高中物理第三章万有引力定律及其应用2万有引力定律的应用课件粤教版必修2 68页

第二节 万有引力定律的应用 一、计算天体的质量 1. 地球质量的计算 : 月球绕地球做匀速圆周运动的向 心力是由它们之间的 _________ 提供的 , 根据 ______ =m( ) 2 r 可得 M=_____, 知道月球绕地球运动的周期 T 以及它和地球之间的距离 r 就可以算出地球的质量。 万有引力 2. 行星 ( 或中心天体 ) 的质量计算 : 已知卫星绕行星 ( 或行星绕中心天体 ) 运动 的 _____ 和卫星与行星 ( 或行星与中心天体 ) 之间的 _____, 同样可以计算出 行星 ( 或中心天体 ) 的质量。 周期 距离 二、发现未知天体 1. 海王星的发现 : 英国剑桥大学青年学生 _______ 和 法国青年天文学家 _______ 根据 天王星的观测资料 , 利用万有引力定律计算出天王星外“新”行星的 轨道。 1846 年 9 月 23 日 , 柏林天文台的望远镜在他 们计算出来的位置发现了这颗行星 —— 海王星。 亚当斯 勒维烈 2. 其他天体的发现 : 近 100 年来 , 人们在海王星的 道之外又发现了 _______ 、阋神星等几个较大的 天体。 冥王星 【 思考辨析 】 (1) 天王星是依据万有引力定律计算的轨道而发现的。 ( 　　 ) (2) 海王星的发现确立了万有引力定律的地位。 ( 　　 ) (3) 牛顿根据万有引力定律计算出了海王星的轨道。 ( 　　 ) 提示 : (1)× 。人们依据万有引力定律计算的轨道发现的是海王星 , 不是天王星。 (2)√ 。海王星的发现有力证实了万有引力定律的正确性。 (3)× 。计算出海王星轨道的是亚当斯和勒维烈。 三、人造卫星和宇宙速度 1. 牛顿的设想 : 如图所示 , 把物体水平抛出 , 如果速 度 _______, 物体就不再落回地面 , 它将绕地球运动 成为 _____________ 。 足够大 人造地球卫星 2. 近地卫星的速度 : (1) 原理 : 飞行器绕地球做匀速圆周运动 , 运动所需的 向心力由万有引力提供 , 所以 m =_______, 解得 :v= ______ 。 (2) 结果 : 用地球半径 R 代表近地卫星到地心的距离 r, 可算出 :v =____ km/s 。 7.9 3. 宇宙速度 : 数　值 意　义 第一宇 宙速度 ____ km/s 卫星在地球表面附近绕地球 做 _____________ 的速度 第二宇 宙速度 _____ km/s 使卫星挣脱 _____ 引力束缚的 最小地面发射速度 第三宇 宙速度 _____ km/s 使卫星挣脱 _____ 引力束缚的 _____ 地面发射速度 7.9 匀速圆周运动 11.2 地球 16.7 太阳 最小 【 生活链接 】 如图所示是发射卫星升空的过程和飞船进入轨道后对舱内航天员活动的记录。观察图片 , 思考以下问题 : (1) 发射卫星时 , 发射的速度一样大吗 ? (2) 飞船运行的半径越大时 , 它运行的速度越大吗 ? 提示 : (1) 人造卫星的轨道半径越大 , 火箭要克服地球对它的引力做功越多 , 发射速度就越大。 (2) 人造卫星距地面越高 ( 即 r 越大 ) , 运行速度越小。 一　天体质量和密度的计算 考查角度 1 天体质量的计算 【 典例 1】 ( 多选 ) 人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。根据科学家们复原的过程 , 在两颗中子星合并前约 100 s 时 , 它们相距约 400 km, 绕二者连线上的某点每秒转动 12 圈。 将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体 , 由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识 , 可以估算出这一时刻两颗中子星 ( 　　 ) A. 质量之积　　　　 B. 质量之和 C. 速率之和 D. 各自的自转角速度 【 解析 】 选 B 、 C 。由题可知双中子星相距 L 约 400 km 、 万有引力常量 G 、双中子星做匀速圆周运动的频率 f= 12 Hz 。由万有引力提供向心力可得 G = m 1 (2πf) 2 r 1 、 G =m 2 (2πf) 2 r 2 ,r 1 +r 2 =L, 联立解 得 :m 1 +m 2 = , 故选项 A 错误 , 选项 B 正确 ; v 1 =2πfr 1 、 v 2 =2πfr 2 解得 v 1 +v 2 =2πfL, 故选项 C 正确 ; 各自的自转角速度无法估算 , 故选项 D 错误。 【 核心归纳 】 天体质量的计算 “ 自力更生法” “ 借助外援法” 情景 已知天体 ( 如地球 ) 的半径 R 和天体 ( 如地球 ) 表面的重力加速度 g 行星或卫星绕中心天体做匀速圆周运动 “ 自力更生法” “ 借助外援法” 思路 物体的重力近似 等于天体 ( 如地球 ) 与物体间的万有 引力 :mg=G 行星或卫星受到的万有引力充当向心力 : G =m 或 G =mω 2 r 或 G =m( ) 2 r “ 自力更生法” “ 借助外援法” 结果 天体 ( 如地球 ) 质量 : M= 中心天体质量 : M= 或 M= 或 M= 【 易错提醒 】 (1) 根据万有引力定律只能计算出中心天体的质量、 而不能计算环绕天体的质量。 (2) 只有在忽略地球的自转时 , 才能在地面附近应用 mg=G 考查角度 2 天体密度的计算 【 典例 2】 经过近 7 年时间 , 在太空中穿行 2 亿千米后 , 美航天局和欧洲航天局合作研究出“卡西尼号”土星探测器于美国东部时间 6 月 30 日抵达预定轨道 , 开始“拜访”土星及其卫星家族。这是人类首次针对土星及其 31 颗已知卫星最详尽的探测。 若“卡西尼号”土星探测器进入环绕土星上空的圆轨 道飞行 , 已知土星半径为 R, 探测器离土星表高度为 h ① , 面环绕 n 周的飞行时间为 t ② 。 求 (1) 土星的质量 M 。 (2) 平均密度 ρ( 球体体积公式为 V= ) 。 【 审题关键 】 序号 信息提取 ① 探测器轨道半径 r=R+h ② 探测器周期 T= 【 解析 】 (1) 根据万有引力提供向心力有 m (R+h) 探测器运行的周期 T= 联立以上各式解得土星的质量 M= 。 (2) 又 M=ρV,V= πR 3 联立解得土星的平均密度 ρ= 答案 : (1) 　 (2) 【 核心归纳 】 天体密度的计算 (1) 一般思路 : 若天体半径为 R, 则天体的密度 ρ= , 将质量代入可求得密度。 (2) 特殊情况 : 当卫星环绕天体表面运动时 , 其轨道 半径 r 可认为等于天体半径 R, 依据 M= , ρ= ,R=r, 可得 :ρ= 。 【 过关训练 】 1. 若地球绕太阳公转周期及公转轨道半径分别为 T 和 R, 月球绕地球公转周期和公转轨道半径分别为 t 和 r, 则太阳质量与地球质量 之比为 ( 　　 ) A. 　　　 B. 　　　 C. 　　　 D. 【 解析 】 选 A 。无论地球绕太阳公转 , 还是月球绕地球 公转 , 统一的公式为 G =mr , 即 M∝ , 所以 = ,A 正确。 2. 我国 500 m 口径射电望远镜 ( 天眼 ) 发现毫秒脉冲星“ J0318+0253”, 其自转周期 T=5.19 ms 。假设星体为质量均匀分布的球体 , 已知万有引力常量为 6.67×10 -11 N·m 2 /kg 2 。以周期 T 稳定自转的星体的密度最小值约为 ( 　　 ) A.5×10 9 kg/m 3 B.5×10 12 kg/m 3 C.5×10 15 kg/m 3 D.5×10 18 kg/m 3 【 解析 】 选 C 。星体自转的最小周期发生在其赤道上 的物质所受向心力正好全部由引力提供时 , 根据牛顿 第二定律 :G =m R; 又因为 V= πR 3 、 ρ= ; 联立可得 ρ= ≈5×10 15 kg/m 3 , 选项 C 正确。 3.“ 嫦娥三号”卫星在环月圆 轨道绕行 n 圈所用的时间为 t, 月球半径为 R 0 , 月球表面 重力加速度为 g 0 。 (1) 请推导出“嫦娥三号”卫星离月球表面高度的表 达式。 (2) 地球和月球的半径之比为 =4, 表面重力加速度 之比为 =6, 试求地球和月球的密度之比。 【 解析 】 (1) 由题意知 , “ 嫦娥三号 ” 卫星的周期为 T= 设卫星离月球表面的高度为 h, 由万有引力提 供向心力得 G =m(R 0 +h)( ) 2 又 GM= 联立解得 h= -R 0 。 (2) 设星球的密度为 ρ, 由 GM=gR 2 ρ= = , 联立解得 ρ= , 设地球、 月球的密度分别为 ρ 、 ρ 0 , 则 = , 将 =4, =6 代入上式 , 解得 = 。 答案 : (1) -R 0 　 (2) 【 补偿训练 】 1.( 多选 ) 通过观测冥王星的卫星 , 可以推算出冥王星的质量。假设卫星绕冥王星做匀速圆周运动 , 除了引力常量外 , 至少还需要两个物理量才能计算出冥王星的质量。这两个物理量可以是 ( 　　 ) A. 卫星的速度和角速度 B. 卫星的质量和轨道半径 C. 卫星的质量和角速度 D. 卫星的运行周期和轨道半径 【 解析 】 选 A 、 D 。根据线速度和角速度可以求出半 径 r= , 根据万有引力提供向心力 : =m , 整 理可以得到 :M= = , 故选项 A 正确 ,B 、 C 错误 ; 若知道卫星的周期和半径 , 则 =m( ) 2 r, 整理 得到 :M= , 故选项 D 正确。 2. 过去几千年来 , 人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内 , 行星“ 51 peg 　 b” 的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕。“ 51 peg 　 b” 绕其中心恒星做匀速圆周运动 , 周期约为 4 天 , 轨道半径约为地球绕太阳运动半径的 。该中心恒星与太阳的质量比约为 ( 　　 ) A. 　　　　 B.1 　　　　 C.5 　　　　 D.10 【 解析 】 选 B 。根据 G =m r 得 M∝ , 代入数据 得恒星与太阳的质量比约为 1.04, 所以 B 项正确 。 二　宇宙速度和卫星的运动规律 考查角度 1 发射速度和第一宇宙速度 【 典例 1】 一航天员在某行星的极地着陆时 , 发现自己 在当地的重力是在地球上重力的 k 倍 ① , 进一步研究还发现 , 该行星一昼夜的时间与地球相同 ② , 而且 物体在其赤道上完全失重 ③ , 已知地球表面 重力加速度为 g, 自转周期为 T, 万有引力常量为 G, 求这一行星的密度及第一宇宙速度。 【 审题关键 】 序号 信息提取 ① 星球表面重力加速度 g 0 =kg ② 星球自转周期和地球相同 ③ 恰好是重力提供向心力 【 解析 】 设该行星表面的重力加速度为 g 0 , 密度为 ρ, 质量为 M, 半径为 R, 第一宇宙速度为 v, 由题意可得 g 0 =kg 在行星极地上 , 有 G =mg 0 由于物体在行星赤道上完全失重 , 由牛顿第二定律有 mg 0 =m( ) 2 R 又 M=ρ · πR 3 解得 ρ= 由牛顿第二定律有 G =m 解得 v= 。 答案 : 　 【 核心归纳 】 1. 人造卫星的发射速度与运行速度 : (1) 发射速度 : 在地面上发射卫星时卫星离开发射装置时的初速度。 (2) 运行速度 : 卫星在进入运行轨道后绕地球做匀速圆周运动的线速度。 2. 第一宇宙速度 ( 环绕速度 ): (1) 定义 : 又叫环绕速度 , 是人造卫星在地面附近绕地球做匀速圆周运动所具有的速度 , 是人造地球卫星的最小发射速度 ,v=7.9 km/s 。 (2) 推导 : 设地球的质量为 M, 卫星的质量为 m, 卫星到地心的距离为 r, 卫星做匀速圆周运动的线速度为 v: 考查角度 2 人造卫星的运行规律 【 典例 2】 ( 多选 ) 如图所示 ,a,b,c,d 是在地球大气层外的 圆形轨道上匀速运行的四颗人造卫 星。其中 a,c 的轨道相交于点 P,b,d 在同一个圆轨道上。 某时刻 b 卫星恰好处于 c 卫星的正上方。下列说法中正确的是 ( 　　 ) A.b,d 存在相撞危险 B.a,c 的加速度大小相等 C.b,d 的角速度大小相等 D.c 的线速度大小小于 d 的线速度大小 【 解析 】 选 B 、 C 。由 v= 和 ω= ,b 、 d 在同 一轨道 , 知线速度、角速度大小是相等的 , 不可能 相撞 , 故 A 错 ,C 对 ; 由 a 向 = 知 a 、 c 的加速度大 小相等且大于 b 的加速度 , 故 B 对 ; 由 v= 知 , 某 时刻 b 卫星恰好处于 c 卫星的正上方 , 所以 c 的线速 度大小大于 d 的线速度大小 , 故 D 错。 【 核心归纳 】 1. 卫星的各物理量随轨道半径的变化而变化的规律 : (1) 向心力和向心加速度 : 向心力是由万有引力充当 的 , 即 F=G =ma, 再根据牛顿第二定律可得 , 随着 轨道半径的增加 , 卫星的向心力和向心加速度都减小。 (2) 线速度 v: 由 G =m 得 v= , 随着轨道半 径的增加 , 卫星的线速度减小。 (3) 角速度 ω: 由 G =mω 2 r 得 ω= , 随着轨 道半径的增加 , 卫星的角速度减小。 (4) 周期 : 由 G =m r 得 T=2π , 随着轨道 半径的增加 , 卫星的周期增大。 2. 地球同步卫星及特点 : 同步卫星就是与地球同步运转 , 相对地球静止的卫星 , 因此可用来作为通讯卫星。同步卫星有以下几个特点 : (1) 周期一定 , 与地球自转周期 ( 周期 T=24 h) 相同。 (2) 角速度一定 , 与地球自转角速度相同。 (3) 轨道平面一定在赤道平面上。 (4) 距离地心的距离一定 , 距离地面的高度为 3.6× 10 4 km 。 (5) 环绕速度大小一定 :v=3.08 km/s, 环绕方向与地球自转方向相同。 (6) 向心加速度大小一定 :a=0.23 m/s 2 。 【 特别提醒 】 由于卫星轨道的最小半径为 r=R(R 为地球半径 ), 此时加速度最大 ,a=g, 线速度最大 , 为第一宇宙速度 7.9 km/s, 其角速度最大 , 周期最小 , 约为 85 min 。即所有卫星的 a 、 v 、 ω 、 T 只与轨道半径 r 有关 , 而与其他因素无关。 【 过关训练 】 1. 若取地球的第一宇宙速度为 8 km/s, 某行星质量是地球的 6 倍 , 半径是地球的 1.5 倍 , 此行星的第一宇宙速度约为 ( 　　 ) A.16 km/s 　　 B.32 km/s 　　 C.4 km/s 　　 D.2 km/s 【 解析 】 选 A 。第一宇宙速度是近地卫星的环绕速 度 , 对于近地卫星 , 其轨道半径近似等于星球半径 , 所受万有引力提供其做匀速圆周运动的向心力 , 根 据万有引力定律和牛顿第二定律得 G =m , 解 得 v= 。 因为行星的质量 M′ 是地球质量 M 的 6 倍 , 半径 R′ 是地球半径 R 的 1.5 倍 , 故 = = =2, 即 v′=2v=2×8 km/s=16 km/s,A 正确。 2. 我国成功发射的“天舟一号”货运飞船与“天宫二号”空间实验室完成了首次交会对接 , 对接形成的组合体仍沿“天宫二号”原来的轨道 ( 可视为圆轨道 ) 运行。与“天宫二号”单独运行相比 , 组合体运行的 ( 　　 ) A. 周期变大　　　　　　　　 B. 速率变大 C. 动能变大 D. 向心加速度变大 【 解析 】 选 C 。因为对接前后 , 轨道半径没有改变 , 周期 T=2π , 速率 v= , 向心加速度 a= , 所以对接前后周期、速率、向心加速度均不变 , 但质量 变大 , 动能变大 , 故 C 正确 ,A 、 B 、 D 错误。 【 补偿训练 】 1. 关于第一宇宙速度 , 下列说法中正确的是 ( 　　 ) A. 它是人造地球卫星绕地球飞行的最小速度 B. 它是近地圆轨道上人造地球卫星的运行速度 C. 它是卫星在椭圆轨道上运行时在近地点的速度 D. 它又叫环绕速度 , 即卫星绕地球做圆轨道运行的速度都是第一宇宙速度 【 解析 】 选 B 。第一宇宙速度 7.9 km/s 是一个特定 的数值 , 是人造地球卫星绕地球做圆周运动的最大 运行速度。由 v= 知 , 卫星做圆周运动时 , 离地 越高 , 其运行速度越小 , 并不是卫星绕地球做圆轨 道运行时的速度都是第一宇宙速度。故选项 B 正确。 2.( 多选 ) 地球半径为 R 0 , 地面重力加速度为 g, 若卫星 在距地面 R 0 处做匀速圆周运动 , 则 ( 　　 ) A. 卫星线速度为 B. 卫星的角速度为 C. 卫星的加速度为 D. 卫星周期为 2π 【 解析 】 选 A 、 B 。根据题意 ,G =m = mω 2 · 2R 0 =m · 2R 0 =ma, 再根据 G =mg, 由 此可确定 A 、 B 正确 ,C 、 D 错误。 【 拓展例题 】 考查内容 : 同步卫星与赤道上物体运动的比较 【 典例 】 同步卫星离地心的距离为 r, 运行速率为 v 1 , 加 速度为 a 1 , 地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度 为 a 2 , 第一宇宙速度为 v 2 , 地球半径为 R, 则 ( 　　 ) A. = 　　　　　 B. = C. = D. = 【 正确解答 】 选 D 。同步卫星的角速度与赤道上的物 体随地球自转的角速度相同 , 所以 = = , 选项 A 、 B 错 ; 对于同步卫星 ,G =m , 所以 v 1 = ; 对 于近地卫星 ,G =m , 所以 v 2 = , 所以 = , C 错 ,D 对。