2021届高考数学一轮复习第八章立体几何与空间向量第1节空间几何体的结构三视图和直观图课件新人教A版 35页

第 1 节　空间几何体的结构、三视图和直观图 考试要求　 1. 认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构； 2. 能画出简单空间图形 ( 长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合 ) 的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图； 3. 会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式 . 知 识 梳 理 1. 空间几何体的结构特征 (1) 多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 互相 _______ 且 _______ 多边形 互相 _______ 且 _______ 侧棱 _______ _______ 相交于 _______ ， 但不一定相等 延长线交 于 _______ 侧面 形状 _______ _______ _______ _______ _______ 平行 全等 平行 相似 平行且相等 一点 一点 平行四边形 三角形 梯形 (2) 旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 母线 互相平行且相等， _________ 于底面 相交于 _______ 延长线交 于 _______   轴截面 _______ _______ ______ __________ _______ 侧面展开图 _______ _______ _______   一点 一点 矩形 等腰三角形 等腰梯形 圆 矩形 扇形 扇环 垂直 2. 直观图 空间几何体的直观图常用 ___________ 画法来画，其规则是： (1) 原图形中 x 轴、 y 轴、 z 轴两两垂直，直观图中， x ′ 轴、 y ′ 轴的夹角为 ______________ ， z ′ 轴与 x ′ 轴、 y ′ 轴所在平面 _______ . (2) 原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别 __________ 坐标轴 . 平行于 x 轴和 z 轴的线段在直观图中保持原长度 _______ ，平行于 y 轴的线段长度在直观图中变为原来的 _______ . 斜二测 45°( 或 135°) 垂直 平行于 不变 一半 3. 三视图 (1) 几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的 _______ 方、正左方、 _______ 方观察几何体画出的轮廓线 . (2) 三视图的画法 ① 基本要求：长对正， ___________ ，宽相等 . ② 在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线 . 正前 正上 高平齐 [ 常用结论与微点提醒 ] 1. 常见旋转体的三视图 (1) 球的三视图都是半径相等的圆 . (2) 水平放置的圆锥的正视图和侧视图均为全等的等腰三角形 . (3) 水平放置的圆台的正视图和侧视图均为全等的等腰梯形 . (4) 水平放置的圆柱的正视图和侧视图均为全等的矩形 . 2. 在绘制三视图时，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被遮挡的部分的轮廓线用虚线表示出来，即 “ 眼见为实、不见为虚 ”. 在三视图的判断与识别中要特别注意其中的虚线 . 诊 断 自 测 1. 判断下列结论正误 ( 在括号内打 “√” 或 “×” ) (1) 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱 .( 　　 ) (2) 有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥 .( 　　 ) (3) 用斜二测画法画水平放置的 ∠ A 时，若 ∠ A 的两边分别平行于 x 轴和 y 轴，且 ∠ A ＝ 90° ，则在直观图中， ∠ A ＝ 45°.( 　　 ) (4) 正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同 .( 　　 ) 解析　 (1) 反例：由两个平行六面体上下组合在一起的图形满足条件，但不是棱柱 . (2) 反例：如图所示的图形满足条件但不是棱锥 . (3) 用斜二测画法画水平放置的 ∠ A 时，把 x ， y 轴画成相交成 45° 或 135° ，平行于 x 轴的线段还平行于 x 轴，平行于 y 轴的线段还平行于 y 轴，所以 ∠ A 可能为 45° 也可能为 135°. (4) 球的三视图均相同，而圆锥的正视图和侧视图相同，且为等腰三角形， 其俯视图为圆心和圆，正方体的三视图不一定相同 . 答案　 (1) × 　 (2) × 　 (3) × 　 (4) × 2. ( 新教材必修第二册 P112T5 改编 ) 一个菱形的边长为 4 cm ，一内角为 60° ，用斜二测画法画出的这个菱形的直观图的面积为 ( 　　 ) 答案　 B 3. ( 老教材必修 2P10B 组 T1 改编 ) 如图，长方体 ABCD － A ′ B ′ C ′ D ′ 被截去一部分，其中 EH ∥ A ′ D ′. 剩下的几何体是 ( 　　 ) A. 棱台 　　 B. 四棱柱 C. 五棱柱 　　 D. 六棱柱 解析 　由几何体的结构特征，剩下的几何体为五棱柱 . 答案 　 C 4. (2020· 衡水中学联考 ) 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题： “ 今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何？ ” 其意思为： “ 今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽 3 丈、长 4 丈，上棱长 2 丈，高 2 丈，问：它的体积是多少？ ” 已知该楔体的正视图和俯视图如图中粗实线所示，则该楔体的侧视图的周长为 ( 　　 ) 答案　 C 5. (2019· 济宁一中月考 ) 如图为某个几何体的三视图，根据三视图可以判断这个几何体为 ( 　　 ) A. 圆锥 B. 三棱椎 C. 三棱柱 D . 三棱台 解析　 三由视图可知，该几何体是一个横放的三棱柱，故选 C. 答案　 C 6. (2018· 全国 Ⅲ 卷 ) 中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来 . 构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头 . 若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是 ( 　　 ) 解析　 由题意知，在咬合时带卯眼的木构件中，从俯视方向看，榫头看不见，所以是虚线，结合榫头的位置知选 A. 答案 　 A 考点一　空间几何体的结构特征 【例 1 】 (1) 给出下列命题： ① 在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； ② 直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥； ③ 棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等 . 其中正确命题的个数是 ( 　　 ) A.0 B.1 C.2 D.3 (2) 给出下列命题： ① 棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形； ② 在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱； ③ 存在每个面都是直角三角形的四面体； ④ 棱台的侧棱延长后交于一点 . 其中正确命题的序号是 ________. 解析 　 (1) ① 不一定，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线； ② 不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转一周形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体； ③ 错误，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等 . (2) ① 不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等； ② 正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面； ③ 正确，如图，正方体 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 中的三棱锥 C 1 － ABC ，四个面都是直角三角形； ④ 正确，由棱台的概念可知 . 答案　 (1)A 　 (2) ②③④ 规律方法　 1. 关于空间几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种空间几何体的概念，要善于通过举反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只需举一个反例 . 2. 圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意用好轴截面中各元素的关系 . 3. 既然棱 ( 圆 ) 台是由棱 ( 圆 ) 锥定义的，所以在解决棱 ( 圆 ) 台问题时，要注意 “ 还台为锥 ” 的解题策略 . 【训练 1 】 下列命题正确的是 ( 　　 ) A. 两个面平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台 B. 两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C. 以直角梯形的一条直角腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆台 D. 用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形 解析　 如图所示，可排除 A ， B 选项 . 只有截面与圆柱的母线平行或垂直时，截得的截面才为矩形或圆，否则为椭圆或椭圆的一部分 . 答案　 C 考点二　空间几何体的三视图　 多维探究 角度 1 　由几何体的直观图判断三视图 答案　 B 规律方法　 由直观图确定三视图，一要根据三视图的含义及画法和摆放规则确认 . 二要熟悉常见几何体的三视图 . 角度 2 　由三视图判断几何体 【例 2 － 2 】 (2018· 全国 Ⅰ 卷 ) 某圆柱的高为 2 ，底面周长为 16 ，其三视图如图 . 圆柱表面上的点 M 在正视图上的对应点为 A ，圆柱表面上的点 N 在侧视图上的对应点为 B ，则在此圆柱侧面上，从 M 到 N 的路径中，最短路径的长度为 ( 　　 ) 答案　 B 规律方法　 由三视图还原到直观图的思路 (1) 根据俯视图确定几何体的底面 . (2) 根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置 . (3) 确定几何体的直观图形状 . 【训练 2 】 (1) ( 角度 1) 如图所示，在正方体 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 中， E 为棱 BB 1 的中点，过点 A ， E ， C 1 的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的侧视图为 ( 　　 ) 解析　 (1) 如图所示，过点 A ， E ， C 1 的截面为 AEC 1 F ，则剩余几何体的侧视图为选项 C 中的图形 . 连接 MN ，则 M 到 N 的路径中，最短路径的长度为 MN ，在 △ OMN 中，由余弦定理得 答案　 (1)C 　 (2)D 考点三　空间几何体的直观图 【例 3 】 已知正三角形 ABC 的边长为 a ，那么 △ ABC 的平面直观图 △ A ′ B ′ C ′ 的面积为 ( 　　 ) 解析　 如图 ①② 所示的实际图形和直观图 . 答案　 D 【训练 3 】 某几何体的正视图和侧视图如图 ① 所示，它的俯视图的直观图是矩形 O 1 A 1 B 1 C 1 ，如图 ② ，其中 O 1 A 1 ＝ 6 ， O 1 C 1 ＝ 2 ，则该几何体的侧面积为 ( 　　 ) A.48 B.64 C.96 D.128 答案　 C