高中数学人教a版必修四课时训练：2-4 平面向量的数量积 2-4-2 word版含答案 5页

2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 课时目标 1.掌握数量积的坐标表示， 会进行平面向量数量积的坐标运算.2.能运用数量积 的坐标表示求两个向量的夹角，会用数量积的坐标表示判断两个平面向量的垂直关系，会用 数量的坐标表示求向量的模． 1．平面向量数量积的坐标表示 若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a·b＝____________. 即两个向量的数量积等于________________． 2．两个向量垂直的坐标表示 设两个非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 则 a⊥b⇔________________. 3．平面向量的模 (1)向量模公式：设 a＝(x1，y1)，则|a|＝________________. (2)两点间距离公式：若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB→|＝________________________. 4．向量的夹角公式 设两非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a 与 b 的夹角为θ，则 cos θ＝________＝__________. 一、选择题 1．已知向量 a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若 2a－b 与 b 垂直，则|a|等于( ) A．1 B. 2 C．2 D．4 2．平面向量 a 与 b 的夹角为 60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋2b|等于( ) A. 3 B．2 3 C．4 D．12 3．已知 a，b 为平面向量，a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，则 a，b 夹角的余弦值等于( ) A. 8 65 B．－ 8 65 C.16 65 D．－16 65 4．已知向量 a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量 c 满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则 c 等于( ) A. 7 9 ，7 3 B. －7 3 ，－7 9 C. 7 3 ，7 9 D. －7 9 ，－7 3 5．已知向量 a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5 2，则|b|＝( ) A. 5 B. 10 C．5 D．25 6．已知 a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，向量λa＋b 与 a－2b 垂直，则实数λ的值为( ) A．－1 7 B.1 7 C．－1 6 D.1 6 题 号 1 2 3 4 5 6 答 案 二、填空题 7．已知 a＝(3， 3)，b＝(1,0)，则(a－2b)·b＝________. 8．若平面向量 a＝(1，－2)与 b 的夹角是 180°，且|b|＝4 5，则 b＝________. 9．若 a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则 a 在 b 方向上的投影为______． 10．已知 a＝(－2，－1)，b＝(λ，1)，若 a 与 b 的夹角α为钝角，则λ的取值范围为________． 三、解答题 11．已知 a 与 b 同向，b＝(1,2)，a·b＝10. (1)求 a 的坐标； (2)若 c＝(2，－1)，求 a(b·c)及(a·b)c. 12．已知三个点 A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)， (1)求证：AB⊥AD； (2)要使四边形 ABCD 为矩形，求点 C 的坐标并求矩形 ABCD 两对角线所成的锐角的余弦值． 能力提升 13．已知向量 a＝(1,1)，b＝(1，a)，其中 a 为实数，O 为原点，当此两向量夹角在 0， π 12 变 动时，a 的范围是( ) A．(0,1) B. 3 3 ， 3 C. 3 3 ，1 ∪(1， 3) D．(1， 3) 14．若等边△ABC 的边长为 2 3，平面内一点 M 满足CM→ ＝1 6CB→＋2 3CA→，则MA→ ·MB→ ＝________. 1．向量的坐标表示简化了向量数量积的运算．为利用向量法解决平面几何问题以及解析几 何问题提供了完美的理论依据和有力的工具支持． 2．应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要 不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力． 2．4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 答案 知识梳理 1．x1x2＋y1y2 相应坐标乘积的和 2．x1x2＋y1y2＝0 3．(1) x21＋y21 (2) x2－x12＋y2－y12 4. a·b |a||b| x1x2＋y1y2 x21＋y21 x22＋y22 作业设计 1．C [由(2a－b)·b＝0，则 2a·b－|b|2＝0， ∴2(n2－1)－(1＋n2)＝0，n2＝3. ∴|a|＝ 1＋n2＝2.故选 C.] 2．B [a＝(2,0)，|b|＝1， ∴|a|＝2，a·b＝2×1×cos 60°＝1. ∴|a＋2b|＝ a2＋4×a·b＋4b2＝2 3.] 3．C [∵a＝(4,3)，∴2a＝(8,6)．又 2a＋b＝(3,18)，∴b＝(－5,12)，∴a·b＝－20＋36＝16. 又|a|＝5，|b|＝13， ∴cos〈a，b〉＝ 16 5×13 ＝16 65.] 4．D [设 c＝(x，y)， 由(c＋a)∥b 有－3(x＋1)－2(y＋2)＝0，① 由 c⊥(a＋b)有 3x－y＝0，② 联立①②有 x＝－7 9 ，y＝－7 3 ，则 c＝(－7 9 ，－7 3)， 故选 D.] 5．C [∵|a＋b|＝5 2， ∴|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝5＋2×10＋b2＝(5 2)2， ∴|b|＝5.] 6．A [由 a＝(－3,2)，b＝(－1,0)， 知λa＋b＝(－3λ－1,2λ)，a－2b＝(－1,2)． 又(λa＋b)·(a－2b)＝0， ∴3λ＋1＋4λ＝0，∴λ＝－1 7.] 7．1 解析 a－2b＝(1， 3)， (a－2b)·b＝1×1＋ 3×0＝1. 8．(－4,8) 解析 由题意可设 b＝λa＝(λ，－2λ)，λ<0， 则|b|2＝λ2＋4λ2＝5λ2＝80，∴λ＝－4， ∴b＝－4a＝(－4,8)． 9. 65 5 解析 设 a、b 的夹角为θ，则 cos θ＝ 2×－4＋3×7 22＋32 －42＋72 ＝ 5 5 ， 故 a 在 b 方向上的投影为|a|cos θ＝ 13× 5 5 ＝ 65 5 . 或直接根据a·b |b| 计算 a 在 b 方向上的投影． 10. －1 2 ，2 ∪(2，＋∞) 解析 由题意 cos α＝ a·b |a||b| ＝ －2λ－1 5· λ2＋1 ， ∵90°<α<180°，∴－1－ 5λ2＋5， 即 λ>－1 2 ， 2λ＋12<5λ2＋5， 即 λ>－1 2 ， λ≠2， ∴λ的取值范围是 －1 2 ，2 ∪(2，＋∞)． 11．解 (1)设 a＝λb＝(λ，2λ) (λ>0)，则有 a·b＝λ＋4λ＝10， ∴λ＝2，∴a＝(2,4)． (2)∵b·c＝1×2－2×1＝0， a·b＝1×2＋2×4＝10， ∴a(b·c)＝0a＝0， (a·b)c＝10×(2，－1)＝(20，－10)． 12．(1)证明 ∵A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)， ∴AB→＝(1,1)，AD→ ＝(－3,3)， 又∵AB→·AD→ ＝1×(－3)＋1×3＝0， ∴AB→⊥AD→ ，即 AB⊥AD. (2)解 AB→⊥AD→ ，四边形 ABCD 为矩形， ∴AB→＝DC→ . 设 C 点坐标为(x，y)，则AB→＝(1,1)，DC→ ＝(x＋1，y－4)， ∴ x＋1＝1， y－4＝1， 得 x＝0， y＝5. ∴C 点坐标为(0,5)． 由于AC→＝(－2,4)，BD→ ＝(－4,2)， 所以AC→·BD→ ＝8＋8＝16， |AC→|＝2 5，|BD→ |＝2 5. 设AC→与BD→ 夹角为θ，则 cos θ＝ AC→·BD→ |AC→|·|BD→ | ＝16 20 ＝4 5>0， ∴解得矩形的两条对角线所成的锐角的余弦值为4 5. 13．C [已知OA→ ＝(1,1)，即 A(1,1)如图所示，当点 B 位于 B1 和 B2 时，a 与 b 夹角为 π 12 ，即∠AOB1 ＝∠AOB2＝ π 12 ，此时，∠B1Ox＝π 4 － π 12 ＝π 6 ，∠B2Ox＝π 4 ＋ π 12 ＝π 3 ，故 B1 1， 3 3 ，B2(1， 3)， 又 a 与 b 夹角不为零，故 a≠1，由图易知 a 的范围是 3 3 ，1 ∪(1， 3)．] 14．－2 解析 建立如图所示的直角坐标系，根据题设条件即可知 A(0,3)，B(－ 3，0)，M(0,2)， ∴MA→ ＝(0,1)，MB→ ＝(－ 3，－2)．∴MA→ ·MB→ ＝－2.