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- 2021-06-09 发布
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9.2 用样本估计总体
9.2.1 总体取值规律的估计 9.2.2 总体百分位数的估计
课后篇巩固提升
基础达标练
1.某班学生在一次数学考试中各分数段以及人数的成绩分布为:[0,80),2人;[80,90),6人;[90,100),4人;[100,110),8人;[110,120),12人;[120,130),5人;[130,140),6人;[140,150),2人.则分数在[100,130)中的频数以及频率分别为( )
A.25,0.56 B.20,0.56
C.25,0.50 D.13,0.29
解析由题意知该班总人数为2+6+4+8+12+5+6+2=45,其中成绩在[100,130)的人数为8+12+5=25,故分数在[100,130)中的频数为25,频率为≈0.56.
答案A
2.为了了解某学校学生的身体发育情况,抽查了该校100名高中男生的体重情况,根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所示.根据此图,估计该校2 000名高中男生中体重不小于70.5 kg的人数为( )
A.300 B.360
C.420 D.450
解析由题中频率分布直方图,得这100名高中男生体重不小于70.5 kg的频率是(0.04+0.035+0.015)×2=0.18,所以估计该校2 000名高中男生中体重不小于70.5 kg的频率是0.18,则估计该校2 000名高中男生中体重不小于70.5 kg的人数为2 000×0.18=360.
答案B
3.(多选题)某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2017年1月至2019年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图.
根据该折线图,下列结论正确的是( )
A.年接待游客量逐年增加
B.月接待游客量逐月增加
C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月
D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳
解析在A中,年接待游客量逐年增加,故A正确;
在B中,月接待游客量8月份后开始减少,虽有所反弹,但仍是减少的趋势,故B错误;
在C中,各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月,故C正确;
在D中,各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳,故D正确.
答案ACD
4.如图是某学校学生体重的频率分布直方图,已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3,第2小组的频数为10,则抽取的学生人数是 .
解析由图可得前3组的频率和为1-(0.037 5+0.012 5)×5=0.75,∴第2小组的频率为0.75×=0.25,∴抽取的学生人数是=40.
答案40
5.为了帮助班上的两名贫困生解决经济困难,班上的20名同学捐出了自己的零花钱.他们捐款数(单位:元)如下:19,20,25,30,24,23,25,29,27,27,28,28,26,27,21,30,20,19,22,20.班主任老师准备将这组数据制成频率分布直方图,以表彰他们的爱心.制图时先计算最大值与最小值的差是 .若取组距为2,则应分成 组;若第一组的起点定为18.5,则在[26.5,28.5)内的频数为 .
解析由题意知,极差为30-19=11;因为组距为2,=5.5不是整数,所以取6组;捐款数落在[26.5,28.5)内的有27,27,28,28,27共5个,因此频数为5.
答案11 6 5
6.统计某校1 000名学生的数学测试成绩,得到样本的频率分布直方图如图所示,规定不低于60分为及格,不低于80分为优秀,则估计及格人数是 ;优秀率是 .
解析及格率是1-(0.005+0.015)×10=0.8,
所以估计及格人数是1 000×0.8=800,优秀率是(0.01+0.01)×10=0.2=20%.
答案800 20%
7.随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数(单位:件),获得数据如下:
30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36.
根据上述数据得到样本的频率分布表如下:
分组
频数
频率
[25,30]
3
0.12
(30,35]
5
0.20
(35,40]
8
0.32
(40,45]
n1
f1
(45,50]
n2
f2
(1)确定样本频率分布表中n1,n2,f1和f2的值;
(2)根据上述频率分布表,画出样本频率分布直方图.
解(1)根据已知数据统计出n1=7,n2=2;
计算得f1=0.28,f2=0.08.
(2)由于组距为5,用得各组对应的值分别为0.024,0.040,0.064,0.056,0.016.
画出样本频率分布直方图如下:
能力提升练
1.(2020安徽高三二模)为实现国民经济新“三步走”的发展战略目标,国家加大了扶贫攻坚的力度.某地区在2015年以前的年均脱贫率(脱离贫困的户数占当年贫困户总数的比)为70%.2015年开始,全面实施“精准扶贫”政策后,扶贫效果明显提高,其中2019年度实施的扶贫项目,各项目参加户数占比(参加该项目户数占2019年贫困户总数的比)及该项目的脱贫率见下表:
实施项目
种植业
养殖业
工厂就业
服务业
参加用户比
40%
40%
10%
10%
脱贫率
95%
95%
90%
90%
那么2019年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的( )
A.倍 B.倍 C.倍 D.倍
解析设贫困户总数为a,脱贫率
p==94%,
所以.故2019年的年均脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的倍.
答案B
2.(2019山东高三二模)港珠澳大桥于2018年10月24日正式通车,它是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程,桥隧全长55 km.桥面为双向六车道高速公路,大桥通行限速100 km/h,现对大桥某路段上1 000辆汽车的行驶速度进行抽样调查.画出频率分布直方图(如图),根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度在区间[85,90)内的车辆数和行驶速度超过90 km/h的频率分别为( )
A.300 0.25 B.300 0.35
C.60 0.25 D.60 0.35
解析由频率分布直方图得,在此路段上汽车行驶速度在区间[85,90)的频率为0.06×5=0.3,∴在此路段上汽车行驶速度在区间[85,90)内的车辆数为0.3×1 000=300.
行驶速度超过90 km/h的频率为(0.05+0.02)×5=0.35.
答案B
3.某工厂对一批产品进行了抽样检测,下图是根据抽样检测后的产品净重(单位:克)数据绘制的频率分布直方图,其中产品净重的范围是[96,106],样本数据分组为[96,98),[98,100),[100,102),[102,104),[104,106].已知样本中产品净重小于100克的个数是36,则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是( )
A.90 B.75 C.60 D.45
解析设样本容量是n,产品净重小于100克的概率为(0.050+0.100)×2=0.300,已知样本中产品净重小于100克的个数是36,则=0.300,所以n=120.净重大于或等于98克并且小于104克的产品的频率为(0.100+0.150+0.125)×2=0.75.所以样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是120×0.75=90.
答案A
4.从某小学随机抽取100名同学,将他们的身高(单位:cm)数据绘制成频率分布直方图(如图).由图中数据可知a= .若要从身高在[120,130),[130,140),[140,150]三组内的学生中,用分层随机抽样的方法抽取18人参加一项活动,则从身高在[140,150]内的学生中抽取的人数应为 .
解析所有小矩形的面积和等于10×(0.005+0.010+0.020+a+0.035)=1,解得a=0.030;100名同学中,身高在[120,130)内的学生数是10×0.030×100=30,身高在[130,140)内的学生数是10×0.020×100=20,身高在[140,150]内的学生数是10×0.010×100=10,则三组内的总学生数是30+20+10=60,所以从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为10×=10×=3.
答案0.030 3
素养培优练
从高一学生中抽取50名参加调研考试,成绩的分组及各组的频数如下(单位:分):
[40,50),2;[50,60),3;[60,70),10;[70,80),15;[80,90),12;[90,100],8.
(1)列出样本的频率分布表;
(2)画出频率分布直方图;
(3)估计成绩在[70,80)分的学生所占总体的百分比;
(4)估计成绩在[70,100]分的学生所占总体的百分比.
解(1)频率分布表如下:
成绩分组
频数
频率
[40,50)
2
0.04
[50,60)
3
0.06
[60,70)
10
0.20
[70,80)
15
0.30
[80,90)
12
0.24
[90,100]
8
0.16
合计
50
1.00
(2)由题意知组距为10,取小矩形的高为,计算得到如下的数据表:
成绩分组
频率
小矩形高
[40,50)
0.04
0.004
[50,60)
0.06
0.006
[60,70)
0.2
0.02
[70,80)
0.3
0.03
[80,90)
0.24
0.024
[90,100]
0.16
0.016
合计
1.00
根据表格画出如下的频率分布直方图:
(3)由频率分布直方图,可估计成绩在[70,80)分的学生所占总体的百分比是0.03×10=0.3=30%.
(4)估计成绩在[70,100]分的学生所占总体的百分比是0.3+0.24+0.16=0.7=70%.
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