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- 2021-06-09 发布
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第 6 课时 同角三角函数的基本关系(2)
课时目标
1.巩固同角三角函数关系式.
2.灵活利用公式进行化简求值证明.
识记强化
1.同角三角函数关系式是根据三角函数定义推导的.
2.同角三角函数的基本关系式包括:
①平方关系:sin2α+cos2α=1
②商数关系:tanα=sinα
cosα.
3.商数关系 tanα=sinα
cosα
成立的角α的范围是α≠kπ+π
2(k∈Z).
4.sin2α+cos2α=1 的变形有 sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α,1=sin2α+cos2α等.tanα
=sinα
cosα
的变形有 sinα=tanα·cosα,cosα=sinα
tanα
等.
课时作业
一、选择题
1.已知 cos2θ= 9
25
,且3π
2
<θ<2π,那么 tanθ的值是( )
A.4
3 B.-3
4
C.3
4 D.-4
3
答案:D
解析:∵3π
2
<θ<2π,cos2θ= 9
25
,∴cosθ=3
5.
∴sinθ=-4
5
,故 tanθ=sinθ
cosθ
=-4
3.
2.已知 tanα=2,则 1
1+sinα
+ 1
1-sinα
的值为( )
A.6 B.10
C.5 D.8
答案:B
解析:先将所求关系式化简,再代入求值.
1
1+sinα
+ 1
1-sinα
= 2
1+sinα1-sinα
= 2
cos2α.
∵tanα=sinα
cosα
=2,∴sinα=2cosα,
∴sin2α+cos2α=4cos2α+cos2α=5cos2α=1,
∴cos2α=1
5
,∴原式=2
1
5
=10.故选 B.
3.设 cos100°=k,则 tan100°=( )
A. 1-k2
k
B.- 1-k2
k
C.± 1-k2
k
D.± k
1-k2
答案:A
解析:∵100°是第二象限角,cos100°=k,
∴sin100°= 1-k2,∴tan100°= 1-k2
k
.
4.已知 sinθ=m-3
m+5
,cosθ=4-2m
m+5
,则 m 的值为( )
A.0 B.8
C.0 或 8 D.3<m<9
答案:C
解析:利用 sin2θ+cos2θ=1,求 m 的值.
5.化简 tanx+ 1
tanx cos2x=( )
A.tanx B.sinx
C.cosx D. 1
tanx
答案:D
解析: tanx+ 1
tanx cos2x=
sinx
cosx
+cosx
sinx cos2x
=sin2x+cos2x
sinxcosx
·cos2x=cosx
sinx
= 1
tanx.
6.已知 tanα=1
2
,且α∈ π,3π
2 ,则 sinα的值是( )
A.- 5
5 B. 5
5
C.2 5
5 D.-2 5
5
答案:A
解析:∵α∈ π,3π
2 ,∴sinα<0.由 tanα=sinα
cosα
=1
2
,sin2α+cos2α=1,得 sinα=- 5
5 .
二、填空题
7.已知 tanα=m π<α<3π
2 ,则 sinα=________.
答案:- m
1+m2
解析:因为 tanα=m,所以sin2α
cos2α
=m2,
又 sin2α+cos2α=1,所以 cos2α= 1
m2+1
,
sin2α= m2
m2+1
.又因为π<α<3π
2
,所以 tanα>0,
即 m>0.因而 sinα=- m
m2+1
.
8.若 cosα+2sinα=- 5,则 tanα=________.
答案:2
解析:将已知等式两边平方,得 cos2α+4sin2α+4sinαcosα=5(cos2α+sin2α),化简得 sin2α
-4sinαcosα+4cos2α=0,即(sinα-2cosα)2=0,则 sinα=2cosα,故 tanα=2.
9.若 tanα+ 1
tanα
=3,则 sinαcosα=________,tan2α+ 1
tan2α
=________.
答案:1
3 7
解析:∵tanα+ 1
tanα
=3,∴sinα
cosα
+cosα
sinα
=3,即sin2α+cos2α
sinαcosα
=3,∴sinαcosα=1
3.tan2α+ 1
tan2α
= tanα+ 1
tanα 2-2tanα 1
tanα
=9-2=7.
三、解答题
10.求证:1-2sin2xcos2x
cos22x-sin22x
=1-tan2x
1+tan2x
.
证明:左边=cos22x+sin22x-2sin2xcos2x
cos22x-sin22x
= cos2x-sin2x2
cos2x-sin2xcos2x+sin2x
=cos2x-sin2x
cos2x+sin2x
=1-tan2x
1+tan2x
=右边.
11.已知 tanα=3,求下列各式的值:
(1) 4sinα-cosα
3sinα+5cosα
;
(2)sin2α-2sinαcosα-cos2α
4cos2α-3sin2α
;
(3)3
4sin2α+1
2cos2α.
解:(1) 4sinα-cosα
3sinα+5cosα
=4tanα-1
3tanα+5
=4×3-1
3×3+5
=11
14
(2)sin2α-2sinαcosα-cos2α
4cos2α-3sin2α
=tan2α-2tanα-1
4-3tan2α
=9-6-1
4-27
=- 2
23
(3)3
4sin2α+1
2cos2α
=
3
4sin2α+1
2cos2α
sin2α+cos2α
=
3
4tan2α+1
2
tan2α+1
=
3
4
×9+1
2
9+1
=29
40
能力提升
12.已知 A 为锐角,lg(1+cosA)=m,lg 1
1-cosA
=n,则 lgsinA 的值为( )
A.m+1
n B.m-n
C.1
2
m+1
n D.1
2(m-n)
答案:D
解析:两式相减得 lg(1+cosA)-lg 1
1-cosA
=m-n⇒
lg[(1+cosA)(1-cosA)]=m-n⇒lg sin2A=m-n,
∵A 为锐角,∴sinA>0.∴2lgsinA=m-n.
∴lgsinA=m-n
2
.
13.已知2sin2α+2sinαcosα
1+tanα
=k 0<α<π
2 ,试用 k 表示 sinα-cosα的值.
解:2sin2α+2sinαcosα
1+tanα
=2sinαsinα+cosα
1+sinα
cosα
=2sinαcosαsinα+cosα
sinα+cosα
=2sinαcosα=k.
当 0<α<π
4
时,sinα
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