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高三文科数学 第 1 页(共 5 页)
武昌区 2020 届高三年级四月调研测试
文科数学
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有
一项是符合题目要求的。
1.设全集U R ,集合 A {x | 0 x 2}, B {x | x 1 0} ,则 A B
A. (2,) B. [2,) C. (,2] D. (,1]
2.已知复数 z 5
3 4i
,则复数 z 的虚部为
A. 4
5 B. 4
5
C. 4
5 i D. 4
5
i
3.已知双曲线C :
2 2
2 2
x y
a b
1(a 0,b 0) 的焦距为 8,一条渐近线方程为 y 3 x ,则C
A.
2 2
14 12
x y B.
2 2
112 4
x y C.
2 2
116 48
x y D.
2 2
148 16
x y
4.某学校组织学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组依次为
[20,40) ,[40,60) ,[60,80) ,[80,100].若低于 60 分的人数是 18 人,则该班的学生人
数是
A. 45
B. 48
C. 54
D. 60
5.已知l , m 是两条不同的直线, m 平面 ,则“ l // ”是“ l m ”的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.已知向量 a (1,2) ,b (3,1) ,则
A. a // b B. a b C. a // ( ab ) D. a ( a b)
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2 3
2 3
7.已知点(m,8) 在幂函数 f (x) (m 1)xn 的图像上,设a f () ,b f (ln π) ,c f ( n ) ,
则
A. b a c B. a b c C.b c a D.a c b
8.函数
48ln | |
( ) e ex x
x xf x
的图像大致为
A. B.
C. D.
9.一艘海轮从A 处出发,以每小时 24 海里的速度沿南偏东 40°的方向直线航行,30 分
钟后到达B 处,在C 处有一座灯塔,海
轮在A 处观察灯塔,其方向是南偏东 70°,
在 B 处观察灯塔,其方向是北偏东 65°,
那么B,C 两点间的距离是
A. 6 海里 B. 6 海里
C. 8 海里 D.8 海里
10.已知三棱锥 P ABC 的顶点都在球O 的球面上, PA , PB , AB 4 ,
CA CB ,面 PAB 面 ABC ,则球O 的表面积为
A. 10
3 . B. 25
6
C. 40
9
D. 50
3
2 14
10
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3
11.已知函数 f (x) Asin(x )(A 0, 0,0
2
) 的部分图像如图所示,则 f ( 3
4
)
A. 2 6
4
B. 2 6
4
C. 6 2
4
D. 6 2
2
12.已知函数 f ( x) 是定义域为 R 的偶函数,且满足 f ( x) f (2 x) ,当 x [0, 1] 时,
f (x) x ,则函数 F (x) f (x)
x 4 在区间[10, 9] 上零点的个数为
1 2x
A.9 B.10 C.18 D.20
二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。
13.直线mx ny 1 0(m 0, n 0) 过圆C : x2 y 2 2x 2 y 1 0 的圆心,则 1 1
m n
的最
小值是 .
14.从分别写有 1,2,3,4 的 4 张卡片中随机抽取 1 张,放回后再随机抽取 1 张,则抽
得的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数的概率为 .
15.给出以下式子: ○
① tan 25+tan 35+ tan 25 tan 35 ;② 2(sin 35 cos 25+ cos 35 cos 65) ;③1 tan15
1 tan15
.
其中,结果为 的式子的序号是 .
16.已知椭圆C :
2 2
2 2
x y
a b
=1(a b 0) 的左、右焦点分别为F1 ,F 2 ,椭圆的焦距为2c ,
过C 外一点 P(c,2c) 作线段 PF1 , PF2 分别交椭圆C 于点 A 、 B ,若| PA || AF1 | ,则
| PF2| .
| BF2 |
三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题,
每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:共 60 分。
17.(本题 12 分)
已知等差数列{an}的各项均为正数, Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,a1=1, a4a5 11 .
(1)求数列{an}的通项 an;
(2)设bn a n 3n ,求数列{b n} 的前 n 项和Tn
3
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18.(本题 12 分)
如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,A1A 丄平面 ABC,ACB 90 ,AC=CB=C1C=1, M,
N 分别是 AB,A1C 的中点.
(1)求证:直线 MN ⊥平面 ACB1;
(2)求点 C1 到平面 B1MC 的距离.
19.(本题 12 分)
某校共有学生 2000 人,其中男生 900 人,女生 1100 人,为了调查该校学生每周平均
体育锻炼时间,采用分层抽样的方法收集该校 100 名学生每周平均体育锻炼时间(单位:
小时).
(1)应抽查男生与女生各多少人?
(2)根据收集 100 人的样本数据,得到学生每周平均体育锻炼时间的频率分布表:
时间(小时) [0,1] (1,2] (2,3] (3,4] (4,5] (5,6]
频率 0.05 0.20 0.30 0.25 0.15 0.05
若在样本数据中有 38 名男学生平均每周课外体育锻炼时间超过 2 小时,请完成每周
平均体育锻炼时间与性别的列联表,并判断是否有 95%的把握认为“该校学生的每周平均
体育锻炼时间与性别有关”?
男生 女生 总计
每周平均体育锻炼时间不超过 2 小时
每周平均体育锻炼时间超过 2 小时
总计
附: K 2 n(ad bc)2
.
(a b)(c d )(a c)(b d )
P( K 2 k )
0 0.100 0.050 0.010 0.005
k0 2.706 3.841 6.635 7.879
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20.(本题 12 分)
已知 A 是抛物线 E :y 2 2 px(p 0) 上的一点,以点 A 和点 B(2, 0) 为直径两端点的圆
C 交直线 x 1 于 M , N 两点.
(1)若| MN | 2 ,求抛物线 E 的方程;
(2)若0 p 1 ,抛物线 E 与圆( x 5)2 y 2 9 在 x 轴上方的交点为 P ,Q ,点G 为
PQ 的中点, O 为坐标原点,求直线OG 斜率的取值范围.
21.(本题 12 分)
已知函数 f ( x) x2 (t 2)x t ln x 2 .
(1)若 x 2 是 f ( x) 的极值点,求 f ( x) 的极大值;
(2)求实数t 的范围,使得 f ( x) 2 恒成立.
(二)选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做,则按所做的
第一题计分。
22.[选修 4-4:坐标系与参数方程](本题 10 分)
在平面直角坐标系xOy中,直线l 的参数方程为
22 2
21 3
x t
t t
(t为参数),以坐标原
点O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆C 的极坐标方程为 2 4 cos 3 .
(1)求直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程;
(2)直线l 与圆C 交于 A , B 两点,点 P(2,1) ,求| PA | | PB | 的值.
23.[选修 4-5:不等式选讲](本题 10 分)
已知函数 f (x) | x a | .
(1)当a 1 时,求不等式 f ( x) | 2x 1 | 1 的解集;
(2)若函数 g( x) f ( x) | x 3 | 的值域为 A ,且[2,1] A ,求a 的取值范围.
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P
Q
武昌区 2020 届高三年级四月调研测试
文科数学参考答案及评分细则
一、选择题:
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C B A D A D B A A D A B
二、填空题:
13.4 14.
8
5 15.①②③ 16. 22
三、解答题:
17.(本题 12 分)
解:(1)由 a1=1, 1154 aa 得, 11)41)(31( dd ,所以
3
2d 或
2
3d (舍去).
所以,
3
12)1(1
ndnaan ,即
3
12 nan . ………….(4 分)
(2) 因为 13)12(33
12 nn
n nnb ,
所以 110 3)12(3533 n
n nT ,
于是 n
n nT 3)12(35333 21 .
以上两式相减,得 n
n nT 3 . ………….(12 分)
18.(本题 12 分)
解:(1)过点 M,N 分别作 BCMP
1CCNQ ,垂足分别为 P,Q.
则 NQMP // 且 NQMP ,所以 PQMN // .
因为 1// BCPQ , CBBC 11 ,所以 CBPQ 1 .
因为 1AA 平面 ABC , ACAA 1 ,
所以 11 // AACC ,所以 ACCC 1 .
因为 CBAC ,所以 AC 平面 11BBCC ,所以 PQAC ,
所以 PQ ⊥平面 ACB1.
因为 PQMN // ,所以 MN ⊥平面 ACB1. ……….(4 分)
(2)设 C1 到平面 B1MC 的距离为 h .
因为
2
1MP ,
2
1
11
CCBS ,所以
12
1
3
1
1111
MPSV CCBCCBM .
因为
2
2CM , 21 CB ,
2
6
1 MB ,所以
4
3
2
1
11
MBCMS CMB .
高三文科数学 第 2 页(共 4 页)
因为 CCBMMCBC VV 1111 ,所以 MPShS CCBMCB 111 3
1
3
1 ,解得
3
3h .
所以,点 C1 到平面 B1MC 的距离为
3
3 . …………(12 分)
19.(本题 12 分)
解:(1)因为,男生人数︰女生人数=900︰1100=9︰11,
所以, 男生人数为 4510020
9 人,女生人数为 5510020
11 人. ………..(4 分)
(2)由频率分布直方图可得到学生平均每周体育锻炼时间超过 2 小时的人数为:
(1 0.300 1 0.250 1 0.150 1 0.050) 100 75 人,
所以,平均每周体育锻炼时间超过 2 小时的女生人数为 37 人.
所以,每周体育锻炼时间与性别的列联表为:
男生 女生 总计
每周平均体育锻炼时间不超过 2 小时 7 18 25
每周平均体育锻炼时间超过 2 小时 38 37 75
总计 45 55 100
因为 841.3892.345557525
)3773818(100
))()()((
)( 22
2
dbcadcba
bcadnK ,
所以,有 95%的把握认为“该校学生的每周平均体育锻炼时间与性别有关”. …(12 分)
20.(本题 12 分)
解:(1)设 ),( 00 yxA ,且 0
2
0 2pxy ,则 ),2
2( 0
0 yxC .
圆C 的直径 2
0
2
0 )2(|| yxAB ,圆心C 到直线 1x 的距离为 |2||12
2| 00 xxd .
因为 2MN ,所以 222 )2
||()2
||( ABdMN ,
即
4
)2(
41
2
0
2
0
2
0 yxx ,将 0
2
0 2pxy 代入,
化简,得 0)42( 0 xp ,所以 2p .
所以,抛物线 E 的方程为 xy 42 . ………….(4 分)
(2)由
,9)5(
,2
22
2
yx
pxy 得 016)5(22 xpx ,且 0 .
设 ),( 11 yxP , ),( 22 yxQ ,则 )5(221 pxx , 1621 xx .
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所以 pxG 5 , 2
21
21 9)(2
2
2 ppxxpyyyG .
所以, )10(5
9 2
pp
ppkOG .
令 )54(5 ttp ,则 )4
11
5
1(112020
22
2
tttt
ttkOG ,
解得
2
20 OGk ,即直线OG 斜率的取值范围为 )2
2,0( . ………….(12 分)
21.(本题 12 分)
解:(1) x
ttxxf 22)( ,因为 2x 是 )(xf 的极值点,
所以 0224)2( ttf ,解得 4t .
此时
x
xx
x
xx
xxxf )2)(1(2462462)(
2 .
所以, )(xf 的极大值为 3)1( f . ………….(4 分)
(2)要使得 2)( xf 恒成立,即 0x 时, 0ln)2(2 xtxtx 恒成立.
设 xtxtxxg ln)2()( 2 ,则 x
txx
x
ttxxg )2)(1()2(2)( .
(ⅰ)当 0t 时,函数 )(xg 在 )1,0( 单调递减,在 ),1( 单调递增,
所以 01)1()( min tgxg ,解得 1t .
(ⅱ)当 02 t 时,函数 )(xg 在 )1,2( t 单调递减,在 )2,0( t 和 ),1( 单调递增,
此时 11)1( tg ,不合题意.
(ⅲ)当 2t 时, 0)1(2)(
2
x
xxg ,函数 )(xg 在 ),0( 单调递增,
此时 31)1( tg ,不合题意.
(ⅳ)当 2t 时,函数 )(xg 在 )2,1( t 单调递减,在 )1,0( 和 ),2( t 单调递增,
此时 31)1( tg ,不合题意.
综上所述,当 1t 时, 2)( xf 恒成立. ………….(12 分)
22.[选修 4-4:坐标系与参数方程](本题 10 分)
解:(1)直线l 的普通方程为 3 0x y ,
圆C 的直角坐标方程为 03422 xyx . ………….(5 分)
(2)联立直线l 的参数方程与圆C 的直角坐标方程可得
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03)2
22(4)2
21()2
22( 22 ttt ,
化简可得 0622 tt .
所以, 6|||||| 21 ttPBPA . ………….(10 分)
另解:将 3 yx 代入 4)2( 22 yx ,并整理得 06102 2 xx ,
所以 521 xx , 321 xx .
因为 |-2|2|| 1xPA , |2|2|| 2 xPB ,
所以 6]4)(2[(2|||| 2121 xxxxPBPA . ……………….(10 分)
23.[选修 4-5:不等式选讲](本题 10 分)
解:(1)当 1a 时, |1|)( xxf .
①当 1x 时,原不等式可化为 1 2 2x x ,解得 1x .
②当 11 2x 时,原不等式可化为 1 2 2x x ,解得 1x ,此时原不等式无解.
③当 1
2x 时,原不等式可化为 1 2x x ,解得 1x .
综上可知,原不等式的解集为 1x x 或 1x . ………….(5 分)
(2) ①当 3a 时,
.3,3
,3,32
,,3
)(
xa
xaax
axa
xg
所以函数 )(xg 的值域 }33|{ axaxA .
因为 A ]1,2[ ,所以
,13
,23
a
a 解得 5a .
②当 3a 时,
.,3
,33,32
,3,3
)(
axa
xax
xa
xg
所以函数 )(xg 的值域 }33|{ axaxA .
因为 A ]1,2[ ,所以
,13
,23
a
a 解得 1a .
综上可知, a 的取值范围是 ),1[]5,( . ………….(10 分)
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