间加如图乙所示的交变电压，其周期 ，从 t=0 开始，前 内 UMN=2U，后 内 UMN=﹣U，大量的上述粒子仍然以速度 v0 沿 O1O 方向持续射入 电场，最终所有粒子刚好能全部离开电场而不打在极板上，求 U 的值； （3）紧贴板右侧建立 xOy 坐标系，在 xOy 坐标第 I、IV 象限某区域内存在一个 圆形的匀强磁场区域，磁场方向垂直于 xOy 坐标平面，要使在（2）问情景下所 有粒子经过磁场偏转后都会聚于坐标为（2d，2d）的 P 点，求磁感应强度 B 的 大小范围． 13．如图所示，在第一、二象限存在场强均为 E 的匀强电场，其中第一象限的匀 强电场的方向沿 x 轴正方向，第二象限的电场方向沿 x 轴负方向．在第三、四象 限矩形区域 ABCD 内存在垂直于纸面向外的匀强磁场，矩形区域的 AB 边与 x 轴 重合．M 点是第一象限中无限靠近 y 轴的一点，在 M 点有一质量为 m、电荷量 为 e 的质子，以初速度 v0 沿 y 轴负方向开始运动，恰好从 N 点进入磁场，若 OM=2ON，不计质子的重力，试求： （1）N 点横坐标 d； （2）若质子经过磁场最后能无限靠近 M 点，则矩形区域的最小面积是多少； （3）在（2）的前提下，该质子由 M 点出发返回到无限靠近 M 点所需的时间． 14．如图所示，在 xOy 平面直角坐标系中，直线 MN 与 y 轴成 30°角，P 点的坐 标为（ ，0），在 y 轴与直线 MN 之间的区域内，存在垂直于 xOy 平面向 外、磁感应强度为 B 的匀强磁场．在直角坐标系 xOy 的第Ⅳ象限区域内存在沿 y 轴，正方向、大小为 的匀强电场，在 x=3a 处垂直于 x 轴放置一平面荧光 屏，与 x 轴交点为 Q，电子束以相同的速度 v0 从 y 轴上 0≤y≤2a 的区间垂直于 y 轴和磁场方向射入磁场．已知从 y=2a 点射入的电子在磁场中轨迹恰好经过 O 点，忽略电子间的相互作用，不计电子的重力．求： （1）电子的比荷 ； （2）电子离开磁场垂直 y 轴进入电场的位置的范围； （3）从 y 轴哪个位置进入电场的电子打到荧光屏上距 Q 点的距离最远？最远距 离为多少？ 15．如图（a）所示，水平放置的平行金属板 A、B 间加直流电压 U，A 板正上方 有“V”字型足够长的绝缘弹性挡板．在挡板间加垂直纸面的交变磁场，磁感应强 度随时间变化如图（b），垂直纸面向里为磁场正方向，其中 B1=B，B2 未知．现 有一比荷为 、不计重力的带正电粒子从 C 点静止释放，t=0 时刻，粒子刚好从 小孔 O 进入上方磁场中，在 t1 时刻粒子第一次撞到左挡板，紧接着在 t1+t2 时刻 粒子撞到右挡板，然后粒子又从 O 点竖直向下返回平行金属板间．粒子与挡板 碰撞前后电量不变，沿板的分速度不变，垂直板的分速度大小不变、方向相反， 不计碰撞的时间及磁场变化产生的感应影响．求： （1）粒子第一次到达 O 点时的速率； （2）图中 B2 的大小； （3）金属板 A 和 B 间的距离 d． 16．如图甲所示，建立 Oxy 坐标系，两平行极板 P、Q 垂直于 y 轴且关于 x 轴对 称，极板长度和板间距均为 l，第一四象限有磁场，方向垂直于 Oxy 平面向里．位 于极板左侧的粒子源沿 x 轴间右连接发射质量为 m、电量为+q、速度相同、重力 不计的带电粒子在 0～3t0 时间内两板间加上如图乙所示的电压（不考虑极边缘的 影响）． 已知 t=0 时刻进入两板间的带电粒子恰好在 t0 时，刻经极板边缘射入磁场．上述 m、q、l、t0、B 为已知量．（不考虑粒子间相互影响及返回板间的情况） （1）求电压 U0 的大小． （2）求 t0 时刻进入两板间的带电粒子在磁场中做圆周运动的半径． （3）带电粒子在磁场中的运动时间． 17．电子扩束装置由电子加速器、偏转电场和偏转磁场组成．偏转电场由加了电 压的相距为 d 的两块水平平行放置的导体板形成，如图甲所示．大量电子（其重 力不计）由静止开始，经加速电场加速后，连续不断地沿平行板的方向从两板正 中间射入偏转电场．当两板不带电时，这些电子通过两板之间的时间为 2t0，当 在两板间加如图乙所示的周期为 2t0、幅值恒为 U0 的电压时，所有电子均从两板 间通过，然后进入水平宽度为 l，竖直宽度足够大的匀强磁场中，最后通过匀强 磁场打在竖直放置的荧光屏上．问： （1）电子在刚穿出两板之间时的最大侧向位移与最小侧向位移之比为多少？ （2）要使侧向位移最大的电子能垂直打在荧光屏上，匀强磁场的磁感应强度为 多少？ （3）在满足第（2）问的情况下，打在荧光屏上的电子束的宽度为多少？（已知 电子的质量为 m、电荷量为 e） 18．如图所示 xOy 平面内，在 x 轴上从电离室产生的带正电的粒子，以几乎为零 的初速度飘入电势差为 U=200V 的加速电场中，然后经过右侧极板上的小孔沿 x 轴进入到另一匀强电场区域，该电场区域范围为﹣l≤x≤0（l=4cm），电场强度 大小为 E= ×104V/m，方向沿 y 轴正方向．带电粒子经过 y 轴后，将进入一与 y 轴相切的圆形边界匀强磁场区域，磁场区域圆半径为 r=2cm，圆心 C 到 x 轴的 距离为 d=4 cm，磁场磁感应强度为 B=8×10﹣2T，方向垂直 xoy 平面向外．带 电粒子最终垂直打在与 y 轴平行、到 y 轴距离为 L=6cm 的接收屏上．求： （1）带电粒子通过 y 轴时离 x 轴的距离； （2）带电粒子的比荷； （3）若另一种带电粒子从电离室产生后，最终打在接收屏上 y= cm 处，则 该粒子的比荷又是多少？ 19．如图所示，在竖直平面内，虚线 MO 与水平线 PQ 相交于 O，二者夹角θ=30°， 在 MOP 范围内存在竖直向下的匀强电场，电场强度为 E，MOQ 上方的某个区域 有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为 B，O 点处在磁场的边界上，现有一 群质量为 m、电量为+q 的带电粒子在纸面内以速度 v（0≤v≤ ）垂直于 MO 从 O 点射入磁场，所有粒子通过直线 MO 时，速度方向均平行于 PQ 向左，不计粒 子的重力和粒子间的相互作用力．求： （1）速度最大的粒子在磁场中的运动时间； （2）速度最大的粒子打在水平线 POQ 上的位置离 O 点的距离； （3）磁场区域的最小面积． 20．如图所示为某一仪器的部分原理示意图，虚线 OA、OB 关于 y 轴对称，∠ AOB=90°，OA、OB 将 xOy 平面分为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域，区域Ⅰ、Ⅲ内存在水 平方向的匀强电场，电场强度大小相等、方向相反．质量为 m 电荷量为 q 的带 电粒子自 x 轴上的粒子源 P 处以速度 v0 沿 y 轴正方向射出，经时间 t 到达 OA 上 的 M 点，且此时速度与 OA 垂直．已知 M 到原点 O 的距离 OM=L，不计粒子的 重力．求： （1）匀强电场的电场强度 E 的大小； （2）为使粒子能从 M 点经Ⅱ区域通过 OB 上的 N 点，M、N 点关于 y 轴对称， 可在区域Ⅱ内加一垂直 xOy 平面的匀强磁场，求该磁场的磁感应强度的最小值和 粒子经过区域Ⅲ到达 x 轴上 Q 点的横坐标； （3）当匀强磁场的磁感应强度取（2）问中的最小值时，且该磁场仅分布在一个 圆形区域内．由于某种原因的影响，粒子经过 M 点时的速度并不严格与 OA 垂直， 成散射状，散射角为θ，但速度大小均相同，如图所示，求所有粒子经过 OB 时 的区域长度． 21．在 xoy 平面直角坐标系的第Ⅰ象限有射线 OA，OA 与 x 轴正方向夹角为 30°， 如图所示，OA 与 y 轴所夹区域存在 y 轴负方向的匀强电场，其它区域存在垂直 坐标平面向外的匀强磁场；有一带正电粒子质量 m，电量 q，从 y 轴上的 P 点沿 着 x 轴正方向以大小为 v0 的初速度射入电场，运动一段时间沿垂直于 OA 方向经 过 Q 点进入磁场，经磁场偏转，过 y 轴正半轴上的 M 点再次垂直进入匀强电场．已 知 OP=h，不计粒子的重力． （1）求粒子垂直射线 OA 经过 Q 点的速度 vQ； （2）求匀强电场的电场强度 E 与匀强磁场的磁感应强度 B 的比值； （3）粒子从 M 点垂直进入电场后，如果适当改变电场强度，可以使粒子再次垂 直 OA 进入磁场，再适当改变磁场的强弱，可以使粒子再次从 y 轴正方向上某点 垂直进入电场；如此不断改变电场和磁场，会使粒子每次都能从 y 轴正方向上某 点垂直进入电场，再垂直 OA 方向进入磁场…，求粒子从 P 点开始经多长时间能 够运动到 O 点？ 22．如图所示，图面内有竖直线 DD′，过 DD′且垂直于图面的平面将空间分成Ⅰ、 Ⅱ两区域．区域 I 有方向竖直向上的匀强电场和方向垂直图面的匀强磁场 B（图 中未画出）；区域Ⅱ有固定在水平面上高 h=2l、倾角α= 的光滑绝缘斜面，斜面 顶端与直线 DD′距离 s=4l，区域Ⅱ可加竖直方向的大小不同的匀强电场（图中未 画出）；C 点在 DD′上，距地面高 H=3l．零时刻，质量为 m、带电荷量为 q 的小 球 P 在 K 点具有大小 v0= 、方向与水平面夹角θ= 的速度，在区域 I 内做半 径 r= 的匀速圆周运动，经 CD 水平进入区域Ⅱ．某时刻，不带电的绝缘小球 A 由斜面顶端静止释放，在某处与刚运动到斜面的小球 P 相遇．小球视为质点，不 计空气阻力及小球 P 所带电量对空间电磁场的影响．l 已知，g 为重力加速度． （1）求匀强磁场的磁感应强度 B 的大小； （2）若小球 A、P 在斜面底端相遇，求释放小球 A 的时刻 tA； （3）若小球 A、P 在时刻 t=β （β为常数）相遇于斜面某处，求此情况下区域 Ⅱ的匀强电场的场强 E，并讨论场强 E 的极大值和极小值及相应的方向． 23．如图，在 x 轴上方存在匀强磁场，磁感应强度大小为 B，方向垂直于纸面向 外；在 x 轴下方存在匀强电场，电场方向与 xOy 平面平行，且与 x 轴成 45°夹角．一 质量为 m、电荷量为 q（q＞0）的粒子以速度 v0 从 y 轴上 P 点沿 y 轴正方向射出， 一段时间后进入电场，进入电场时的速度方向与电场方向相反；又经过一段时间 T0，磁场方向变为垂直纸面向里，大小不变，不计重力． （1）求粒子从 P 点出发至第一次到达 x 轴时所需的时间； （2）若要使粒子能够回到 P 点，求电场强度的最大值． 24．一半径为 R 的薄圆筒处于磁感应强度大小为 B 的匀强磁场中，磁场方向与筒 的中心轴线平行，筒的横截面如图所示．图中直径 MN 的两端分别开有小孔，筒 可绕其中心轴线转动，圆筒的转动方向和角速度大小可以通过控制装置改变．一 不计重力的负电粒子从小孔 M 沿着 MN 方向射入磁场，当筒以大小为ω0 的角速 度转过 90°时，该粒子恰好从某一小孔飞出圆筒． （1）若粒子在筒内未与筒壁发生碰撞，求该粒子的荷质比和速率分别是多大？ （2）若粒子速率不变，入射方向在该截面内且与 MN 方向成 30°角，则要让粒子 与圆筒无碰撞地离开圆筒，圆筒角速度应为多大？ 25．如图所示，一小车置于光滑水平面上，轻质弹簧右端固定，左端栓连物块 b， 小车质量 M=3kg，AO 部分粗糙且长 L=2m，动摩擦因数μ=0.3，OB 部分光滑．另 一小物块 a．放在车的最左端，和车一起以 v0=4m/s 的速度向右匀速运动，车撞 到固定挡板后瞬间速度变为零，但不与挡板粘连．已知车 OB 部分的长度大于弹 簧的自然长度，弹簧始终处于弹性限度内．a、b 两物块视为质点质量均为 m=1kg， 碰撞时间极短且不粘连，碰后一起向右运动．（取 g=10m/s2）求： （1）物块 a 与 b 碰后的速度大小； （2）当物块 a 相对小车静止时小车右端 B 到挡板的距离； （3）当物块 a 相对小车静止时在小车上的位置到 O 点的距离． 26．如图所示，在光滑的水平面上有一长为 L 的木板 B，上表面粗糙，在其左端 有一光滑的 圆弧槽 C，与长木板接触但不相连，圆弧槽的下端与木板上表面相 平，B、C 静止在水平面上．现有滑块 A 以初速 V0 从右端滑上 B，并以 V0 滑离 B，恰好能到达 C 的最高点．A、B、C 的质量均为 m，试求： （1）木板 B 上表面的动摩擦因素μ； （2） 圆弧槽 C 的半径 R； （3）当 A 滑离 C 时，C 的速度． 27．如图所示，一质量 M=0.4kg 的小物块 B 在足够长的光滑水平台面上静止不动， 其右侧固定有一轻质水平弹簧（处于原长）．台面的右边平滑对接有一等高的水 平传送带，传送带始终以υ=1m/s 的速率逆时针转动．另一质量 m=0.1kg 的小物 块 A 以速度υ0=4m/s 水平滑上传送带的右端．已知物块 A 与传送带之间的动摩擦 因数μ=0.1，传送带左右两端的距离 l=3.5m，滑块 A、B 均视为质点，忽略空气阻 力，取 g=10m/s2． （1）求物块 A 第一次到达传送带左端时速度大小； （2）求物块 A 第一次压缩弹簧过程中弹簧的最大弹性势能 Epm； （3）物块 A 会不会第二次压缩弹簧？ 28．历史上美国宇航局曾经完成了用“深度撞击”号探测器释放的撞击器“击中”坦 普尔 1 号彗星的实验．探测器上所携带的重达 370kg 的彗星“撞击器”将以 1.0× 104m/s 的速度径直撞向彗星的彗核部分，撞击彗星后“撞击器”融化消失，这次撞 击使该彗星自身的运行速度出现 1.0×10﹣7m/s 的改变．已知普朗克常量 h=6.6× 10﹣34J•s．（计算结果保留两位有效数字）．求： ①撞击前彗星“撞击器”对应物质波波长； ②根据题中相关信息数据估算出彗星的质量． 29．如图，ABD 为竖直平面内的轨道，其中 AB 段是水平粗糙的、BD 段为半径 R=0.4m 的半圆光滑轨道，两段轨道相切于 B 点．小球甲从 C 点以速度υ0 沿水平 轨道向右运动，与静止在 B 点的小球乙发生弹性碰撞．已知甲、乙两球的质量均 为 m，小球甲与 AB 段的动摩擦因数为μ=0.5，C、B 距离 L=1.6m，g 取 10m/s2．（水 平轨道足够长，甲、乙两球可视为质点） （1）甲乙两球碰撞后，乙恰能通过轨道的最高点 D，求乙在轨道上的首次落点 到 B 点的距离； （2）在满足（1）的条件下，求的甲的速度υ0； （3）若甲仍以速度υ0 向右运动，增大甲的质量，保持乙的质量不变，求乙在轨 道上的首次落点到 B 点的距离范围． 30．动量定理可以表示为△p=F△t，其中动量 p 和力 F 都是矢量．在运用动量定 理处理二维问题时，可以在相互垂直的 x、y 两个方向上分别研究．例如，质量 为 m 的小球斜射到木板上，入射的角度是θ，碰撞后弹出的角度也是θ，碰撞前 后的速度大小都是υ，如图所示．碰撞过程中忽略小球所受重力． a．分别求出碰撞前后 x、y 方向小球的动量变化△px、△py； b．分析说明小球对木板的作用力的方向． 参考答案与试题解析 一．解答题（共 30 小题） 1．（2017•吉林模拟）如图甲所示，建立 Oxy 坐标系，两平行极板 P、Q 垂直于 y 轴且关于 x 轴对称，极板长度和板间距均为 l，第一四象限有磁场，方向垂直于 Oxy 平面向里．位于极板左侧的粒子源沿 x 轴间右连续发射质量为 m、电量为+q、 速度相同、重力不计的带电粒子在 0～3t0 时间内两板间加上如图乙所示的电压 （不考虑极边缘的影响）．已知 t=0 时刻进入两板间的带电粒子恰好在 t0 时刻经 极板边缘射入磁场．上述 m、q、l、t0、B 为已知量．（不考虑粒子间相互影响及 返回板间的情况） （1）求电压 U0 的大小． （2）求 t0 时进入两板间的带电粒子在磁场中做圆周运动的半径． （3）何时射入两板间的带电粒子在磁场中的运动时间最短？求此最短时间． 【解答】解：（1）t=0 时刻进入两极板的带电粒子在电场中做匀变速曲线运动， t0 时刻刚好从极板边缘射出， 则有 y= l，x=l， 电场强度：E= …①， 由牛顿第二定律得：Eq=ma…②， 偏移量：y= at02…③ 由①②③解得：U0= …④． （2） t0 时刻进入两极板的带电粒子，前 t0 时间在电场中偏转，后 t0 时间两 极板没有电场，带电粒子做匀速直线运动． 带电粒子沿 x 轴方向的分速度大小为：vx=v0= …⑤ 带电粒子离开电场时沿 y 轴负方向的分速度大小为：vy=a• t0 …⑥ 带电粒子离开电场时的速度大小为：v= …⑦ 设带电粒子离开电场进入磁场做匀速圆周运动的半径为 R， 由牛顿第二定律得：qvB=m …⑧， 由③⑤⑥⑦⑧解得：R= …⑨； （3）在 t=2t0 时刻进入两极板的带电粒子，在电场中做类平抛运动的时间最长， 飞出极板时速度方向与磁场边界的夹角最小， 而根据轨迹几何知识可知，轨迹的圆心角等于粒子射入磁场时速度方向与边界夹 角的 2 倍， 所以在 t=2t0 时刻进入两极板的带电粒子在磁场中运动时间最短． 带电粒子离开磁场时沿 y 轴正方向的分速度为：vy′=at0 …⑩， 设带电粒子离开电场时速度方向与 y 轴正方向的夹角为α，则：tanα= ， 由③⑤⑩解得：α= ，带电粒子在磁场运动的轨迹图如图所示， 圆弧所对的圆心角为：2α= ， 所求最短时间为：tmin= T， 带电粒子在磁场中运动的周期为：T= ， 联立以上两式解得：tmin= ； 答：（1）电压 U0 的大小为 ； （2） t0 时刻进入两板间的带电粒子在磁场中做圆周运动的半径为 ； （3）在 t=2t0 时刻进入两板间的带电粒子在磁场中的运动时间最短，最短时间为 ． 2．（2016•浙江自主招生）如图所示，在 xOy 平面内，0＜x＜2L 的区域内有一方 向竖直向上的匀强电场，2L＜x＜3L 的区域内有一方向竖直向下的匀强电场，两 电场强度大小相等．x＞3L 的区域内有一方向垂直于 xOy 平面向外的匀强磁场．某 时刻，一带正电的粒子从坐标原点以沿 x 轴正方向的初速度 v0 进入电场；之后 的另一时刻，一带负电粒子以同样的初速度从坐标原点进入电场．正、负粒子从 电场进入磁场时速度方向与电场和磁场边界的夹角分别为 60°和 30°，两粒子在 磁场中分别运动半周后在某点相遇．已经两粒子的重力以及两粒子之间的相互作 用都可忽略不计，两粒子带电量大小相等．求： （1）正、负粒子的质量之比 m1：m2； （2）两粒子相遇的位置 P 点的坐标； （3）两粒子先后进入电场的时间差． 【解答】解：（1）设粒子初速度为 v0，进磁场方向与边界的夹角为θ． …① 记 ，则粒子在第一个电场运动的时间为 2t，在第二个电场运动的时间为 t 则： vy=a×2t﹣at…② qE=ma…③ 由①②③得： 所以 （2）正粒子在电场运动的总时间为 3t，则： 第一个 t 的竖直位移为 第二个 t 的竖直位移为 由对称性，第三个 t 的竖直位移为 所以 结合①②得 同理 由几何关系，P 点的坐标为：xP=3L+（y1+y2）sin30°sin60°=6.5L （3）设两粒子在磁场中运动半径为 r1、r2 由几何关系 2r1=（y1+y2）sin60° 2r2=（y1+y2）sin30° 两粒子在磁场中运动时间均为半个周期： v0=v1sin60° v0=v2sin30° 由于两粒子在电场中运动时间相同，所以进电场时间差即为磁场中相遇前的时 间差△t=t1﹣t2 解得 答：（1）正、负粒子的质量之比为 3：1． （2）两粒子相遇的位置 P 点的坐标为（6.5L， ）． （3）两粒子先后进入电场的时间差为 ． 3．（2016•红桥区校级模拟）如图所示，相距为 R 的两块平行金属板 M、N 正对 着放置，s1、s2 分别为 M、N 板上的小孔，s1、s2、O 三点共线，它们的连线垂直 M、N，且 s2O=R．以 O 为圆心、R 为半径的圆形区域内存在磁感应强度为 B、方 向垂直纸面向外的匀强磁场．D 为收集板，板上各点到 O 点的距离以及板两端点 的距离都为 2R，板两端点的连线垂直 M、N 板．质量为 m、带电量为+q 的粒子， 经 s1 进入 M、N 间的电场后，通过 s2 进入磁场．粒子在 s1 处的速度和粒子所受 的重力均不计． （1）当 M、N 间的电压为 U 时，求粒子进入磁场时速度的大小υ； （2）若粒子恰好打在收集板 D 的中点上，求 M、N 间的电压值 U0； （3）当 M、N 间的电压不同时，粒子从 s1 到打在 D 上经历的时间 t 会不同，求 t 的最小值． 【解答】解：（1）粒子从 s1 到达 s2 的过程中，根据动能定理得 ① 解得 （2）粒子进入磁场后在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，有 ② 由①②得加速电压 U 与轨迹半径 r 的关系为 当粒子打在收集板 D 的中点时，粒子在磁场中运动的半径 r0=R 对应电压 （3）M、N 间的电压越大，粒子进入磁场时的速度越大，粒子在极板间经历 的时间越短，同时在磁场中运动轨迹的半径越大，在磁场中运动的时间也会越短， 出磁场后匀速运动的时间也越短，所以当粒子打在收集板 D 的右端时，对应时 间 t 最短． 根据几何关系可以求得粒子在磁场中运动的半径 r= R 由 ②得粒子进入磁场时速度的大小： 粒子在电场中经历的时间： 粒子在磁场中经历的时间： 粒子出磁场后做匀速直线运动经历的时间： 粒子从 s1 到打在收集板 D 上经历的最短时间为：t=t1+t2+t3= 答：（1）当 M、N 间的电压为 U 时，粒子进入磁场时速度的大小 ； （2）若粒子恰好打在收集板 D 的中点上，求 M、N 间的电压值 ； （3）粒子从 s1 到打在 D 上经历的时间 t 的最小值为 ． 4．（2016•常德模拟）如图所示，直角坐标系 xoy 位于竖直平面内，在‑ m≤x ≤0 的区域内有磁感应强度大小 B=4.0×10﹣4T、方向垂直于纸面向里的条形匀强 磁场，其左边界与 x 轴交于 P 点；在 x＞0 的区域内有电场强度大小 E=4N/C、方 向沿 y 轴正方向的条形匀强电场，其宽度 d=2m．一质量 m=6.4×10﹣27kg、电荷 量 q=﹣3.2×10‑ 19C 的带电粒子从 P 点以速度 v=4×104m/s，沿与 x 轴正方向成 α=60°角射入磁场，经电场偏转最终通过 x 轴上的 Q 点（图中未标出），不计粒子 重力．求： （1）带电粒子在磁场中运动时间； （2）当电场左边界与 y 轴重合时 Q 点的横坐标； （3）若只改变上述电场强度的大小，要求带电粒子仍能通过 Q 点，讨论此电场 左边界的横坐标 x′与电场强度的大小 E′的函数关系． 【解答】解：（1）带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，根 据牛顿第二定律 有 代入数据得：r=2m 轨迹如图 1 交 y 轴于 C 点，过 P 点作 v 的垂线交 y 轴于 O1 点， 由几何关系得 O1 为粒子运动轨迹的圆心，且圆心角为 60°． 在磁场中运动时间 代入数据得：t=5.23×10﹣5s （2）带电粒子离开磁场垂直进入电场后做类平抛运动 设带电粒子离开电场时的速度偏向角为θ，如图 1， 则： 设 Q 点的横坐标为 x 则： 故 x=5m． （3）电场左边界的横坐标为 x′． 当 0＜x′＜3m 时，如图 2，设粒子离开电场时的速度偏向角为θ′， 则： 又： 由上两式得： 当 3m≤x'＜5m 时，如图 3，有 将 y=1m 及 各 数 据 代 入 上 式 得 ： 答：（1）带电粒子在磁场中运动时间为 t=5.23×10﹣5s． （2）当电场左边界与 y 轴重合时 Q 点的横坐标 x=5m． （3）电场左边界的横坐标 x′与电场强度的大小 E′的函数关系为：当 0＜x′ ＜3m 时， 当 3m≤x'＜5m 时， ． 5．（2016•天津校级模拟）如图所示，两平行金属板 AB 中间有互相垂直的匀强 电场和匀强磁场．A 板带正电荷，B 板带等量负电荷，电场强度为 E；磁场方向 垂直纸面向里，磁感应强度为 B1．平行金属板右侧有一挡板 M，中间有小孔 O′， OO′是平行于两金属板的中心线．挡板右侧有垂直纸面向外的匀强磁场，磁场应 强度为 B2．CD 为磁场 B2 边界上的一绝缘板，它与 M 板的夹角θ=45°，O′C=a，现 有大量质量均为 m，含有各种不同电荷量、不同速度的带电粒子（不计重力）， 自 O 点沿 OO′方向进入电磁场区域，其中有些粒子沿直线 OO′方向运动，并进入 匀强磁场 B2 中，求： （1）进入匀强磁场 B2 的带电粒子的速度； （2）能击中绝缘板 CD 的粒子中，所带电荷量的最大值； （3）绝缘板 CD 上被带电粒子击中区域的长度． 【解答】解：（1）沿直线 OO′运动的带电粒子，设进入匀强磁场 B2 的带电粒子的 速度为 v， 根据 B1qv=qE， 解得： （2）粒子进入匀强磁场 B2 中做匀速圆周运动， 根据 ， 解得： 因此，电荷量最大的带电粒子运动的轨道半径最小， 设最小半径为 r1，此带电粒子运动轨迹与 CD 板相切， 则有：r1+ r1=a， 解得：r1=（ ﹣1）a． 电荷量最大值 q=（ +1） ． （3）带负电的粒子在磁场 B2 中向上偏转，某带负电粒子轨迹与 CD 相切，设半 径为 r2， 依题意 r2+a= r2 解得：r2=（ +1）a 则 CD 板上被带电粒子击中区域的长度为 X=r2﹣r1=2a 答：（1）进入匀强磁场 B2 的带电粒子的速度 ； （2）能击中绝缘板 CD 的粒子中，所带电荷量的最大值 ； （3）绝缘板 CD 上被带电粒子击中区域的长度 2a． 6．（2016•乐东县模拟）在平面直角坐标系 xoy 中，第 I 象限存在沿 y 轴负方向 的匀强电场，第 IV 象限存在垂直于坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度为 B．一 质量为 m，电荷量为 q 的带正电的粒子从 y 轴正半轴上的 M 点以速度 v0 垂直于 y 轴射入电场，经 x 轴上的 N 点与 x 轴正方向成 45°角射入磁场，最后从 y 轴负 半轴上的 P 点垂直于 y 轴射出磁场，如图所示．不计粒子重力，求： （1）M、N 两点间的电势差 UMN； （2）粒子在磁场中运动的轨道半径 r； （3）粒子从 M 点运动到 P 点的总时间 t． 【解答】解：（1）设粒子过 N 点的速度为 v，有 =cosθ，v= v0， 粒子从 M 点到 N 点的过程，有：qUMN= mv2﹣ mv02， 解得：UMN= ； （2）以 O′圆心做匀速圆周运动，半径为 O′N， 由牛顿第二定律得：qvB=m ， 解得：r= ； （3）由几何关系得：ON=rsinθ设在电场中时间为 t1， 有 ON=v0t1，t1= ， 粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期：T= ， 设粒子在磁场中运动的时间为 t2，有：t2= T= ， t=t1+t2 解得：t= ； 答：（1）M、N 两点间的电势差 UMN 为 ； （2）粒子在磁场中运动的轨道半径 r 为 ； （3）粒子从 M 点运动到 P 点的总时间 t 为 ． 7．（2016•自贡模拟）如图所示的平行板器件中，存在相互垂直的匀强磁场和匀 强电场，磁场的磁感应强度 B1=0.40T，方向垂直纸面向里，电场强度 E=2.0× 105V/m，PQ 为板间中线．紧靠平行板右侧边缘 xOy 坐标系的第一象限内，有垂 直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度 B2=0.25T，磁场边界 AO 和 y 轴的夹角∠ AOy=45°．一束带电量 q=8.0×10﹣19C 的正离子从 P 点射入平行板间，沿中线 PQ 做直线运动，穿出平行板后从 y 轴上坐标为（0，0.2m）的 Q 点垂直 y 轴射入磁 场区，离子通过 x 轴时的速度方向与 x 轴正方向夹角在 45°～90°之间．则： （1）离子运动的速度为多大？ （2）离子的质量应在什么范围内？ （3）现只改变 AOy 区域内磁场的磁感应强度大小，使离子都不能打到 x 轴上， 磁感应强度大小 B2 应满足什么条件？ 【解答】解：（1）设正离子的速度为 v，由于沿中线 PQ 做直线运动，则有： qE=qvB1 代入数据解得： v=5.0×105m/s （2）设离子的质量为 m，如图所示，当通过 x 轴时的速度方向与 x 轴正方向夹 角为 45°时，由几何关系可知运动半径 r1=0.2m 当通过 x 轴时的速度方向与 x 轴正方向夹角为 90°时，由几何关系可知运动半径 r2=0.1m 由牛顿第二定律有 由于 r2≤r≤r1 代入解得 4.0×10﹣26kg≤m≤8.0×10﹣26kg （3）如图所示，由几何关系可知使离子不能打到 x 轴上的最大半径 设使离子都不能打到 x 轴上，最小的磁感应强度大小为 B0，则 代入数据解得：B0= =0.60T 由于 B 越大，r 越小，所以使离子都不能打到 x 轴上，磁感应强度大小 B2 应满足： B2´≥0.60T 答： （1）离子运动的速度为 5.0×105m/s； （2）离子的质量应在 4.0×10﹣26kg≤m≤8.0×10﹣26kg 范围内； （3）只改变 AOy 区域内磁场的磁感应强度大小，使离子都不能打到 x 轴上，磁 感应强度大小 B2´应满足 B2´≥0.60T． 8．（2016•郴州模拟）如图所示，在空间中存在垂直纸面向里的匀强磁场，其竖 直边界 AB、CD 的宽度为 d，在边界 AB 左侧是竖直向下、场强为 E 的匀强电场．现 有质量为 m、带电量为+q 的粒子（不计重力）从 P 点以大小为 v0 的水平初速度 射入电场，随后与边界 AB 成 45°射入磁场．若粒子能垂直 CD 边界飞出磁场，穿 过小孔进入如图所示两竖直平行金属板间的匀强电场中减速至零且不碰到正极 板． （1）请画出粒子上述过程中的运动轨迹，并求出粒子进入磁场时的速度大小 v； （2）求匀强磁场的磁感应强度 B； （3）求金属板间的电压 U 的最小值． 【解答】解：（1）轨迹如图所示，由运动的合成与分解可知； …① （2）粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，由运动轨迹和几何关系 可知其轨道半径： …② 又 …③ 联立①②③解得解得： （3）设金属板间的最小电压为 U，粒子进入板间电场至速度减为零的过程， 由动能定理有： 解得： 答：（1）粒子进入磁场时的速度大小 v 是 ； （2）匀强磁场的磁感应强度 B 为 ； （3）金属板间的电压 U 的最小值为 ． 9．（2016•天津模拟）如图甲，真空中竖直放置两块相距为 d 的平行金属板 P、Q， 两板间加上如图乙最大值为 U0 的周期性变化的电压，在 Q 板右侧某个区域内存 在磁感应强度大小为 B、方向垂直于纸面向里的有界匀强磁场．在紧靠 P 板处有 一粒子源 A，自 t=0 开始连续释放初速不计的粒子，经一段时间从 Q 板小孔 O 射 入磁场，然后射出磁场，射出时所有粒子的速度方向均竖直向上．已知电场变化 周期 T= ，粒子质量为 m，电荷量为+q，不计粒子重力及相互间的作用 力．求： （1）t=0 时刻释放的粒子在 P、Q 间运动的时间； （2）粒子射入磁场时的最大速率和最小速率； （3）有界磁场区域的最小面积． 【解答】解：（1）设 t=0 时刻释放的粒子在 0.5T 时间内一直作匀加速运动， 加速度 位移 可见该粒子经 0.5T 正好运动到 O 处，假设与实际相符合 该粒子在 P、Q 间运动时间 （2）t=0 时刻释放的粒子一直在电场中加速，对应进入磁场时的速率最大 由运动学公式有 t1=0 时刻释放的粒子先作加速运动（所用时间为△t），后作匀速运动，设 T 时刻 恰好由小孔 O 射入磁场，则 代入数据得： 所以最小速度： （3）粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，则： 得： 最大半径： 最小半径： 粒子水平向右进入磁场，然后射出时所有粒子的速度方向均竖直向上，偏转角都 是 90°，所以轨迹经过的区域为磁场的最小面积，如图： 图中绿色阴影部分即为最小的磁场的区域， 所 以 ： = = ≈ 答：（1）t=0 时刻释放的粒子在 P、Q 间运动的时间是 ； （2）粒子射入磁场时的最大速率是 ，最小速率是 ； （3）有界磁场区域的最小面积是 ． 10．（2016•南昌校级模拟）“太空粒子探测器”是由加速、偏转和收集三部分组成， 其原理可简化如下：如图 1 所示，辐射状的加速电场区域边界为两个同心平行半 圆弧面，圆心为 O，外圆弧面 AB 的半径为 L，电势为φ1，内圆弧面 CD 的半径为 ，电势为φ2．足够长的收集板 MN 平行边界 ACDB，O 到 MN 板的距离 OP=L．假 设太空中漂浮着质量为 m，电量为 q 的带正电粒子，它们能均匀地吸附到 AB 圆 弧面上，并被加速电场从静止开始加速，不计粒子间的相互作用和其它星球对粒 子引力的影响． （1）求粒子到达 O 点时速度的大小； （2）如图 2 所示，在边界 ACDB 和收集板 MN 之间加一个半圆形匀强磁场，圆 心为 O，半径为 L，方向垂直纸面向内，则发现从 AB 圆弧面收集到的粒子经 O 点进入磁场后有 能打到 MN 板上（不考虑过边界 ACDB 的粒子再次返回），求所 加磁感应强度的大小； （3）同上问，从 AB 圆弧面收集到的粒子经 O 点进入磁场后均不能到达收集板 MN，求磁感应强度所满足的条件．试写出定量反映收集板 MN 上的收集效率η 与磁感应强度 B 的关系的相关式子． 【解答】解：（1）带电粒子在电场中加速时，由动能定理有： 又 U=φ1﹣φ2 所以： ； （2）从 AB 圆弧面收集到的粒子有 2/3 能打到 MN 板上，刚好不能打到 MN 上的 粒子从磁场中出来后速度方向与MN平行，则入射的方向与AB之间的夹角是600， 在磁场中运动的轨迹如图 1，轨迹圆心角θ=60° 根据几何关系，粒子圆周运动的半径为 r=L， 由牛顿第二定律得： 联立解得： ； （3）当沿 OD 方向的粒子刚好打到 MN 上，则由几何关系可知， 由牛顿第二定律得： 得： 即 如图 2，设粒子在磁场中运动圆弧对应的圆心角为α，由几何关系可知： MN 上的收集效率： ． 答：（1）粒子到达 O 点时速度的大小是 ； （2）所加磁感应强度的大小是 ； （3）试写出定量反映收集板 MN 上的收集效率η与磁感应强度 B 的关系的相关式 子是 ． 11．（2016•盐城三模）如图，静止于 A 处的离子，经电压为 U 的加速电场加速 后沿图中圆弧虚线通过静电分析器，从 P 点垂直 CN 进入矩形区域的有界匀强电 场，电场方向水平向左．静电分析器通道内有均匀辐向分布的电场，已知圆弧所 在处场强为 E0，方向如图所示；离子质量为 m、电荷量为 q； =2d、 =3d， 离子重力不计． （1）求圆弧虚线对应的半径 R 的大小； （2）若离子恰好能打在 NQ 的中点上，求矩形区域 QNCD 内匀强电场场强 E 的 值； （3）若撤去矩形区域 QNCD 内的匀强电场，换为垂直纸面向里的匀强磁场，要 求离子能最终打在 QN 上，求磁场磁感应强度 B 的取值范围． 【解答】解：（1）离子在加速电场中加速，根据动能定理，有： ， 离子在辐向电场中做匀速圆周运动，电场力提供向心力，根据牛顿第二定律有： ， 解得： ； （2）离子做类平抛运动： d=vt 3d= 由牛顿第二定律得：qE=ma， 解得：E= ； （3）离子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二 定律有： ， 解得： ， 离子能打在 QN 上，则既没有从 DQ 边出去也没有从 PN 边出去，则离子运动径 迹的边界如图中Ⅰ和Ⅱ． 由几何关系知，离子能打在 QN 上，必须满足： ， 则有： ； 答：（1）圆弧虚线对应的半径 R 的大小为 ； （2）若离子恰好能打在 NQ 的中点上，矩形区域 QNCD 内匀强电场场强 E 的值 为 ； （3）磁场磁感应强度 B 的取值范围是 ． 12．（2016•合肥一模）如图甲所示，一对平行金属板 M、N 长为 L，相距为 d， O1O 为中轴线．当两板间加电压 UMN=U0 时，两板间为匀强电场，忽略两极板外 的电场．某种带负电的粒子从 O1 点以速度 v0 沿 O1O 方向射入电场，粒子恰好打 在上极板 M 的中点，粒子重力忽略不计． （1）求带电粒子的比荷 ； （2）若 MN 间加如图乙所示的交变电压，其周期 ，从 t=0 开始，前 内 UMN=2U，后 内 UMN=﹣U，大量的上述粒子仍然以速度 v0 沿 O1O 方向持续射入 电场，最终所有粒子刚好能全部离开电场而不打在极板上，求 U 的值； （3）紧贴板右侧建立 xOy 坐标系，在 xOy 坐标第 I、IV 象限某区域内存在一个 圆形的匀强磁场区域，磁场方向垂直于 xOy 坐标平面，要使在（2）问情景下所 有粒子经过磁场偏转后都会聚于坐标为（2d，2d）的 P 点，求磁感应强度 B 的 大小范围． 【解答】解：（1）设粒子经过时间 t0 打在 M 板中点，沿极板方向有： 垂直极板方向有： 解得： （2）粒子通过两板时间为： 从 t=0 时刻开始，粒子在两板间运动时每个电压变化周期的前三分之一时间内的 加速度大小 ，方向垂直极板向上；在每个电压变化周期的后三分之二时 间内加速度大小 ，方向垂直极板向下．不同时刻从 O1 点进入电场的粒子 在电场方向的速度 vy 随时间 t 变化的关系如图所示． 因为所有粒子刚好能全部离开电场而不打在极板上，可以确定在 t=nT 或 时刻进入电场的粒子恰好分别从极板右侧上下边缘处飞出．它们在电场 方向偏转的距离最大．有： 解得： （3）所有粒子射出电场时速度方向都平行于 x 轴，大小为 v0．设粒子在磁场中 的运动半径为 r，则有： 解得： 粒子进入圆形区域内聚焦于 P 点时，磁场区半径 R 应满足：R=r 在圆形磁场区域边界上，P 点纵坐标有最大值，如图所示． 磁场区的最小半径为： ， 对应磁感应强度有最大值为： = 磁场区的最大半径为：Rmax=2d， 对应磁感应强度有最小值为： = 所以，磁感应强度 B 的可能范围为： ≤B 答：（1）带电粒子的比荷 ； （2）电压 U 的值为 （3）紧磁感应强度 B 的大小范围 ≤B ． 13．（2016•洛江区一模）如图所示，在第一、二象限存在场强均为 E 的匀强电场， 其中第一象限的匀强电场的方向沿 x 轴正方向，第二象限的电场方向沿 x 轴负方 向．在第三、四象限矩形区域 ABCD 内存在垂直于纸面向外的匀强磁场，矩形区 域的 AB 边与 x 轴重合．M 点是第一象限中无限靠近 y 轴的一点，在 M 点有一质 量为 m、电荷量为 e 的质子，以初速度 v0 沿 y 轴负方向开始运动，恰好从 N 点 进入磁场，若 OM=2ON，不计质子的重力，试求： （1）N 点横坐标 d； （2）若质子经过磁场最后能无限靠近 M 点，则矩形区域的最小面积是多少； （3）在（2）的前提下，该质子由 M 点出发返回到无限靠近 M 点所需的时间． 【解答】解：（1）粒子从 M 点到 N 点做类平抛运动，设运动时间为 t1，则有： d= at12； 2d=v0t1 a= 解得：d= ； （2）根据运动的对称性作出运动轨迹如图所示 设粒子到达 N 点时沿 x 轴正方向分速度为 vx，则有 vx= =v0； 质子进入磁场时的速度大小 v= = ； 质子进入磁场时速度方向与 x 轴正方向夹角为 45°； 根据几何关系，质子在磁场中做圆周运动的半径为 R= d，AB 边的最小长度 2R=2 d；BC 边的最小长度为 R+d= +d； 矩形区域的最小面积为 S= ； （3）质子在磁场中运动的圆心角为 ，运动时间 t2= T= = 根据对称性，质子在第二象限运动时间与在第一象限运动时间相等，质子在第一 象限运动时间 t1= = 质子由 M 点出发返回 M 点所需的时间为：T=2t1+t2= 答：（1）N 点横坐标 d= ；（2）矩形区域的最小面积为 S= ；（3） 质子由 M 点出发返回 M 点所需的时间为：T=2t1+t2= 14．（2016•安庆校级模拟）如图所示，在 xOy 平面直角坐标系中，直线 MN 与 y 轴成 30°角，P 点的坐标为（ ，0），在 y 轴与直线 MN 之间的区域内，存 在垂直于 xOy 平面向外、磁感应强度为 B 的匀强磁场．在直角坐标系 xOy 的第 Ⅳ象限区域内存在沿 y 轴，正方向、大小为 的匀强电场，在 x=3a 处垂 直于 x 轴放置一平面荧光屏，与 x 轴交点为 Q，电子束以相同的速度 v0 从 y 轴上 0≤y≤2a 的区间垂直于 y 轴和磁场方向射入磁场．已知从 y=2a 点射入的电子在 磁场中轨迹恰好经过 O 点，忽略电子间的相互作用，不计电子的重力．求： （1）电子的比荷 ； （2）电子离开磁场垂直 y 轴进入电场的位置的范围； （3）从 y 轴哪个位置进入电场的电子打到荧光屏上距 Q 点的距离最远？最远距 离为多少？ 【解答】解：（1）由题意可知电子在磁场中的半径为 a，由 Bev0=m 得： = （2）粒子能进入磁场中，且离 O 点下方最远，则粒子在磁场中运动圆轨迹必须 与直线 MN 相切，粒子轨道的圆心为 O′点， 则 O′M=2a， 由三角函数关系可得：tan30°= 得：OM= a 有 OO′=0.5a，即粒子在离开磁场离 O 点下方最远距离为 ym=1.5a 从 y 轴进入电场位置在 0≤y≤1.5a 范围内． （3）电子在电场中做类平抛运动，设电子在电场的运动时间为 t，竖直方向位移 为 y，水平位移为 x，x=v0t 竖直方向有：y= t2 代入得：x= 设电子最终打在光屏的最远点距 Q 点为 H，电子射出电场时的夹角为θ，则有： tanθ= = = 有：H=（3a﹣x）tanθ=（3a﹣ ）• 当（3a﹣ ）= 时，即 y= a 时，H 有最大值，由于 a＜1.5a，所以 Hmax= a 答：（1）电子的比荷 = ； （2）电子离开磁场垂直 y 轴进入电场的位置的范围为 0≤y≤1.5a； （3）从 y 轴 y= a 位置进入电场的电子打到荧光屏上距 Q 点的距离最远，最远 距离为 a． 15．（2016•宁波模拟）如图（a）所示，水平放置的平行金属板 A、B 间加直流 电压 U，A 板正上方有“V”字型足够长的绝缘弹性挡板．在挡板间加垂直纸面的 交变磁场，磁感应强度随时间变化如图（b），垂直纸面向里为磁场正方向，其中 B1=B，B2 未知．现有一比荷为 、不计重力的带正电粒子从 C 点静止释放，t=0 时刻，粒子刚好从小孔 O 进入上方磁场中，在 t1 时刻粒子第一次撞到左挡板， 紧接着在 t1+t2 时刻粒子撞到右挡板，然后粒子又从 O 点竖直向下返回平行金属 板间．粒子与挡板碰撞前后电量不变，沿板的分速度不变，垂直板的分速度大小 不变、方向相反，不计碰撞的时间及磁场变化产生的感应影响．求： （1）粒子第一次到达 O 点时的速率； （2）图中 B2 的大小； （3）金属板 A 和 B 间的距离 d． 【解答】解：（1）粒子从 B 板到 A 板过程中，电场力做正功，根据动能定理有 qU= ﹣0 解得粒子第一次到达 O 点时的速率 v= （2）粒子进入上方后做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由 qvB=m 得 r= 则得粒子做匀速圆周运动的半径 r1= ，r2= 使其在整个装置中做周期性的往返运动，运动轨迹如下图所示， 由图易知：r1=2r2． 则得 B2=2B （3）在 0～t1 时间内，粒子做匀速圆周运动周期 T1= = 在 t1～（t1+t2）时间内，粒子做匀速圆周运动的周期 T2= = 由轨迹图可知 t1= = t2= = 粒子在金属板 A 和 B 间往返时间为 t，有 d= 且满足 t=t2+n（t1+t2），n=0，1，2，… 联立可得金属板 A 和 B 间的距离 d= ，n=0，1，2，… 答： （1）粒子第一次到达 O 点时的速率为 ； （2）图中 B2 的大小为 2B； （3）金属板 A 和 B 间的距离 d 为 ，n=0，1，2，…． 16．（2016•姜堰区校级三模）如图甲所示，建立 Oxy 坐标系，两平行极板 P、Q 垂直于 y 轴且关于 x 轴对称，极板长度和板间距均为 l，第一四象限有磁场，方 向垂直于 Oxy 平面向里．位于极板左侧的粒子源沿 x 轴间右连接发射质量为 m、 电量为+q、速度相同、重力不计的带电粒子在 0～3t0 时间内两板间加上如图乙 所示的电压（不考虑极边缘的影响）． 已知 t=0 时刻进入两板间的带电粒子恰好在 t0 时，刻经极板边缘射入磁场．上述 m、q、l、t0、B 为已知量．（不考虑粒子间相互影响及返回板间的情况） （1）求电压 U0 的大小． （2）求 t0 时刻进入两板间的带电粒子在磁场中做圆周运动的半径． （3）带电粒子在磁场中的运动时间． 【解答】解：（1）t=0 时刻进入两极板的带电粒子在电场中做匀变速曲线运动， t0 时刻刚好从极板边缘射出，在 y 轴负方向偏移的距离为 ，则有 Eq=ma = at02 联立解得，两极板间偏转电压为 ． （2）t0 时刻进入两极板的带电粒子，两极板没有电场，带电粒子做匀速直线运 动． 带电粒子沿 x 轴方向的分速度大小为 v0= 设带电粒子离开电场进入磁场做匀速圆周运动的半径为 R，则有 联立解得， （3）2t0 时刻进入两极板的带电粒子在磁场中运动时间最短．带电粒子离开电场 时沿 y 轴正方向的分速度为 vy=at0， 设带电粒子离开电场时速度方向与 y 轴正方向的夹角为α，则 联立解得 ，带电粒子在磁场运动的轨迹图如图所示，圆弧所对的圆心角为 ，所求最短时间为 ． 带电粒子在磁场中运动的周期为 ，联立以上两式解得 ． 同理，t=0 进入两极板的带电粒子在磁场中运动的时间最长为： 所以，带电粒子在磁场中的运动时间： ． 答： （1）电压 U0 的大小为 ． （2）t0 时刻进入两板间的带电粒子在磁场中做圆周运动的半径 ． （3）带电粒子在磁场中的运动时间为 ． 17．（2016•吉林校级模拟）电子扩束装置由电子加速器、偏转电场和偏转磁场组 成．偏转电场由加了电压的相距为 d 的两块水平平行放置的导体板形成，如图甲 所示．大量电子（其重力不计）由静止开始，经加速电场加速后，连续不断地沿 平行板的方向从两板正中间射入偏转电场．当两板不带电时，这些电子通过两板 之间的时间为 2t0，当在两板间加如图乙所示的周期为 2t0、幅值恒为 U0 的电压 时，所有电子均从两板间通过，然后进入水平宽度为 l，竖直宽度足够大的匀强 磁场中，最后通过匀强磁场打在竖直放置的荧光屏上．问： （1）电子在刚穿出两板之间时的最大侧向位移与最小侧向位移之比为多少？ （2）要使侧向位移最大的电子能垂直打在荧光屏上，匀强磁场的磁感应强度为 多少？ （3）在满足第（2）问的情况下，打在荧光屏上的电子束的宽度为多少？（已知 电子的质量为 m、电荷量为 e） 【解答】解： （1）由题意可知，从 0、2t0、4t0…等时刻进入偏转电场的电子侧向位移最大， 在 这 种 情 况 下 ， 电 子 的 侧 向 位 移 为 从 t0、3t0…等时刻进入偏转电场的电子侧向位移最小，在这种情况下，电子的侧 向位移为 所以最大侧向位移和最小侧向位移之比为 ymax：ymin=3：1 （2）设电子从偏转电场中射出时的偏向角为θ，由于电子要垂直打在荧光屏上， 所以电子在磁场中运动半径应为： 设电子从偏转电场中出来时的速度为 vt，垂直偏转极板的速度为 vy，则电子从偏 转电场中出来时的偏向角为： 式中 又 由上述四式可得： （3）由于各个时刻从偏转电场中出来的电子的速度大小相同，方向也相同，因 此电子进入磁场后的半径也相同，都能垂直打在荧光屏上 由第（1）问可知电子从偏转电场中出来时的最大侧向位移和最小侧向位移的差 值为： △y=ymax﹣ymin 所以 所以打在荧光屏上的电子束的宽度就为 答：（1）电子在刚穿出两板之间时的最大侧向位移与最小侧向位移之比为 3：1； （2）要使侧向位移最大的电子能垂直打在荧光屏上，匀强磁场的磁感应强度为 ； （3）在满足第（2）问的情况下，打在荧光屏上的电子束的宽度为 ． 18．（2016•泗阳县校级一模）如图所示 xOy 平面内，在 x 轴上从电离室产生的带 正电的粒子，以几乎为零的初速度飘入电势差为 U=200V 的加速电场中，然后经 过右侧极板上的小孔沿 x 轴进入到另一匀强电场区域，该电场区域范围为﹣l≤x ≤0（l=4cm），电场强度大小为 E= ×104V/m，方向沿 y 轴正方向．带电粒子经 过 y 轴后，将进入一与 y 轴相切的圆形边界匀强磁场区域，磁场区域圆半径为 r=2cm，圆心 C 到 x 轴的距离为 d=4 cm，磁场磁感应强度为 B=8×10﹣2T，方向 垂直 xoy 平面向外．带电粒子最终垂直打在与 y 轴平行、到 y 轴距离为 L=6cm 的 接收屏上．求： （1）带电粒子通过 y 轴时离 x 轴的距离； （2）带电粒子的比荷； （3）若另一种带电粒子从电离室产生后，最终打在接收屏上 y= cm 处，则 该粒子的比荷又是多少？ 【解答】解：（1）带电粒子在加速电场中被加速 qU= mv02 通过沿 y 轴正方向的电场中时，在 x 方向上做匀速运动 l=v0t 在 y 方向做初速度为零的匀加速运动，加速度为 a= 在 y 方向的位移为 y1= at2 由以上各式解得 y1= 代入数据得 y1=2 ×10﹣2m （2）由（1）中公式可得 v0= 带电粒子通过 y 轴时沿 y 轴方向的速度为 vy=at 如图所示，速度方向满足 tanα= 由以上各式解得 tanα= 代入数据得 tanα= 则可知α=60° 带电粒子通过 y 轴时的速度大小为 v= =2v0 由 tan∠PCA= = ； 可得：∠PCA=60° 可见，带电粒子通过 y 轴时的速度方向指向 C 点． 所以带电粒子在磁场中做匀速圆周运动时，转过的圆心角为α=60°． 带电粒子圆周运动的半径为 R=rcot = r=2 ×10﹣2 洛伦兹力提供向心力 qvB=m 解得 = = 代入数据得 = ×108C/kg （3）由（1）（2）知，带电粒子经过 y 轴时的位置和速度方向与比荷无关，所以 另一种带电粒子也将以指向 C 点的方向进入到匀强磁场区域．轨迹如图所示． 粒子从磁场中射出时的速度方向满足 tan∠NCM= = 可得∠NCM=30° 此带电粒子在磁场中转过的角度为α′=60°+30°=90° 其圆周运动的半径为 R′=r 同理有 = = 代入数据得 =1×108C/kg 解：（1）带电粒子通过 y 轴时离 x 轴的距离 2 ×10﹣2m； （2）带电粒子的比荷 ×108C/kg （3）若另一种带电粒子从电离室产生后，最终打在接收屏上 y= cm 处，则 该粒子的比荷 1×108C/kg 19．（2016•天门模拟）如图所示，在竖直平面内，虚线 MO 与水平线 PQ 相交于 O，二者夹角θ=30°，在 MOP 范围内存在竖直向下的匀强电场，电场强度为 E， MOQ 上方的某个区域有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为 B，O 点处在 磁场的边界上，现有一群质量为 m、电量为+q 的带电粒子在纸面内以速度 v（0 ≤v≤ ）垂直于 MO 从 O 点射入磁场，所有粒子通过直线 MO 时，速度方向均 平行于 PQ 向左，不计粒子的重力和粒子间的相互作用力．求： （1）速度最大的粒子在磁场中的运动时间； （2）速度最大的粒子打在水平线 POQ 上的位置离 O 点的距离； （3）磁场区域的最小面积． 【解答】解：（1）因粒子通过直线 MO 时，速度方向均平行于 PQ 向左，说明粒 子速度方向改变了 ，由几何关系可得粒子的运动轨迹如图所示．设粒子在匀 强磁场中做匀速圆周运动的半径为 R，周期为 T，粒子在匀强磁场中运动时间为 t1 因为 所以 （2）由 得 设粒子自 N 点水平飞出磁场，出磁场后应做匀速运动至 OM，设匀速运动的距离 为 s，由几何关系知： 过 MO 后粒子在电场中做类平抛运动，设运动的时间为 t2， 则： ， ， 由几何关系知，速度最大的粒子打在水平线 POQ 上的位置离 O 点的距离 ， （3）由题知速度大小不同的粒子均要水平通过 OM，则其飞出磁场的位置均应 在 ON 的连线上，故磁场范围的最小面积△S 是速度最大的粒子在磁场中的轨迹 与 ON 所围成的面积， 扇形 OO′N 的面积 △OO′N 的面积为：S′=R2cos30°sin30°= 又△S=S﹣S' 联立得： 答：（1）速度最大的粒子在磁场中的运动时间为 ； （2）速度最大的粒子打在水平线 POQ 上的位置离 O 点的距离为 ； （3）磁场区域的最小面积为 ． 20．（2016•江西一模）如图所示为某一仪器的部分原理示意图，虚线 OA、OB 关 于 y 轴对称，∠AOB=90°，OA、OB 将 xOy 平面分为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域，区域 Ⅰ、Ⅲ内存在水平方向的匀强电场，电场强度大小相等、方向相反．质量为 m 电荷量为 q 的带电粒子自 x 轴上的粒子源 P 处以速度 v0 沿 y 轴正方向射出，经 时间 t 到达 OA 上的 M 点，且此时速度与 OA 垂直．已知 M 到原点 O 的距离 OM=L， 不计粒子的重力．求： （1）匀强电场的电场强度 E 的大小； （2）为使粒子能从 M 点经Ⅱ区域通过 OB 上的 N 点，M、N 点关于 y 轴对称， 可在区域Ⅱ内加一垂直 xOy 平面的匀强磁场，求该磁场的磁感应强度的最小值和 粒子经过区域Ⅲ到达 x 轴上 Q 点的横坐标； （3）当匀强磁场的磁感应强度取（2）问中的最小值时，且该磁场仅分布在一个 圆形区域内．由于某种原因的影响，粒子经过 M 点时的速度并不严格与 OA 垂直， 成散射状，散射角为θ，但速度大小均相同，如图所示，求所有粒子经过 OB 时 的区域长度． 【解答】解：（1）粒子在Ⅰ区域内做类平抛运动，Lsin45°=v0t （2）粒子在Ⅱ区域内做匀速圆周运动，其轨道半径 r 大=L 又因为 粒子进入Ⅲ区域后，其运动轨迹 NQ 与 PM 对称，则 水平位移 （3）该圆形磁场区域的半径 r 等于其轨迹圆半径 R，即 r=R=L 所有粒子出磁场时速度方向平行，其落点在直线 OB 上的 GH 两点之间，如图 GH=2rsinθ=2Lsinθ 答：（1）匀强电场的电场强度 E 的大小 ； （2）该磁场的磁感应强度的最小值是 ，粒子经过区域Ⅲ到达 x 轴上 Q 点 的横坐标 ； （3）所有粒子经过 OB 时的区域长度 2Lsinθ． 21．（2016•四川一模）在 xoy 平面直角坐标系的第Ⅰ象限有射线 OA，OA 与 x 轴 正方向夹角为 30°，如图所示，OA 与 y 轴所夹区域存在 y 轴负方向的匀强电场， 其它区域存在垂直坐标平面向外的匀强磁场；有一带正电粒子质量 m，电量 q， 从 y 轴上的 P 点沿着 x 轴正方向以大小为 v0 的初速度射入电场，运动一段时间沿 垂直于 OA 方向经过 Q 点进入磁场，经磁场偏转，过 y 轴正半轴上的 M 点再次 垂直进入匀强电场．已知 OP=h，不计粒子的重力． （1）求粒子垂直射线 OA 经过 Q 点的速度 vQ； （2）求匀强电场的电场强度 E 与匀强磁场的磁感应强度 B 的比值； （3）粒子从 M 点垂直进入电场后，如果适当改变电场强度，可以使粒子再次垂 直 OA 进入磁场，再适当改变磁场的强弱，可以使粒子再次从 y 轴正方向上某点 垂直进入电场；如此不断改变电场和磁场，会使粒子每次都能从 y 轴正方向上某 点垂直进入电场，再垂直 OA 方向进入磁场…，求粒子从 P 点开始经多长时间能 够运动到 O 点？ 【解答】解：（1）设垂直 OA 到达 Q 点的速度为 vQ，将速度分解为水平方向的 v0 和竖直方向的 vy，如图所示，则 vy= vQ= （2）做出粒子在磁场中的运动轨迹如图，根据几何知识可得出原点 O 即为轨迹 圆的圆心，OQ 为轨迹圆的半径，设为 R． 在电场中的运动，由类平抛的知识可得： x= =v0t1 ， 可求得 E= 在磁场中的运动，由圆周运动的知识可得： 2qv0B= ，B= 所以 （3）设粒子第一次在磁场中做圆周运动的半径为 R1，在电场中运动的时间为 t11， 在磁场中运动的时间为 t12，在电场、磁场中运动的总时间为 t1，则有 t11= ， t12= = ， t1=t11+t12= + = 又由 h﹣ = = = 解得，R1= 从而有 = = 由题意知，改变电场、磁场的强弱后，粒子重复前面的运动情况，又设粒子第二 次在磁场中做圆周运动的半径为 R2，在电场中运动的时间为 t21，在磁场中运动 的时间为 t22，在电场、磁场中运动的总时间为 t2，类似上面的求解，有 = ， = ， 又由 = 解得， ，将此结果代入上式可得 = …类推可知，粒子第 n 次在电场、磁场中运动的总时间 所以粒子最终运动到 O 点的时间为 = 答：（1）粒子垂直射线 OA 经过 Q 点的速度为 2v0；（2）匀强电场的电场强度 E 与匀强磁场的磁感应强度 B 的比值为 v0；（3）粒子从 P 点开始经 能够运动到 O 点． 22．（2016•四川）如图所示，图面内有竖直线 DD′，过 DD′且垂直于图面的平面 将空间分成Ⅰ、Ⅱ两区域．区域 I 有方向竖直向上的匀强电场和方向垂直图面的 匀强磁场 B（图中未画出）；区域Ⅱ有固定在水平面上高 h=2l、倾角α= 的光滑 绝缘斜面，斜面顶端与直线 DD′距离 s=4l，区域Ⅱ可加竖直方向的大小不同的匀 强电场（图中未画出）；C 点在 DD′上，距地面高 H=3l．零时刻，质量为 m、带 电荷量为 q 的小球 P 在 K 点具有大小 v0= 、方向与水平面夹角θ= 的速度， 在区域 I 内做半径 r= 的匀速圆周运动，经 CD 水平进入区域Ⅱ．某时刻，不带 电的绝缘小球 A 由斜面顶端静止释放，在某处与刚运动到斜面的小球 P 相遇．小 球视为质点，不计空气阻力及小球 P 所带电量对空间电磁场的影响．l 已知，g 为重力加速度． （1）求匀强磁场的磁感应强度 B 的大小； （2）若小球 A、P 在斜面底端相遇，求释放小球 A 的时刻 tA； （3）若小球 A、P 在时刻 t=β （β为常数）相遇于斜面某处，求此情况下区域 Ⅱ的匀强电场的场强 E，并讨论场强 E 的极大值和极小值及相应的方向． 【解答】解：（1）小球 P 在Ⅰ区做匀速圆周运动，则小球 P 必定带正电，且所受 电场力与重力大小相等． 设Ⅰ区磁感应强度大小为 B，由洛伦兹力提供向心力得： ① 代入数据得： ② （2）小球 P 先在Ⅰ区以 D 为圆心做匀速圆周运动，由小球初速度和水平方向夹 角为θ可得，小球将偏转θ角后自 C 点水平进入Ⅱ区做类平抛运动到斜面底端 B 点，如图所示，运动到 C 点的时刻为 ，到达斜面时刻为 ，有 ③ ④ 小球 A 释放后沿斜面运动的加速度为 ，与小球 P 在时刻 相遇于斜面底端， 有 ⑤ ⑥ 联立以上方程可得： ⑦ （3）设所求电场方向向下，在 时刻释放小球 A，小球 P 在区域Ⅱ运动加速度 为 ，有 则小球 A、P 相遇时，由运动公式及几何关系可得： ⑧ ⑨ ⑩ 联立相关方程解得 对小球 P 的所有运动情形讨论可得得 3≤β≤5 由此可得场强极小值为 Emin=0，场强极大值为 Emax= ，方向竖直向上 答：（1）磁感应强度大小为 （2）小球 A 释放时刻为 （3）电场强度为 ，极大值 ，竖直向上；极小值为 0． 23．（2014•海南）如图，在 x 轴上方存在匀强磁场，磁感应强度大小为 B，方向 垂直于纸面向外；在 x 轴下方存在匀强电场，电场方向与 xOy 平面平行，且与 x 轴成 45°夹角．一质量为 m、电荷量为 q（q＞0）的粒子以速度 v0 从 y 轴上 P 点 沿 y 轴正方向射出，一段时间后进入电场，进入电场时的速度方向与电场方向相 反；又经过一段时间 T0，磁场方向变为垂直纸面向里，大小不变，不计重力． （1）求粒子从 P 点出发至第一次到达 x 轴时所需的时间； （2）若要使粒子能够回到 P 点，求电场强度的最大值． 【解答】解：（1）带电粒子在磁场中做圆周运动，设运动半径为 R，运动周期为 T， 洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得： ， 粒子做圆周运动的周期： ， 由题意可知，粒子第一次到达 x 轴时，运动转过的角度为 ， 所需时间 t1 为： ，解得： ； （2）粒子进入电场后，先做匀减速运动，直到速度减小为 0， 然后沿原路返回做匀加速运动，到达 x 轴时速度大小仍为 v0， 设粒子在电场中运动的总时间为 t2，加速度大小为 a，电场强度大小为 E， 由牛顿第二定律得：qE=ma， ，解得： ， 根据题意，要使粒子能够回到 P 点，必须满足 t2≥T0， 解得，电场强度最大值： ． 答：（1）粒子从 P 点出发至第一次到达 x 轴时所需的时间为 ； （2）若要使粒子能够回到 P 点，电场强度的最大值为 ． 24．（2017•广州模拟）一半径为 R 的薄圆筒处于磁感应强度大小为 B 的匀强磁 场中，磁场方向与筒的中心轴线平行，筒的横截面如图所示．图中直径 MN 的两 端分别开有小孔，筒可绕其中心轴线转动，圆筒的转动方向和角速度大小可以通 过控制装置改变．一不计重力的负电粒子从小孔 M 沿着 MN 方向射入磁场，当 筒以大小为ω0 的角速度转过 90°时，该粒子恰好从某一小孔飞出圆筒． （1）若粒子在筒内未与筒壁发生碰撞，求该粒子的荷质比和速率分别是多大？ （2）若粒子速率不变，入射方向在该截面内且与 MN 方向成 30°角，则要让粒子 与圆筒无碰撞地离开圆筒，圆筒角速度应为多大？ 【解答】解：（1）若粒子沿 MN 方向入射，当筒转过 90°时，粒子从 M 孔（筒逆 时针转动）或 N 孔（筒顺时针转动） 射出，如图，由轨迹 1 可知半径：r=R 由 ，粒子运动周期 筒转过 90°的时间： ，又 联立以上各式得：荷质比 ， 粒子速率：v=ω0R （2）若粒子与 MN 方向成 30°入射，速率不变半径仍为 R，作粒子轨迹 2 如图轨 迹 2 圆心 为 O’，则四边形 MO’PO 为菱形，可得 ，所以 则粒子偏转的时间： ；又 ； 得： 由于转动方向与射出孔不确定，讨论如下： ⅰ．当圆筒顺时针转动时，设筒转动的角速度变为ω1， 若从 N 点离开，则筒转动时间满足 ，得： 其中 k=0， 1，2，3… 若从 M 点离开，则筒转动时间满足 ，得： 其 中 k=0，1，2，3…； 综上可得 其中 n=0，1，2，3… ⅱ．当圆筒逆时针转动时，设筒转动的角速度变为ω2， 若从 M 点离开，则筒转动时间满足 ，得： 其 中 k=0，1，2，3… 若从 N 点离开，则筒转动时间满足 ，得： 其中 k=0，1，2，3… 综上可得 其中 n=0，1，2，3… 综上所述，圆筒角速度大小应为 或者 其中 n=0，1，2，3… 答：（1）若粒子在筒内未与筒壁发生碰撞，该粒子的荷质比为 ，速率分别是 ω0R． （2）若粒子速率不变，入射方向在该截面内且与 MN 方向成 30°角，则要让粒子 与圆筒无碰撞地离开圆筒，圆筒角速度应为 （顺时针转动）或 （逆时针转动） 其中 n=0，1，2，3…． 25．（2017•平顶山模拟）如图所示，一小车置于光滑水平面上，轻质弹簧右端固 定，左端栓连物块 b，小车质量 M=3kg，AO 部分粗糙且长 L=2m，动摩擦因数μ=0.3， OB 部分光滑．另一小物块 a．放在车的最左端，和车一起以 v0=4m/s 的速度向右 匀速运动，车撞到固定挡板后瞬间速度变为零，但不与挡板粘连．已知车 OB 部 分的长度大于弹簧的自然长度，弹簧始终处于弹性限度内．a、b 两物块视为质 点质量均为 m=1kg，碰撞时间极短且不粘连，碰后一起向右运动．（取 g=10m/s2） 求： （1）物块 a 与 b 碰后的速度大小； （2）当物块 a 相对小车静止时小车右端 B 到挡板的距离； （3）当物块 a 相对小车静止时在小车上的位置到 O 点的距离． 【解答】解：（1）对物块 a，由动能定理得： ， 代入数据解得 a 与 b 碰前速度：v1=2m/s； a、b 碰撞过程系统动量守恒，以 a 的初速度方向为正方向， 由动量守恒定律得：mv1=2mv2，代入数据解得：v2=1m/s； （2）当弹簧恢复到原长时两物块分离，a 以 v2=1m/s 在小车上向左滑动，当与车 同速时，以向左为正方向，由动量守恒定律得： mv2=（M+m）v3，代入数据解得：v3=0.25m/s， 对小车，由动能定理得： ， 代入数据解得，同速时车 B 端距挡板的距离： =0.03125m； （3）由能量守恒得： ， 解得滑块 a 与车相对静止时与 O 点距离： ； 答：（1））物块 a 与 b 碰后的速度大小为 1m/s； （2）当物块 a 相对小车静止时小车右端 B 到挡板的距离为 0.03125m （3）当物块 a 相对小车静止时在小车上的位置到 O 点的距离为 0.125m． 26．（2017•肇庆二模）如图所示，在光滑的水平面上有一长为 L 的木板 B，上表 面粗糙，在其左端有一光滑的 圆弧槽 C，与长木板接触但不相连，圆弧槽的下 端与木板上表面相平，B、C 静止在水平面上．现有滑块 A 以初速 V0 从右端滑上 B，并以 V0 滑离 B，恰好能到达 C 的最高点．A、B、C 的质量均为 m，试求： （1）木板 B 上表面的动摩擦因素μ； （2） 圆弧槽 C 的半径 R； （3）当 A 滑离 C 时，C 的速度． 【解答】解：（1）当 A 在 B 上滑动时，A 与 BC 整体发生作用，规定向左为正方 向，由于水平面光滑，A 与 BC 组成的系统动量守恒，有： mv0=m× v0+2mv1 得：v1= v0 由能量守恒得知系统动能的减小量等于滑动过程中产生的内能，有： Q=μmgL= m ﹣ m ﹣ ×2m 得：μ= （2）当 A 滑上 C，B 与 C 分离，A 与 C 发生作用，设到达最高点时速度相等为 V2，规定向左为正方向，由于水平面光滑，A 与 C 组成的系统动量守恒，有： m× v0+mv1=（m+m）V2， 得：V2= A 与 C 组成的系统机械能守恒，有： m + m = ×（2m） +mgR 得：R= （3）当 A 滑下 C 时，设 A 的速度为 VA，C 的速度为 VC，规定向左为正方向，A 与 C 组成的系统动量守恒，有： m× v0+mv1=mvA+mvC A 与 C 组成的系统动能守恒，有： m + m = m + m 解得：VC= ． 答：（1）木板 B 上表面的动摩擦因素为 ； （2） 圆弧槽 C 的半径为 ； （3）当 A 滑离 C 时，C 的速度是 ． 27．（2017•惠州模拟）如图所示，一质量 M=0.4kg 的小物块 B 在足够长的光滑 水平台面上静止不动，其右侧固定有一轻质水平弹簧（处于原长）．台面的右边 平滑对接有一等高的水平传送带，传送带始终以υ=1m/s 的速率逆时针转动．另 一质量 m=0.1kg 的小物块 A 以速度υ0=4m/s 水平滑上传送带的右端．已知物块 A 与传送带之间的动摩擦因数μ=0.1，传送带左右两端的距离 l=3.5m，滑块 A、B 均 视为质点，忽略空气阻力，取 g=10m/s2． （1）求物块 A 第一次到达传送带左端时速度大小； （2）求物块 A 第一次压缩弹簧过程中弹簧的最大弹性势能 Epm； （3）物块 A 会不会第二次压缩弹簧？ 【解答】解：（1）物块 A 从传送带的右端滑到左端的过程，根据动能定理有： mυ12﹣ mυ02=﹣μmgl 代入数据解得：υ1=3m/s 因为υ1＞υ 所以物块 A 第一次到达传送带左端时速度大小为 3m/s． （2）物块 A 第一次压缩弹簧过程中，当物块 A 和 B 的速度相等时，弹簧的弹性 势能最大，根据动量守恒定律有：mυ1=（ M+m ）υ′ 根据机械能守恒定律有：Epm= mυ12﹣ （ M+m ） υ′2 代入数据解得：Epm=0.36J． （3）物块 A 第一次压缩弹簧前后动量和动能均守恒，有： mυ1=mυ1′+Mυ2′ mυ12= mυ1′2+ Mυ2′2 解得：υ1′= υ1=﹣1.8m/s，υ2′= υ1 代入数据解得：υ1′=﹣1.8m/s，υ2′=1.2m/s 根据动能定理有：0﹣ m υ1′2=﹣μmgl1 代入数据解得：l1=1.62m 因为 l1＜l 所以物块 A 第二次向左到达传送带左端时的速度υ1″=υ=1m/s 根据υ1″＜υ2′，可得物块 A 不会第二次压缩弹簧． 答：（1）物块 A 第一次到达传送带左端时速度大小为 3m/s； （2）物块 A 第一次压缩弹簧过程中弹簧的最大弹性势能 Epm 为 0.36J； （3）物块 A 不会第二次压缩弹簧． 28．（2017•盐城一模）历史上美国宇航局曾经完成了用“深度撞击”号探测器释放 的撞击器“击中”坦普尔 1 号彗星的实验．探测器上所携带的重达 370kg 的彗星“撞 击器”将以 1.0×104m/s 的速度径直撞向彗星的彗核部分，撞击彗星后“撞击器” 融化消失，这次撞击使该彗星自身的运行速度出现 1.0×10﹣7m/s 的改变．已知 普朗克常量 h=6.6×10﹣34J•s．（计算结果保留两位有效数字）．求： ①撞击前彗星“撞击器”对应物质波波长； ②根据题中相关信息数据估算出彗星的质量． 【解答】解：①撞击前彗星“撞击器”的动量为：P=mυ=370×1.0×104=3.7× 106kg•m/s 则撞击前彗星“撞击器”对应物质波波长为：λ= = ≈1.8×10﹣40 m ②以彗星和撞击器组成的系统为研究对象，规定彗星初速度的方向为正方向，由 动量守恒定律得： mυ=M△υ 则得彗星的质量为：M= = =3.7×1013kg 答：①撞击前彗星“撞击器”对应物质波波长是 1.8×10﹣40 m． ②彗星的质量是 3.7×1013kg． 29．（2017•荆门模拟）如图，ABD 为竖直平面内的轨道，其中 AB 段是水平粗糙 的、BD 段为半径 R=0.4m 的半圆光滑轨道，两段轨道相切于 B 点．小球甲从 C 点以速度υ0 沿水平轨道向右运动，与静止在 B 点的小球乙发生弹性碰撞．已知甲、 乙两球的质量均为 m，小球甲与 AB 段的动摩擦因数为μ=0.5，C、B 距离 L=1.6m， g 取 10m/s2．（水平轨道足够长，甲、乙两球可视为质点） （1）甲乙两球碰撞后，乙恰能通过轨道的最高点 D，求乙在轨道上的首次落点 到 B 点的距离； （2）在满足（1）的条件下，求的甲的速度υ0； （3）若甲仍以速度υ0 向右运动，增大甲的质量，保持乙的质量不变，求乙在轨 道上的首次落点到 B 点的距离范围． 【解答】解：（1）设乙到达最高点的速度为 vD，乙离开 D 点到达水平轨道的时 间为 t，乙的落点到 B 点的距离为 x，乙恰能通过轨道最高点，则 mg=m …① 乙做平抛运动过程有： 2R= gt2…② x=vDt…③ 联立①②③得：x=0.8 m…④ （2）设碰撞后甲、乙的速度分别为 v 甲、v 乙，取向右为正方向，根据动量守恒 定律和机械能守恒定律有 mvB=mv 甲+mv 乙 …⑤ mvB2= mv 甲 2+ mv 乙 2…⑥ 联立⑤⑥得：v 乙=vB⑦ 对乙从 B 到 D，由动能定理得：﹣mg•2R= mv02﹣ mv 乙 2…⑧ 联立①⑦⑧得：vB=2 m/s…⑨ 甲从 C 到 B，由动能定理有：﹣μmgL= mvB2﹣ mv02⑨ 解得：v0=6m/s （3）设甲的质量为 M，碰撞后甲、乙的速度分别为 vM、vm，取向右为正方向， 根据动量守恒定律和机械能守恒定律有： MvB=MvM+mvm…⑩ MvB2= MvM2+ mvm2…（11） 联立得⑩（11）得：vm= …（12） 由 M=m 和 M≥m，可得 vB≤vm＜2vB …（13） 设乙球过 D 点时的速度为 vD'，由动能定理得： ﹣mg•2R= mv′02﹣ mvm2…（14） 联立⑨（13）（14）得：2 m/s≤vD'＜8 m/s …（15） 设乙在水平轨道上的落点距 B 点的距离为 x'，有：x'=vD't …（16） 联立②（15）（16）得：0.8 m≤x'＜3.2m…（17） 答：（1）乙在轨道上的首次落点到 B 点的距离是 0.8m； （2）甲的速度υ0 是 6m/s； （3）乙在轨道上的首次落点到 B 点的距离范围是 0.8 m≤x'＜3.2m． 30．（2016•北京）动量定理可以表示为△p=F△t，其中动量 p 和力 F 都是矢量．在 运用动量定理处理二维问题时，可以在相互垂直的 x、y 两个方向上分别研究．例 如，质量为 m 的小球斜射到木板上，入射的角度是θ，碰撞后弹出的角度也是θ， 碰撞前后的速度大小都是υ，如图所示．碰撞过程中忽略小球所受重力． a．分别求出碰撞前后 x、y 方向小球的动量变化△px、△py； b．分析说明小球对木板的作用力的方向． 【解答】解：a、把小球入射速度分解为 vx=vsinθ，vy=﹣vcosθ， 把小球反弹速度分解为 vx′=vsinθ，vy′=vcosθ， 则△px=m（vx′﹣vx）=0，△py=m（vy′﹣vy）=2mvcosθ，方向沿 y 轴正方向， b、对小球分析，根据△p=F△t 得： ， ， 则 ，方向沿 y 轴正向， 根据牛顿第三定律可知，小球对木板的作用力的方向沿 y 轴负方向． 答：a．分别求出碰撞前后 x、y 方向小球的动量变化△px 为 0，△py 大小为 2mvcosθ， 方向沿 y 轴正方向； b．小球对木板的作用力的方向沿 y 轴负方向．