2021版高考数学一轮复习第九章平面解析几何9-4直线与圆圆与圆的位置关系练习苏教版 8页

- 1 - 9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系 考点一 直线与圆的位置关系 1.已知点 M(a,b)在圆 O:x2+y2=1 外,则直线 ax+by=1 与圆 O 的位置关系是 ( ) A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定 2.若直线 x+my=2+m 与圆 x2+y2-2x-2y+1=0 相交,则实数 m 的取值范围为( ) A.(-∞,+∞) B.(-∞,0) C.(0,+∞) D.(-∞,0)∪(0,+∞) 3.圆 x2+y2-2x+4y=0 与直线 2tx-y-2-2t=0(t∈R)的位置关系为 ( ) A.相离 B.相切 C.相交 D.以上都有可能 4.圆(x-3)2+(y-3)2=9 上到直线 3x+4y-11=0 的距离等于 1 的点的个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】1.选 B.因为 M(a,b)在圆 O:x2+y2=1 外,所以 a2+b2>1,而圆心 O 到直线 ax+by=1 的距离 d= = <1,故直线与圆 O 相交. 2.选 D.圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=1, 圆心 C(1,1),半径 r=1.因为直线与圆相交,所以 d= 0 或 m<0. 3.选 C.直线 2tx-y-2-2t=0 恒过点(1,-2),因为 12+(-2)2-2×1+4×(-2)=-5<0,所以点(1,-2)在 圆 x2+y2-2x+4y=0 内,直线 2tx-y-2-2t=0 与圆 x2+y2-2x+4y=0 相交. 4.选 C.如图所示,因为圆心到直线的距离为 =2,又因为圆的半径为 3,所 以直线与圆相交,故圆上到直线的距离为 1 的点有 3 个. 判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法:利用 d 与 r 的关系. (2)代数法:联立方程之后利用Δ判断. - 2 - (3)点与圆的位置关系法:若直线恒过定点且定点在圆内,可判断直线与圆相交. 上述方法中最常用的是几何法,点与圆的位置关系法适用于动直线问题. 【秒杀绝招】 第 3 题中,直线 2tx-y-2-2t=0 恒过点(1,-2),且该点在圆内,所以直线与圆相 交. 考点二 圆与圆的位置关系 【典例】1.(2020·郑州模拟)已知圆 C1:(x+2a)2+y2=4 和圆 C2:x2+(y-b)2=1 只有一条公切线,若 a,b∈R 且 ab≠0,则 + 的最小值为 ( ) A.2 B.4 C.8 D.9 2.已知圆 C:(x-3)2+(y-4)2=1 与圆 M 关于 x 轴对称,Q 为圆 M 上的动点,当 Q 到直线 y=x+2 的距 离最小时,Q 的横坐标为 ( ) A.2- B.2± C.3- D.3± 3.已知☉O:x2+y2=5 与☉O1:(x-a)2+y2=r2(a>0)相交于 A、B 两点,若两圆在 A 点处的切线互相垂 直,且|AB|=4,则☉O1 的方程为 ( ) A.(x-4)2+y2=20 B.(x-4)2+y2=50 C.(x-5)2+y2=20 D.(x-5)2+y2=50 【解题导思】 序号 联想解题 1 由两圆只有一条公切线联想到两圆相内切 2 由两圆关于 x 轴对称联想到圆心关于 x 轴对称 3 由两圆相交于 A、B,且|AB|=4 联想到相交弦的直线方程 【解析】1.选 D.由题意可知,圆 C1 的圆心为(-2a,0),半径为 2,圆 C2 的圆心为(0,b),半径为 1, 因为两圆只有一条公切线,所以两圆内切,所以 =2-1,即 4a2+b2=1.所以 + = ·(4a2+b2)= - 3 - 5+ + ≥5+2 =9,当且仅当 = ,且 4a2+b2=1,即 a2= ,b2= 时等号成立, 所以 + 的最小值为 9. 2.选 C.圆 M 的方程为:(x-3)2+(y+4)2=1,过 M(3,-4)且与直线 y=x+2 垂直的直线方程为 y=-x-1, 代入(x-3)2+(y+4)2=1,得 x=3± ,故当 Q 到直线 y=x+2 的距离最小时,Q 的横坐标为 x=3- . 3.选 C.依题意,得 O(0,0),R= ,O1(a,0),半径为 r,两圆在 A 点处的切线互相垂直,则由切线 的性质定理知:两切线必过两圆的圆心,如图, |OC|= =1,OA⊥O1A,OO1⊥AB, 所以由直角三角形射影定理得: |OA|2=|OC|×|OO1|, 即 5=1×|OO1|,所以|OO1|=5, r=|AO1|= =2 , 由 =5, 得 a=5,所以,圆 O1 的方程为:(x-5)2+y2=20. 1.判断两圆的位置关系时常用几何法,即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系,一 般不采用代数法. 2.若两圆相交,则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去 x2,y2 项得到. - 4 - 3.两圆公共弦长,在其中一圆中,由弦心距 d,半弦长 ,半径 r 所在线段构成直角三角形,利用 勾股定理求解. 4.两圆公共弦的垂直平分线过两圆的圆心. 已知两圆 C1:x2+y2-2x-6y-1=0 和 C2:x2+y2-10x-12y+45=0. (1)求证:圆 C1 和圆 C2 相交. (2)求圆 C1 和圆 C2 的公共弦所在直线的方程和公共弦长. 【解析】(1)圆 C1 的圆心为 C1(1,3),半径 r1= ,圆 C2 的圆心为 C2(5,6),半径 r2=4, 两圆圆心距 d=|C1C2|=5,r1+r2= +4,|r1-r2|=4- , 所以|r1-r2|