2021届高考数学一轮复习第九章平面解析几何第2节两直线的位置关系课件新人教A版 42页

第 2 节　两直线的位置关系 考试要求　 1. 能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直； 2. 能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标； 3. 掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离 . 知 识 梳 理 1. 两条直线平行与垂直的判定 (1) 两条直线平行 对于两条不重合的直线 l 1 ， l 2 ，其斜率分别为 k 1 ， k 2 ，则有 l 1 ∥ l 2 ⇔ _______ . 特别地，当直线 l 1 ， l 2 的斜率都不存在时， l 1 与 l 2 _______ . (2) 两条直线垂直 如果两条直线 l 1 ， l 2 斜率都存在，设为 k 1 ， k 2 ，则 l 1 ⊥ l 2 ⇔ ___________ ，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线 _______ . k 1 ＝ k 2 平行 k 1 · k 2 ＝－ 1 垂直 2. 两直线相交 唯一解 无解 无数个解 3. 距离公式 (1) 两点间的距离公式 平面上任意两点 P 1 ( x 1 ， y 1 ) ， P 2 ( x 2 ， y 2 ) 间的距离公式为 | P 1 P 2 | ＝ ___________________ . 特别地，原点 O (0 ， 0) 与任一点 P ( x ， y ) 的距离 | OP | ＝ __________ . (2) 点到直线的距离公式 平面上任意一点 P 0 ( x 0 ， y 0 ) 到直线 l ： Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 的距离 d ＝ __________ . (3) 两条平行线间的距离公式 一般地，两条平行直线 l 1 ： Ax ＋ By ＋ C 1 ＝ 0 ， l 2 ： Ax ＋ By ＋ C 2 ＝ 0 间的距离 d ＝ __________ . 4. 对称问题 (2 a － x 0 ， 2 b － y 0 ) [ 常用结论与微点提醒 ] 1. 两直线平行的充要条件 直线 l 1 ： A 1 x ＋ B 1 y ＋ C 1 ＝ 0 与直线 l 2 ： A 2 x ＋ B 2 y ＋ C 2 ＝ 0 平行的充要条件是 A 1 B 2 － A 2 B 1 ＝ 0 且 B 1 C 2 － B 2 C 1 ≠ 0( 或 A 1 C 2 － A 2 C 1 ≠ 0). 2. 两直线垂直的充要条件 直线 l 1 ： A 1 x ＋ B 1 y ＋ C 1 ＝ 0 与直线 l 2 ： A 2 x ＋ B 2 y ＋ C 2 ＝ 0 垂直的充要条件是 A 1 A 2 ＋ B 1 B 2 ＝ 0. 3. 点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件 (1) 求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式 . (2) 求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且 x ， y 的系数对应相等 . 诊 断 自 测 1. 判断下列结论正误 ( 在括号内打 “√” 或 “×” ) (1) 当直线 l 1 和 l 2 的斜率都存在时，一定有 k 1 ＝ k 2 ⇒ l 1 ∥ l 2 .( 　　 ) (2) 如果两条直线 l 1 与 l 2 垂直，则它们的斜率之积一定等于－ 1.( 　　 ) (3) 若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交 .( 　　 ) (4) 直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离 .( 　　 ) 解析 　 (1) 两直线 l 1 ， l 2 有可能重合 . (2) 如果 l 1 ⊥ l 2 ，若 l 1 的斜率 k 1 ＝ 0 ，则 l 2 的斜率不存在 . 答案　 (1) × 　 (2) × 　 (3) √ 　 (4) √ 2. ( 老教材必修 2P114A10 改编 ) 两条平行直线 3 x ＋ 4 y － 12 ＝ 0 与 ax ＋ 8 y ＋ 11 ＝ 0 之间的距离为 ( 　　 ) 3. ( 老教材必修 2P110B1 改编 ) 若三条直线 y ＝ 2 x ， x ＋ y ＝ 3 ， mx ＋ 2 y ＋ 5 ＝ 0 相交于同一点，则 m 的值为 ________. 答案　－ 9 4. (2019· 郑州调研 ) 直线 2 x ＋ ( m ＋ 1) y ＋ 4 ＝ 0 与直线 mx ＋ 3 y － 2 ＝ 0 平行，则 m ＝ ( 　　 ) A.2 B. － 3 C.2 或－ 3 D. － 2 或－ 3 5. (2020· 南昌重点中学联考 ) 已知直线 l 1 ： y ＝ 2 x ，则过圆 x 2 ＋ y 2 ＋ 2 x － 4 y ＋ 1 ＝ 0 的圆心且与直线 l 1 垂直的直线 l 2 的方程为 ________. 答案　 x ＋ 2 y － 3 ＝ 0 答案　 4 考点一　两直线的平行与垂直 【例 1 】 (1) (2019· 河北五校联考 ) 直线 l 1 ： mx － 2 y ＋ 1 ＝ 0 ， l 2 ： x － ( m － 1) y － 1 ＝ 0 ，则 “ m ＝ 2 ” 是 “ l 1 ∥ l 2 ” 的 ( 　　 ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 解析　 (1) 由 l 1 ∥ l 2 得－ m ( m － 1) ＝ 1 × ( － 2) ，得 m ＝ 2 或 m ＝－ 1 ，经验证，当 m ＝－ 1 时，直线 l 1 与 l 2 重合，舍去，所以 “ m ＝ 2 ” 是 “ l 1 ∥ l 2 ” 的充要条件 . 答案　 (1)C 　 (2)C 规律方法　 1. 当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意 x ， y 的系数不能同时为零这一隐含条件 . 2. 在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论 . 【训练 1 】 (1) 若直线 ax ＋ 4 y － 2 ＝ 0 与直线 2 x － 5 y ＋ b ＝ 0 垂直，垂足为 (1 ， c ) ，则 a ＋ b ＋ c ＝ ( 　　 ) 答案　 (1)B 　 (2)D 考点二　两直线的交点与距离问题 【例 2 】 (1) 求经过直线 l 1 ： 3 x ＋ 2 y － 1 ＝ 0 和 l 2 ： 5 x ＋ 2 y ＋ 1 ＝ 0 的交点，且垂直于直线 l 3 ： 3 x － 5 y ＋ 6 ＝ 0 的直线 l 的方程为 ________________. (2) (2020· 广州模拟 ) 已知点 P (4 ， a ) 到直线 4 x － 3 y － 1 ＝ 0 的距离不大于 3 ，则 a 的取值范围是 ________. 答案　 (1)5 x ＋ 3 y － 1 ＝ 0 　 (2)[0 ， 10] 规律方法　 1. 求过两直线交点的直线方程的方法 求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程 . 2. 利用距离公式应注意： (1) 点 P ( x 0 ， y 0 ) 到直线 x ＝ a 的距离 d ＝ | x 0 － a | ，到直线 y ＝ b 的距离 d ＝ | y 0 － b | ； (2) 应用两平行线间的距离公式要把两直线方程中 x ， y 的系数分别化为相等 . 【训练 2 】 (1) (2020· 葫芦岛调研 ) 若直线 l 与两直线 y ＝ 1 ， x － y － 7 ＝ 0 分别交于 M ， N 两点，且 MN 的中点是 P (1 ，－ 1) ，则直线 l 的斜率是 ( 　　 ) (3) 法一　 当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y － 2 ＝ k ( x ＋ 1) ， 即 kx － y ＋ k ＋ 2 ＝ 0. 当 l 过 AB 中点时， AB 的中点为 ( － 1 ， 4). ∴ 直线 l 的方程为 x ＝－ 1. 故所求直线 l 的方程为 x ＋ 3 y － 5 ＝ 0 或 x ＝－ 1. 答案　 (1)A 　 (2)C 　 (3) x ＋ 3 y － 5 ＝ 0 或 x ＝－ 1 考点三　对称问题　 多维探究 角度 1 　点关于点对称 【例 3 － 1 】 直线 x － 2 y － 3 ＝ 0 关于定点 M ( － 2 ， 1) 对称的直线方程是 ________________. 解析　 设所求直线上任一点 ( x ， y ) ，则关于 M ( － 2 ， 1) 的对称点 ( － 4 － x ， 2 － y ) 在已知直线上， ∴ 所求直线方程为 ( － 4 － x ) － 2(2 － y ) － 3 ＝ 0 ，即 x － 2 y ＋ 11 ＝ 0. 答案　 x － 2 y ＋ 11 ＝ 0 角度 2 　点关于线对称 【例 3 － 2 】 如图，已知 A (4 ， 0) ， B (0 ， 4) ，从点 P (2 ， 0) 射出的光线经直线 AB 反射后再射到直线 OB 上，最后经直线 OB 反射后又回到 P 点，则光线所经过的路程是 ( 　　 ) 答案　 C 角度 3 　线关于线对称 【例 3 － 3 】 直线 2 x － y ＋ 3 ＝ 0 关于直线 x － y ＋ 2 ＝ 0 对称的直线方程是 ________________. 解析　 设所求直线上任意一点 P ( x ， y ) ，则 P 关于 x － y ＋ 2 ＝ 0 的对称点为 P ′( x 0 ， y 0 ) ， ∴ 2( y － 2) － ( x ＋ 2) ＋ 3 ＝ 0 ，即 x － 2 y ＋ 3 ＝ 0. 答案　 x － 2 y ＋ 3 ＝ 0 规律方法　 求直线 l 1 关于直线 l 对称的直线 l 2 ，有两种处理方法： (1) 在直线 l 1 上取两点 ( 一般取特殊点 ) ，利用求点关于直线的对称点的方法求出这两点关于直线 l 的对称点，再用两点式写出直线 l 2 的方程 . (2) 设点 P ( x ， y ) 是直线 l 2 上任意一点，其关于直线 l 的对称点为 P 1 ( x 1 ， y 1 )( P 1 在直线 l 1 上 ) ，根据点关于直线对称建立方程组，用 x ， y 表示出 x 1 ， y 1 ，再代入直线 l 1 的方程，即得直线 l 2 的方程 . 【训练 3 】 已知直线 l ： 2 x － 3 y ＋ 1 ＝ 0 ，点 A ( － 1 ，－ 2). 求： (1) 点 A 关于直线 l 的对称点 A ′ 的坐标； (2) 直线 m ： 3 x － 2 y － 6 ＝ 0 关于直线 l 的对称直线 m ′ 的方程； (3) ( 一题多解 ) 直线 l 关于点 A 对称的直线 l ′ 的方程 . ∴ 由两点式得直线 m ′ 的方程为 9 x － 46 y ＋ 102 ＝ 0. (3) 法一　 在 l ： 2 x － 3 y ＋ 1 ＝ 0 上任取两点， 如 P (1 ， 1) ， N (4 ， 3) ， 则 P ， N 关于点 A 的对称点 P ′ ， N ′ 均在直线 l ′ 上 . 易知 P ′( － 3 ，－ 5) ， N ′( － 6 ，－ 7) ，由两点式可得 l ′ 的方程为 2 x － 3 y － 9 ＝ 0. 法二 　设 Q ( x ， y ) 为 l ′ 上任意一点，则 Q ( x ， y ) 关于点 A ( － 1 ，－ 2) 的对称点为 Q ′( － 2 － x ，－ 4 － y ) ， ∵ Q ′ 在直线 l 上， ∴ 2( － 2 － x ) － 3( － 4 － y ) ＋ 1 ＝ 0 ， 即 2 x － 3 y － 9 ＝ 0. 数学抽象 —— 活用直线系方程 1. 数学抽象素养水平表现为能够在关联的情境中抽象出一般的数学概念和规则，能够将已知数学命题推广到更一般情形 . 本课时中研究直线方程时常用到直线系方程就是其具体表现之一 . 2. 直线系方程的常见类型 (1) 过定点 P ( x 0 ， y 0 ) 的直线系方程是： y － y 0 ＝ k ( x － x 0 )( k 是参数，直线系中未包括直线 x ＝ x 0 ) ，也就是平常所提到的直线的点斜式方程； (2) 平行于已知直线 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 的直线系方程是： Ax ＋ By ＋ λ ＝ 0( λ 是参数且 λ ≠ C ) ； (3) 垂直于已知直线 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 的直线系方程是： Bx － Ay ＋ λ ＝ 0( λ 是参数 ) ； (4) 过两条已知直线 l 1 ： A 1 x ＋ B 1 y ＋ C 1 ＝ 0 和 l 2 ： A 2 x ＋ B 2 y ＋ C 2 ＝ 0 的交点的直线系方程是： A 1 x ＋ B 1 y ＋ C 1 ＋ λ ( A 2 x ＋ B 2 y ＋ C 2 ) ＝ 0( λ ∈ R ，但不包括 l 2 ). 类型 1 　相交直线系方程 【例 1 】 ( 一题多解 ) 已知两条直线 l 1 ： x － 2 y ＋ 4 ＝ 0 和 l 2 ： x ＋ y － 2 ＝ 0 的交点为 P ，求过点 P 且与直线 l 3 ： 3 x － 4 y ＋ 5 ＝ 0 垂直的直线 l 的方程 . 法二　 设所求直线 l 的方程为： 4 x ＋ 3 y ＋ c ＝ 0 . P (0 ， 2) ，将其代入方程，得 c ＝－ 6 ，所以直线 l 的方程为 4 x ＋ 3 y － 6 ＝ 0. 法三　 设所求直线 l 的方程为： x － 2 y ＋ 4 ＋ λ ( x ＋ y － 2) ＝ 0 ，即 (1 ＋ λ ) x ＋ ( λ － 2) y ＋ 4 － 2 λ ＝ 0 ，因为直线 l 与 l 3 垂直，所以 3(1 ＋ λ ) － 4( λ － 2) ＝ 0 ，所以 λ ＝ 11 ，所以直线 l 的方程为 4 x ＋ 3 y － 6 ＝ 0. 类型 2 　平行直线系方程 【例 2 】 已知直线 l 1 与直线 l 2 ： x － 3 y ＋ 6 ＝ 0 平行， l 1 与 x 轴、 y 轴围成面积为 8 的三角形，请求出直线 l 1 的方程 . 【例 3 】 ( 一题多解 ) 已知直线方程 3 x － 4 y ＋ 7 ＝ 0 ，求与之平行而且在 x 轴、 y 轴上的截距和是 1 的直线 l 的方程 . 类型 3 　垂直直线系方程 【例 4 】 求经过 A (2 ， 1) ，且与直线 2 x ＋ y － 10 ＝ 0 垂直的直线 l 的方程 . 解　 因为所求直线与直线 2 x ＋ y － 10 ＝ 0 垂直，所以设该直线方程为 x － 2 y ＋ c ＝ 0 ， 又直线过点 A (2 ， 1) ， 所以有 2 － 2 × 1 ＋ c ＝ 0 ，解得 c ＝ 0 ， 即所求直线方程为 x － 2 y ＝ 0. 类型 4 　直线系方程的应用 【例 5 】 求过直线 2 x ＋ 7 y － 4 ＝ 0 与 7 x － 21 y － 1 ＝ 0 的交点，且和 A ( － 3 ， 1) ， B (5 ， 7) 等距离的直线方程 . 解　 设所求直线方程为 2 x ＋ 7 y － 4 ＋ λ (7 x － 21 y － 1) ＝ 0 ， 即 (2 ＋ 7 λ ) x ＋ (7 － 21 λ ) y ＋ ( － 4 － λ ) ＝ 0 ， 由点 A ( － 3 ， 1) ， B (5 ， 7) 到所求直线等距离，可得