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- 2021-06-09 发布
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第8节 函数与方程
考试要求 1.了解函数零点的概念,了解函数零点与方程根的联系;2.掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法.
知 识 梳 理
1.函数的零点
(1)函数零点的概念
对于函数y=f(x),把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.
(2)函数零点与方程根的关系
方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点.
(3)零点存在性定理
如果函数y=f(x)满足:①在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线;②f(a)·f(b)<0;则函数y=f(x)在
(a,b)上存在零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.
2.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系
Δ=b2-4ac
Δ>0
Δ=0
Δ<0
二次函数
y=ax2+bx+c
(a>0)的图象
与x轴的交点
(x1,0),(x2,0)
(x1,0)
无交点
零点个数
2
1
0
[常用结论与易错提醒]
1.不满足零点存在性定理也可能有零点(如不变号零点).
2.由函数y=f(x)在闭区间[a,b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0,如图所示.所以f(a)·f(b)<0是图象连续的函数y=f(x)在闭区间[a,b]上有零点的充分不必要条件.
3.若函数f(x)在[a,b]上单调,且f(x)的图象是连续不断的一条曲线,则f(a)·f(b)<0⇒函数f(x)在[a,b]上只有一个零点.
诊 断 自 测
1.判断下列说法的正误.
(1)函数f(x)=lg x的零点是(1,0).( )
(2)图象连续的函数y=f(x)(x∈D)在区间(a,b)⊆D内有零点,则f(a)·f(b)<0.( )
(3)若连续函数f(x)在(a,b)上单调且f(a)·f(b)<0,则函数f(x)在[a,b]上有且只有一个零点.( )
(4)f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x,当x∈(4,+∞)时,恒有h(x)0,因此函数f(x)有且只有一个零点.
答案 B
4.(2019·北京东城区期末)下列函数中是奇函数且存在零点的是( )
A.y=x3+x B.y=log2x
C.y=2x2-3 D.y=
解析 对于A:y=x3+x为奇函数,且存在零点为x=0,与题意相符;
对于B:y=log2x为非奇非偶函数,与题意不符;
对于C:y=2x2-3为偶函数,与题意不符;
对于D:y=不存在零点,与题意不符,故选A.
答案 A
5.函数f(x)=ax+1-2a在区间(-1,1)上存在一个零点,则实数a的取值范围是________.
解析 因为函数f(x)=ax+1-2a在区间(-1,1)上是单调函数,所以若f(x)在区间(-1,1)上存在一个零点,则满足f(-1)·f(1)<0,即(-3a+1)·(1-a)<0,解得0,
f(b)=(b-c)(b-a)<0,f(c)=(c-a)(c-b)>0,
由函数零点存在性定理可知:在区间(a,b),(b,c)内分别存在零点,又函数f(x)是二次函数,最多有两个零点;因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a,b),(b,c)内,故选A.
(2)法一 函数f(x)的零点所在的区间可转化为函数g(x)=ln x,h(x)=-x+2图象交点的横坐标所在的取值范围.作图如下:
可知f(x)的零点所在的区间为(1,2).
法二 易知f(x)=ln x+x-2在(0,+∞)上为增函数,
且f(1)=1-2=-1<0,f(2)=ln 2>0.
所以根据函数零点存在性定理可知在区间(1,2)内函数存在零点.
答案 (1)A (2)B
规律方法 确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法
(1)利用函数零点存在性定理:首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续,再看是否有f(a)·f(b)<0.若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.
(2)数形结合法:通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.
【训练1】 (1)函数f(x)=-2x的零点所在区间是( )
A. B.
C. D.
(2)已知函数f(x)=ln x-的零点为x0,则x0所在的区间是( )
A.(0,1) B.(1,2)
C.(2,3) D.(3,4)
解析 (1)f(x)的图象在(0,+∞)上连续,又f(x)在(0,+∞)上递减,且f(1)=2>0,f=-2=<0.∴选C.
(2)∵f(x)=ln x-在(0,+∞)上是增函数,
又f(1)=ln 1-=ln 1-2<0,
f(2)=ln 2-=ln 2-1<0,f(3)=ln 3->0.
故f(x)的零点x0∈(2,3).
答案 (1)C (2)C
考点二 函数零点(或方程根)个数的判断
【例2】 (1)已知函数f(x)=则方程f(f(x))-2=0的实根个数为( )
A.3 B.4
C.5 D.6
(2)函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数为________.
解析 (1)令t=f(x),则方程f(f(x))-2=0等价于f(t)-2t-=0.在同一平面直角坐标系中作出函数y=f(x)与直线y=2x+的图象,由图象可得有两个交点,且f(t)-2t-=0的两根分别为t1=0和10.若在区间(0,9]上,关于x的方程f(x)=g(x)有8个不同的实数根,则k的取值范围是________.
解析 (1)由f(x-4)=f(x)知,函数的周期T=4.
又f(x)为偶函数,∴f(x)=f(-x)=f(4-x),
因此函数y=f(x)的图象关于x=2对称.
又f(2)=f(6)=f(10)=2,
要使方程f(x)=logax有三个不同的实根.
由函数的图象(如图),
必须有即解得0)恒过定点A(-2,0),由图可知,当x∈(2,3]∪(6,7]时,f(x)与g(x)的图象无交点,
∴当x∈(0,1]∪(4,5]∪(8,9]时,f(x)与g(x)的图象有6个交点.
由f(x)与g(x)的周期性可知,当x∈(0,1]时,f(x)与g(x)的图象有2个交点.
当y=k(x+2)与圆弧(x-1)2+y2=1(00)⇒k=.
当y=k(x+2)过点A(-2,0)与B(1,1)时,k=.
∴≤k<.
答案 (1)(,) (2)
规律方法 已知函数有零点(方根有根)求参数值常用的方法:
(1)直接法,直接求解方程得到方程的根,再通过解不等式确定参数范围;
(2)分离参数法,先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决;
(3)数形结合,先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,然后观察求解.
【训练3】 (1)(2019·浙江名师预测卷三)已知函数f(x)=x2+ax+b在区间[-1,1]上存在两个不同的零点,且0≤b-2a≤1,则a+b的取值范围是( )
A.[-1,0) B.(-1,1)
C.[-1,3] D.(-1,0]
(2)已知函数f(x)=其中m>0.若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,则m的取值范围是________.
解析 (1)由题意可知,此问题等价于函数g(x)=ax+b与函数h(x)=-x2的图象在[-1,1]上有两个不同的交点,且b-2a=g(-2)∈[0,1],求g(1)=a+b的取值范围.
画出临界位置的图象如图所示,当x=1时,要使满足题意,直线l1,l2须经过线段AB,而当l1过点B时,直线与曲线没有交点,当l2过点B时,直线与曲线只有1个交点,均不合题意,故舍去y=0的情况,所以g(1)=a+b∈[-1,0),故选A.
(2)在同一坐标系中,作出y=f(x)与y=b的图象.当x>m时,x2-2mx+4m=(x-m)2+4m-m2,
∴要使方程f(x)=b有三个不同的根,则有4m-m20.又m>0,解得m>3.
答案 (1)A (2)(3,+∞)
基础巩固题组
一、选择题
1.函数f(x)=3x-x2的零点所在区间是( )
A.(0,1) B.(1,2)
C.(-2,-1) D.(-1,0)
解析 由于f(-1)=-<0,f(0)=30-0=1>0,
∴f(-1)·f(0)<0.则f(x)在(-1,0)内有零点.
答案 D
2.已知函数f(x)=则函数f(x)的零点为( )
A.,0 B.-2,0
C. D.0
解析 当x≤1时,由f(x)=2x-1=0,解得x=0;当x>1时,由f(x)=1+log2x=0,解得x=,又因为x>1,所以此时方程无解.综上函数f(x)的零点只有0.
答案 D
3.函数f(x)=2x--a的一个零点在区间(1,2)内,则实数a的取值范围是( )
A.(1,3) B.(1,2)
C.(0,3) D.(0,2)
解析 因为函数f(x)=2x--a在区间(1,2)上单调递增,又函数f(x)=2x--a的一个零点在区间(1,2)内,则有f(1)·f(2)<0,所以(-a)·(4-1-a)<0,即a(a-3)<0,所以00
C.a>-1,b<0 D.a>-1,b>0
解析 由题意,b=f(x)-ax=
设y=b,g(x)=
即以上两个函数的图象恰有3个交点,根据选项进行讨论.
①当a<-1时,1-a>0,可得g(x)在(-∞,0)上递增;
由g′(x)=x2-(a+1)x=x[x-(a+1)](x≥0),a+1<0,
可得g(x)在(0,+∞)上递增.
此时直线y=b与g(x)的图象只有1个交点,不符合题意,故A,B排除.
②当a>-1,即a+1>0时,
因为g′(x)=x[x-(a+1)](x≥0),
所以当x≥0时,
由g′(x)<0可得00,即-11时,y=g(x)与y=b的图象可以有1个或2个交点,但不存在有3个交点的情况,不合题意,舍去.
综上,-10且2a≤a2.在同一坐标系下作出函数y=2x与y=x2的图象,由图可知,实数a的取值范围为[2,4].函数g(x)=f(x)-b有三个零点等价于函数y=f(x)与y=b的图象有三个交点,在同一坐标系下作出函数y=f(x)与y=b的图象,由图可知,当a在y轴的左方时,存在实数b,使得两函数图象有三个交点,所以要使函数g(x)有三个零点,实数a的取值范围为(-∞,0).
答案 [2,4] (-∞,0)
12.已知f(x)=-m|x|,若f(x)有两个零点,则实数m的值为________;若f(x
)有三个零点,则实数m的取值范围是________.
解析 函数f(x)的零点,即为方程-m|x|=0即=|x|(x+2)(x≠-2)的实数根,令g(x)=|x|(x+2)=其图象如图所示,当m=1时,g(x)图象与y=有2个交点;当0<<1,即m>1时,有3个交点.
答案 1 (1,+∞)
13.(2019·北京大兴区期末)设函数f(x)=
(1)若a=0,则f(x)的最大值为________;
(2)若函数y=f(x)-b有两个零点,则b的取值范围是________.
解析 (1)当a=0时,f(x)=
当x≤0时,f(x)=2x,f(x)在(-∞,0]上为增函数,
当x>0时,-x<0,则f(x)=f(-x)=2-x=,
则f(x)在(0,+∞)上为减函数,
则f(x)max=f(0)=20=1.
(2)根据题意,当x≤a时,f(x)=2x-a,
当x>a时,则有2a-x<a,
此时f(x)=f(2a-x)=2a-x,
f(x)=,其图象关于直线x=a对称,
若函数y=f(x)-b有两个零点,即函数y=f(x)与y=b有2个交点,其图象如图所示:
必有0<b<1,即b的取值范围为(0,1).
答案 (1)1 (2)(0,1)
14.(2020·杭州高级中学测试)已知函数f(x)满足:f(1-x)=f(1+x),且当x≤1时,f(x)=x2+a(a∈R),若存在实数t∈[0,1],使得关于x的方程|f(x)|=t有且仅有四个不等实根,则实数a的取值范围是________.
解析 由f(1-x)=f(1+x)知函数f(x)关于直线x=1对称.当a>1时,|f(x)|=f(x)≥f(0)=a>1,函数y=|f(x)|的图象与直线y=t无公共点,不满足条件;当a=1时,函数y=|f(x)|的图象与直线y=t最多只有两个公共点,不满足条件;当0≤a<1时,如图1所示,函数y=|f(x)|的图象与直线y=t可能有四个公共点,满足条件;当-1g(3),∴两函数的图象在(2,4)内有两个交点;∵f(5)=f(3)=,g(5)=,满足f(5)>g(5),∴两函数的图象在(4,6)内有两个交点;∵f(7)=f(5)=,
g(7)=,满足f(7)7时,恒有f(x)0时,由对勾函数的性质易得y=≥2,当且仅当x=±时等号成立,要使f(x)=-4有4个零点,则有2<4,解得0
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