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  • 2021-06-06 发布

2016年全国初中数学联赛(初三组)初赛试卷

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‎2016年全国初中数学联赛(初三组)初赛试卷 ‎(考试时间:‎2016年3月4日下午3:00—5:00)‎ 班级:: 姓名: 成绩: ‎ 题 号 一 二 三 四 五 合计 得 分 评卷人 复核人 考生注意:‎ ‎1、本试卷共五道大题,全卷满分140分;‎ ‎2、用圆珠笔、签字笔或钢笔作答;‎ ‎3、解题书写不要超出装订线;‎ ‎4、不能使用计算器。‎ 一、选择题(本题满分42分,每小题7分)‎ ‎1、已知实数a、b满足,则等于( ) ‎ A、 B、‎2 ‎‎ C、 D、5‎ ‎2、如图,点D、E分别在的边AB、AC上,BE、CD相交于点F,设四边形EADF、、、的面积分别为、、、,则与的大小关系为( )‎ A、 B、‎ F 第2题图 E D B A C O3‎ O1‎ 第2题图 B A C O2‎ C、 D、不能确定 ‎3、对于任意实数a,b,c,d,有序实数对(a,b)与(c,d)之间的运算“”定义为: .如果对于任意实数m,n都有,那么为( )‎ A、(0,1) B、(1,0) C、(-1,0) D、(0,-1)‎ ‎4、如图,已知三个等圆⊙、⊙、⊙有公共点O,点A、B、C是这些圆的其他交点,则点O一定是的( )‎ A、外心 B、内心 C、垂心 D、重心 ‎5、已知关于x的方程有四个根,则k的范围为( )‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎6、设在一个宽度为w的小巷内搭梯子,梯子的脚位于P点,小巷两边的墙体垂直于水平的地面。将梯子的顶端放于一堵墙的Q点时,Q离开地面的高度为k,梯子的倾斜角为,将该梯子的顶端放于另一堵墙的R点时,R离开地面的高度为h,梯子的倾斜角为,则小巷的宽度w等于( )‎ A、h B、k C、 D、‎ 二、填空题(本大题满分28分,每小题7分)‎ ‎7、化简的值为 .‎ ‎8、如果关于x的实系数一元二次方程有两个实数根、,那么的最小值是 .‎ ‎9、设四位数满足,则这样的四位数有 个.‎ ‎10、如图,MN是⊙O的直径,,点A在⊙O上,,B为的中点,P是直径MN上一动点,则的最小值为 .‎ 三、(本大题满分20分)‎ ‎11、设实数a,b,c满足:且,求的值。‎ O M N P A 四、(本大题满分25分)‎ ‎12、已知抛物线与x轴相交于两点A、B(点A在x轴的正半轴上,点B在x轴的负半轴上),与y轴交于点C.‎ ‎(1)求m的取值范围;‎ ‎(2)若,在该抛物线对称轴右边图像上求一点P的坐标,使得.‎ 五、(本大题满分25分)‎ ‎13、如图,等腰三角形ABC中,,D,E分别在AB,AC边上,且.P在AB的延长线上,QR分别在线段CE、DB上,且,连结直线PQ与BC交于点L,QR与CD,BE分别交于点M,N.求证:‎ ‎(1);‎ L Q M E R N P D B A ‎(2)‎ ‎2016年全国初中数学联赛初赛试卷 ‎(考试时间:‎2016年3月13日下午3:00—5:00)‎ 一、选择题(本题满分42分,每小题7分)‎ ‎1、C. 2、C. 3、D. 4、C. 5、B. 6、A.‎ 二、填空题(本大题满分28分,每小题7分)‎ ‎7、. 8、18. 9、3. 10、.‎ 三、(本大题满分20分)‎ ‎11、解:由14(a2+b2+c2)=(a+2b+‎3c)2,‎ 得‎13a2+10b2+‎5c2-4ab-‎6ac-12bc=0, (5分)‎ 配方得(‎3a-c)2+(‎2a-b)2+(3b-‎2c)2=0, (10分)‎ 所以‎3a-c=0,‎2a-b=0,3b-‎2c=0,‎ 即c=‎3a,b=‎2a. (15分)‎ 代入得 ==. (20分)‎ 解法二:由14(a2+b2+c2)=(a+2b+‎3c)2,‎ 得‎13a2+10b2+‎5c2-4ab-‎6ac-12bc=0, (5分)‎ ‎5[c2-2()c+()2]+‎13a2+10b2-4ab -=0,‎ ‎5(c-)2+a2+b2-ab=0,‎ 所以5(c-)2+(‎2a-b)2=0, (10分)‎ 由此得,c-=0,‎2a-b=0,‎ 解得b=‎2a,c=‎3a. (15分)‎ 代入得 ==. (20分)‎ 四、(本大题满分25分)‎ ‎12、解:(1)由已知得,-x2+2(m+1)x+m+3=0有两个不相同的实数解,‎ 所以D=[2(m+1)]2+4(m+3)= ‎4m2+‎12m+16=(‎2m+3) 2+3>0,‎ 可知m是任意实数. (5分)‎ 又因为点A在x轴的负半轴上,点B在x轴的正半轴上.‎ 所以方程,-x2+2(m+1)x+m+3=0的两根一正一负,‎ 所以- (m+3)<0,解得m>-3.‎ 所以所求m的取值范围是m>-3. (10分)‎ ‎(2)解法一:设点A(a,0),B(b,0),a>0,b<0,‎ 则a=-3b,且a+b=2(m+1),ab=-(m+3),‎ 解得m=0.‎ 函数解析式为y=-x2+2x +3. (15分)‎ 所以A(3,0),B(-1,0),C(0,3)。‎ 由∠PCO=∠BCO可知BC与PC关于直线OC对称。‎ 作B关于OC的对称点B′,则B′(1,0),‎ 设直线PC是一次函数y=kx+b的图象,则 ‎ ,解得 。‎ 即PC是一次函数y=-3x+3的图象。‎ 把y=-3x+3代入y=-x2+2x +3,‎ 得-3x+3=-x2+2x +3, (20分)‎ 解得x=0,x=5,‎ 当x=0时,y=3,此时点P与点C重合,不合题意,舍去;‎ 当x=5时,y=-12,此时点P的坐标为(5,-12).‎ 故抛物线对称轴右边图象上有一点P(5,-12),使得∠PCO=∠BCO.‎ ‎ (25分)‎ 解法二:设点A(a,0),B(b,0),a>0,b<0,‎ 则a=-3b,且a+b=2(m+1),ab=-(m+3),‎ 解得m=0.‎ 函数解析式为y=-x2+2x +3. (15分)‎ 所以A(3,0),B(-1,0),C(0,3)。‎ 设P点的坐标为(c,-c2+‎2c +3)(c>1).‎ 当1<c≤2时,∠PCO≥90°>∠BCO.‎ 当c>2时, tan∠PCO=,‎ 又tan∠BCO=,由∠PCO=∠BCO得tan∠PCO=tan∠BCO.‎ 即=, (20分)‎ 解得c=5.‎ 当x=5时,y=-12,此时点P的坐标为(5,-12).‎ 故抛物线对称轴右边图象上有一点P(5,-12),使得∠PCO=∠BCO.‎ ‎ (25分)‎ 五、(本大题满分25分)‎ ‎13、证明:‎ ‎(1)过P作PH平行于AC交直线BC于点H,连结PH,BH。‎ 则∠PHB=∠ACB=∠ABC=∠PBH,‎ 所以HP=BP=CQ。 (5分)‎ 又∠HLP=∠CLQ,∠PHL=∠QCL,‎ 所以△HLP≌△CLQ.‎ 所以PL=LQ. (10分)‎ 法二:过Q作QX∥BC交AB于点X,‎ 所以∠AQX=∠ACB=∠ABC=∠AXQ,‎ 所以AX=AQ。‎ 故BX=CQ=BP。 (5分)‎ 又因为QX∥LB,‎ 所以PL=LQ. (10分)‎ ‎(2)设直线QR交直线DE于点S,交直线BC于点T,‎ 则=,=,‎ 由DR=CQ,RB=QE,‎ 所以=,即=,‎ 又=,=,‎ 所以=,因此=,‎ 即=。‎ 由CD=BE得CM=EN. (20分)‎ 取DB,EB中点F,G,连结FG,分别交BE、CD、QR于U、V、K,‎ 因为FR=GQ,由(1)的结论知RK=QK。‎ 设BE与CD交于点O,则△OUV为等腰三角形。‎ 由CM=EN得NU=MV.‎ 由(1)的结论知NK=MK。‎ 所以MQ=NR。 (25分)‎