人教版必修二5.7《生活中的圆周运动》WORD教案3 4页

第7节 向心力 ‎【知识要点】‎ ‎1、向心力的概念 做圆周运动的物体不沿直线飞去而是沿着一个圆周运动，说明这个物体必然受到了外力的作用。用绳系着的物体在光滑水平面上做匀速圆周运动，是由于绳子对它有拉力作用，不难想像，如在某时刻剪断细绳，那物体必然沿切线方向飞出做匀速直线运动；如果月球不受地球对它的吸引力，则月球不受任何外力的作用（其它天体对月球的吸引力很小，可忽略），月球必然不会绕地球转动，而是做匀速直线运动，离地球越来越远。‎ 由于物体做圆周运动过程中，至少速度的方向在不断变化，所以物体一定具有加速度。做匀速圆周运动的物体，其加速度的方向始终指向圆心，根据牛顿第二定律，力是产生加速度的原因，所以物体一定受到了指向圆心的合力，这个合力叫做向心力。‎ ‎2、向心力的表达式 设做匀速圆周运动物体的向心加速度为a n，所受向心力为Fn，根据牛顿第二定律可得Fn＝ma n 通过上一节内容的学习，我们知道a n＝＝rω2‎ B O FA FC A C 图7－1‎ 所以，Fn＝m ＝m rω2‎ 匀速圆周运动中物体受到的向心力大小不变，但方向始终沿半径方向指向圆心，如图7－1所示，显然，向心力方向不断发生变化，所以向心力是一个变力。‎ 我们对物体进行受力分析时，经常提到重力、弹力、摩擦力等，它们都是按其产生的性质命名的，而向心力则不然，我们是根据它的作用效果（方向始终指向圆心，使物体产生向心加速度，迫使物体做圆周运动）命名的。凡是产生向心加速度的力，不管它属于什么性质，都是向心力。在匀速圆周运动中，合力提供向心力。‎ 图7－2‎ 如图7－2所示，一圆盘可绕一通过圆心且垂直于盘面的竖直轴转动，在圆盘上放一块橡皮，橡皮块随圆盘一起转动，在此问题中向心力Fn由静摩擦力提供，由于静摩擦力具有被动应变特性，所以物体所受静摩擦力的大小一定等于mrω2，方向指向圆心，且静摩擦力Ff的大小随ω的增大而增大；又因为Ff有最大值μmg，所以ω有最大值，由μmg＝mrω2可知，ω的最大值为，当ω＞时，物块便不能随圆盘做匀速圆周运动。‎ ‎3、用圆锥摆验证向心力的表达式 ‎（1）实验原理：‎ 当物体做匀速圆周运动时，合力正好提供物体所需向心力，即F合＝Fn，反映了一对“供”、“需”矛盾的统一，F合是物体所受外力的合力，为“供”，Fn＝m rω2是物体以半径为r、角速度为ω做原圆周运动所需要的向心力，是“需”。当“供”、“需”平衡（相等）时，物体就做匀速圆周运动；当“供”、“需”不平衡时，物体原来的匀速圆周运动状态就会被破坏。‎ 本实验即通过“供”、“需”双方分别测算钢球做圆周运动的向心力，比较它们的大小，从而验证向心力表达式。‎ ‎（2）几点说明：‎ ‎① 实验时，我们其实并不需要测量钢球的质量。这时因为在钢球向心力的两个表达式中我们都可以发现，向心力F与质量m都是成正比关系，只要验证了rω2与g tan θ在误差允许范围内相等，即证明了两种方法得到的向心力大小相等，也就验证了向心力的表达式。‎ ‎② 使钢球沿纸上的某个圆周运动，这是实验的成败与否的关键，也是这个实验操作过程中的一大难点，这需要我们在实验时多加练习，较为熟练后再正式开始计时、测量圆周运动的周期。‎ ‎③ 在测量钢球运动周期时，一定要用秒表或手表记录钢球运动若干圈的时间，这样有利于减小测量的误差。‎ ‎④ 由于小球运动时距纸面有一定高度，所以它距悬点的竖直高度h并不等于纸面距悬点的高度。这点差别可以通过估算解决。此外，测量小球距悬点的竖直高度时，要以小球的球心为准。‎ ‎（3）实验结果：‎ 如果仔细实验，通常实验结果在误差允许范围内都能很好地说明两个方法得到的向心力大小相等，也就验证了向心力的表达式。‎ ‎【例题讲解】‎ ‎【例1】关于向心力，下列说法中正确的是（ ）‎ A．物体由于做圆周运动而产生一个向心力 B．向心力不改变做匀速圆周运动物体的速度大小 C．做匀速圆周运动的物体的的向心力是个恒力 D．做一般曲线运动的物体的合力即为向心力 ‎【解析】与速度方向垂直的力使物体运动方向发生改变，此力指向圆心命名为向心力，所以向心力不是物体做圆周运动而产生的。向心力与速度方向垂直，不改变速度的大小，只改变速度的方向。做匀速圆周运动的物体的的向心力始终指向圆心，方向在不断变化，是个变力。做一般曲线运动的物体的合力通常可分解为切向分力和法向分力。正确选项为B。‎ ‎【例2】设地球半径为R＝‎6400km，自转周期T＝24h，试计算赤道上一个质量为m＝‎10kg的物体绕地轴做匀速圆周运动的向心加速度和所需的向心力。‎ ‎【解析】因赤道上的物体绕地心做圆周运动，故该物体做圆周运动的向心加速度为 a＝R ()2＝6.4×106×()‎2m/s2≈‎0.034 m/s2。‎ 图7－3‎ L m θ 该物体做圆周运动所需向心力为 F＝ma＝10×0.034N＝0.34N。‎ ‎【例3】如图7－3所示，将一质量为m的摆球用长为L的细绳吊起，上端固定，使摆球在水平面内做匀速圆周运动，细绳就会沿圆锥面旋转，这样就构成了一个圆锥摆。关于摆球的受力情况，下列说法中正确的是（ ）‎ A．摆球受重力、拉力和向心力的作用 B．摆球受拉力和向心力的作用 图7－4‎ m θ G O F FT FT1‎ FT21‎ C．摆球受重力和拉力的作用 D．摆球受重力和向心力的作用 ‎【解析】物体只受重力G和拉力FT的作用，而向心力F是重力和拉力的合力，如图7－4所示。也可以认为向心力就是FT沿水平方向的分力FT2，显然，FT沿竖直方向的分力FT1‎ 与重力G平衡。正确选项为C。‎ 图7－5‎ A B θ ‎【例4】如图7－5所示，一个内壁光滑的圆锥形筒的轴线垂直于水平面，圆锥形筒固定不动，有两个质量相等的小球A和B紧贴着内壁分别在图中所示的水平面内做匀速圆周运动，则以下说法中正确的是 A．A球的线速度必定大于B球的线速度 B．A球的角速度必定小于B球的线速度 C．A球的运动周期必定小于B球的运动周期 D．A球对筒壁的压力必定大于B球对筒壁的压力 图7－6‎ θ mg FN FN1‎ FN2‎ x θ O y ‎【解析】小球A或B的受力情况如图7－6所示，由图可知，两球的向心力都来源于重力G和支持力FN的合力，建立如图7－6所示的坐标系，则有 FN1＝FNsinθ＝mg，FN2＝FNcosθ＝F，‎ 所以F＝mgcotθ。‎ 也就是说FN在指向圆心方向的分力或重力G和支持力FN的合力F＝mgcotθ提供了小球做圆周运动所需的向心力，可见A、B两球的向心力大小相等。‎ 比较两者线速度大小时，由F＝m可知，r越大，v一定较大，故选项A正确。‎ 比较两者角速度大小时，由F＝mrω2可知，r越大，ω一定较小，故选项B正确。‎ 比较两者的运动周期时，由F＝mr()2可知，r越大，T一定较大，故选项C不正确。‎ 由受力分析图可知，小球A和B受到的支持力FN都等于，故选项D不正确。‎ 图7－7‎ l0‎ l B A 综上所述，本题正确选项为A、B。‎ ‎【例5】如图7－7所示，在光滑的水平桌面上钉有两枚铁钉A、B，两者相距l 0＝‎0.1m，长l＝‎1m的轻质柔软细线一端拴在A上，另一端拴住一个质量为‎500g的小球，小球的初始位置在AB连线上钉子A的一侧，把细线拉直，再给小球垂直细线方向的‎2m/s的水平速度，使它做匀速圆周运动，由于钉子B的存在，使细线逐步缠在钉子A、B上，若细线能承受的最大拉力为Fm＝7N，则从开始运动到细线断裂历时多长时间？‎ ‎【解析】小球交替地绕钉子A、B做匀速圆周运动，细线碰钉子的瞬间，细线的拉力和速度的方向仍然垂直，小球的速度大小不变，而细线的拉力随半径的突然减小而突然增大，当然，每转半圈所用的时间不断减小。‎ 在第一个半圆内   F1＝m，又T＝，t1＝，即t1＝；‎ 同理，在第二个半圆内F2＝，t2＝；‎ 在第三个半圆内F3＝，t2＝；‎ 则在第n个半圆内Fn＝，tn＝。‎ 令Fn＝Fm＝7N，即 ＝7N 解之可得n＝8‎ 因此，经历的时间为t＝t1＋t2＋t3＋……＋tn ‎ ＝｛nl－〔1＋2＋3＋……＋（n－1）〕l0｝‎ ‎ ＝×〔8×1－×0.1〕s＝8.2s。‎ 图7－8‎ A B r O ‎【例6】如图7－8所示，水平转盘的中心有一个光滑的竖直小圆筒，质量为m的物体A放在转盘上，物体A到圆心的距离为r，物体A通过轻绳与物体B相连，物体B的质量也为m。若物体A与转盘间的动摩擦因数为μ，则转盘转动的角速度ω在什么范围内，物体A才能随盘转动？‎ ‎【解析】当A将要沿转盘背离圆心滑动时，A所受的摩擦力为最大静摩擦力，方向指向圆心，此时A做圆周运动所需的向心力为绳的拉力与最大静摩擦力的合力，即 F＋Fm＝mrω12  ①‎ 由于B静止，则有 F＝mg ②‎ 又因为 Fm＝μFN＝μmg ③‎ 由①②③式可得 ω1＝ 当A将要沿转盘指向圆心滑动时，A所受的摩擦力为最大静摩擦力，方向背离圆心，此时A做圆周运动所需的向心力为F－Fm＝mrω22 ④‎ 由②③④式可得 ω2＝ 故要使A随转盘一起转动，其角速度ω的范围为ω2≤ω≤ω1，即 ‎ ≤ω≤