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- 2021-06-06 发布
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2016年全国初中数学联赛(初三组)初赛试卷
(考试时间:2016年3月4日下午3:00—5:00)
班级:: 姓名: 成绩:
题 号
一
二
三
四
五
合计
得 分
评卷人
复核人
考生注意:
1、本试卷共五道大题,全卷满分140分;
2、用圆珠笔、签字笔或钢笔作答;
3、解题书写不要超出装订线;
4、不能使用计算器。
一、选择题(本题满分42分,每小题7分)
1、已知实数a、b满足,则等于( )
A、 B、2 C、 D、5
2、如图,点D、E分别在的边AB、AC上,BE、CD相交于点F,设四边形EADF、、、的面积分别为、、、,则与的大小关系为( )
A、 B、
F
第2题图
E
D
B
A
C
O3
O1
第2题图
B
A
C
O2
C、 D、不能确定
3、对于任意实数a,b,c,d,有序实数对(a,b)与(c,d)之间的运算“”定义为: .如果对于任意实数m,n都有,那么为( )
A、(0,1) B、(1,0) C、(-1,0) D、(0,-1)
4、如图,已知三个等圆⊙、⊙、⊙有公共点O,点A、B、C是这些圆的其他交点,则点O一定是的( )
A、外心 B、内心 C、垂心 D、重心
5、已知关于x的方程有四个根,则k的范围为( )
A、 B、 C、 D、
6、设在一个宽度为w的小巷内搭梯子,梯子的脚位于P点,小巷两边的墙体垂直于水平的地面。将梯子的顶端放于一堵墙的Q点时,Q离开地面的高度为k,梯子的倾斜角为,将该梯子的顶端放于另一堵墙的R点时,R离开地面的高度为h,梯子的倾斜角为,则小巷的宽度w等于( )
A、h B、k C、 D、
二、填空题(本大题满分28分,每小题7分)
7、化简的值为 .
8、如果关于x的实系数一元二次方程有两个实数根、,那么的最小值是 .
9、设四位数满足,则这样的四位数有 个.
10、如图,MN是⊙O的直径,,点A在⊙O上,,B为的中点,P是直径MN上一动点,则的最小值为 .
三、(本大题满分20分)
11、设实数a,b,c满足:且,求的值。
O
M
N
P
A
四、(本大题满分25分)
12、已知抛物线与x轴相交于两点A、B(点A在x轴的正半轴上,点B在x轴的负半轴上),与y轴交于点C.
(1)求m的取值范围;
(2)若,在该抛物线对称轴右边图像上求一点P的坐标,使得.
五、(本大题满分25分)
13、如图,等腰三角形ABC中,,D,E分别在AB,AC边上,且.P在AB的延长线上,QR分别在线段CE、DB上,且,连结直线PQ与BC交于点L,QR与CD,BE分别交于点M,N.求证:
(1);
L
Q
M
E
R
N
P
D
B
A
(2)
2016年全国初中数学联赛初赛试卷
(考试时间:2016年3月13日下午3:00—5:00)
一、选择题(本题满分42分,每小题7分)
1、C. 2、C. 3、D. 4、C. 5、B. 6、A.
二、填空题(本大题满分28分,每小题7分)
7、. 8、18. 9、3. 10、.
三、(本大题满分20分)
11、解:由14(a2+b2+c2)=(a+2b+3c)2,
得13a2+10b2+5c2-4ab-6ac-12bc=0, (5分)
配方得(3a-c)2+(2a-b)2+(3b-2c)2=0, (10分)
所以3a-c=0,2a-b=0,3b-2c=0,
即c=3a,b=2a. (15分)
代入得
==. (20分)
解法二:由14(a2+b2+c2)=(a+2b+3c)2,
得13a2+10b2+5c2-4ab-6ac-12bc=0, (5分)
5[c2-2()c+()2]+13a2+10b2-4ab -=0,
5(c-)2+a2+b2-ab=0,
所以5(c-)2+(2a-b)2=0, (10分)
由此得,c-=0,2a-b=0,
解得b=2a,c=3a. (15分)
代入得
==. (20分)
四、(本大题满分25分)
12、解:(1)由已知得,-x2+2(m+1)x+m+3=0有两个不相同的实数解,
所以D=[2(m+1)]2+4(m+3)= 4m2+12m+16=(2m+3) 2+3>0,
可知m是任意实数. (5分)
又因为点A在x轴的负半轴上,点B在x轴的正半轴上.
所以方程,-x2+2(m+1)x+m+3=0的两根一正一负,
所以- (m+3)<0,解得m>-3.
所以所求m的取值范围是m>-3. (10分)
(2)解法一:设点A(a,0),B(b,0),a>0,b<0,
则a=-3b,且a+b=2(m+1),ab=-(m+3),
解得m=0.
函数解析式为y=-x2+2x +3. (15分)
所以A(3,0),B(-1,0),C(0,3)。
由∠PCO=∠BCO可知BC与PC关于直线OC对称。
作B关于OC的对称点B′,则B′(1,0),
设直线PC是一次函数y=kx+b的图象,则
,解得 。
即PC是一次函数y=-3x+3的图象。
把y=-3x+3代入y=-x2+2x +3,
得-3x+3=-x2+2x +3, (20分)
解得x=0,x=5,
当x=0时,y=3,此时点P与点C重合,不合题意,舍去;
当x=5时,y=-12,此时点P的坐标为(5,-12).
故抛物线对称轴右边图象上有一点P(5,-12),使得∠PCO=∠BCO.
(25分)
解法二:设点A(a,0),B(b,0),a>0,b<0,
则a=-3b,且a+b=2(m+1),ab=-(m+3),
解得m=0.
函数解析式为y=-x2+2x +3. (15分)
所以A(3,0),B(-1,0),C(0,3)。
设P点的坐标为(c,-c2+2c +3)(c>1).
当1<c≤2时,∠PCO≥90°>∠BCO.
当c>2时, tan∠PCO=,
又tan∠BCO=,由∠PCO=∠BCO得tan∠PCO=tan∠BCO.
即=, (20分)
解得c=5.
当x=5时,y=-12,此时点P的坐标为(5,-12).
故抛物线对称轴右边图象上有一点P(5,-12),使得∠PCO=∠BCO.
(25分)
五、(本大题满分25分)
13、证明:
(1)过P作PH平行于AC交直线BC于点H,连结PH,BH。
则∠PHB=∠ACB=∠ABC=∠PBH,
所以HP=BP=CQ。 (5分)
又∠HLP=∠CLQ,∠PHL=∠QCL,
所以△HLP≌△CLQ.
所以PL=LQ. (10分)
法二:过Q作QX∥BC交AB于点X,
所以∠AQX=∠ACB=∠ABC=∠AXQ,
所以AX=AQ。
故BX=CQ=BP。 (5分)
又因为QX∥LB,
所以PL=LQ. (10分)
(2)设直线QR交直线DE于点S,交直线BC于点T,
则=,=,
由DR=CQ,RB=QE,
所以=,即=,
又=,=,
所以=,因此=,
即=。
由CD=BE得CM=EN. (20分)
取DB,EB中点F,G,连结FG,分别交BE、CD、QR于U、V、K,
因为FR=GQ,由(1)的结论知RK=QK。
设BE与CD交于点O,则△OUV为等腰三角形。
由CM=EN得NU=MV.
由(1)的结论知NK=MK。
所以MQ=NR。 (25分)
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