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2013年辽宁省高考数学试卷(文科)
一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)
1.(5分)已知集合A={0,1,2,3,4},B={x||x|<2},则A∩B=( )
A.{0} B.{0,1} C.{0,2} D.{0,1,2}
2.(5分)复数的模长为( )
A. B. C. D.2
3.(5分)已知点A(1,3),B(4,﹣1),则与向量同方向的单位向量为( )
A. B. C. D.
4.(5分)下列关于公差d>0的等差数列{an}的四个命题:
p1:数列{an}是递增数列;
p2:数列{nan}是递增数列;
p3:数列是递增数列;
p4:数列{an+3nd}是递增数列;
其中真命题是( )
A.p1,p2 B.p3,p4 C.p2,p3 D.p1,p4
5.(5分)某学校组织学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组一次为[20,40),[40,60),[60,80),[80,100).若低于60分的人数是15人,则该班的学生人数是( )
A.45 B.50 C.55 D.60
6.(5分)在△ABC,内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c.asinBcosC+csinBcosA=b,且a>b,则∠B=( )
A. B. C. D.
7.(5分)已知函数f(x)=ln(﹣3x)+1,则f(lg2)+f(lg)=( )
A.﹣1 B.0 C.1 D.2
8.(5分)执行如图所示的程序框图,若输入n=8,则输出S=( )
A. B. C. D.
9.(5分)已知点O(0,0),A(0,b),B(a,a3),若△OAB为直角三角形,则必有( )
A.b=a3 B.
C. D.
10.(5分)已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上,若AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,则球O的半径为( )
A. B. C. D.
11.(5分)已知椭圆C:的左焦点F,C与过原点的直线相交于A,B两点,连结AF,BF,若|AB|=10,|AF|=6,,则C的离心率为( )
A. B. C. D.
12.(5分)已知函数f(x)满足f(x)=x2﹣2(a+2)x+a2,g(x)=﹣x2+2(a﹣2)x﹣a2+8.设H1(x)=max{f(x),g(x)},H2(x)=min{f(x),g(x)}(max(p,q)表示p,q中的较大值,min(p,q)表示p,q中的较小值),记H1(x)的最小值为A,H2(x)的最大值为B,则A﹣B=( )
A.a2﹣2a﹣16 B.a2+2a﹣16 C.﹣16 D.16
二、填空题
13.(5分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 .
14.(5分)已知等比数列{an}是递增数列,Sn是{an}的前n项和.若a1,a3是方程x2﹣5x+4=0的两个根,则S6= .
15.(5分)已知F为双曲线C:的左焦点,P,Q为C上的点,若PQ的长等于虚轴长的2倍,点A(5,0)在线段PQ上,则△PQF的周长为 .
16.(5分)为了考察某校各班参加课外小组的人数,从全校随机抽取5个班级,把每个班级参加该小组的人数作为样本数据,已知样本平均数为7,样本方差为4,且样本数据互不相同,则样本数据中的最大值为 .
三、解答题
17.(12分)设向量,,.
(1)若,求x的值;
(2)设函数,求f(x)的最大值.
18.(12分)如图,AB是圆O的直径,PA⊥圆O所在的平面,C是圆O上的点.
(1)求证:BC⊥平面PAC;
(2)若Q为PA的中点,G为△AOC的重心,求证:QG∥平面PBC.
19.(12分)现有6道题,其中4道甲类题,2道乙类题,张同学从中任取2道题解答.
(1)所取的2道题都是甲类题的概率;
(2)所取的2道题不是同一类题的概率.
20.(12分)如图,抛物线C1:x2=4y,C2:x2=﹣2py(p>0),点M(x0,y0)在抛物线C2上,过M作C1的切线,切点为A,B(M为原点O时,A,B重合于O),当x0=1﹣时,切线MA的斜率为﹣.
(Ⅰ)求P的值;
(Ⅱ)当M在C2上运动时,求线段AB中点N的轨迹方程(A,B重合于O时,中点为O).
21.(12分)(1)证明:当x∈[0,1]时,;
(2)若不等式对x∈[0,1]恒成立,求实数a的取值范围.
请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
22.(10分)(选修4﹣1几何证明选讲)
如图,AB为⊙O的直径,直线CD与⊙O相切于E,AD垂直CD于D,BC垂直CD于C,EF垂直于AB于F,连接AE,BE,证明:
(1)∠FEB=∠CEB;
(2)EF2=AD•BC.
23.在直角坐标系xOy中以O为极点,x轴正半轴为极轴建立坐标系.圆C1,直线C2的极坐标方程分别为ρ=4sinθ,ρcos()=2.
(Ⅰ)求C1与C2交点的极坐标;
(Ⅱ)设P为C1的圆心,Q为C1与C2交点连线的中点,已知直线PQ的参数方程为(t∈R为参数),求a,b的值.
24.已知函数f(x)=|x﹣a|,其中a>1
(1)当a=2时,求不等式f(x)≥4﹣|x﹣4|的解集;
(2)已知关于x的不等式|f(2x+a)﹣2f(x)|≤2的解集{x|1≤x≤2},求a的值.
2013年辽宁省高考数学试卷(文科)
参考答案与试题解析
一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)
1.(5分)已知集合A={0,1,2,3,4},B={x||x|<2},则A∩B=( )
A.{0} B.{0,1} C.{0,2} D.{0,1,2}
【分析】求出B中绝对值不等式的解集,确定出B,找出A与B的公共元素即可求出交集.
【解答】解:由B中的不等式|x|<2,解得:﹣2<x<2,即B=(﹣2,2),
∵A={0,1,2,3,4},
∴A∩B={0,1}.
故选:B.
【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.
2.(5分)复数的模长为( )
A. B. C. D.2
【分析】通过复数的分子与分母同时求模即可得到结果.
【解答】解:复数,
所以===.
故选:B.
【点评】本题考查复数的模的求法,考查计算能力.
3.(5分)已知点A(1,3),B(4,﹣1),则与向量同方向的单位向量为( )
A. B. C. D.
【分析】由条件求得 =(3,﹣4),||=5,再根据与向量
同方向的单位向量为 求得结果.
【解答】解:∵已知点A(1,3),B(4,﹣1),∴=(4,﹣1)﹣(1,3)=(3,﹣4),||==5,
则与向量同方向的单位向量为 =,
故选:A.
【点评】本题主要考查单位向量的定义和求法,属于基础题.
4.(5分)下列关于公差d>0的等差数列{an}的四个命题:
p1:数列{an}是递增数列;
p2:数列{nan}是递增数列;
p3:数列是递增数列;
p4:数列{an+3nd}是递增数列;
其中真命题是( )
A.p1,p2 B.p3,p4 C.p2,p3 D.p1,p4
【分析】对于各个选项中的数列,计算第n+1项与第n项的差,看此差的符号,再根据递增数列的定义得出结论.
【解答】解:∵对于公差d>0的等差数列{an},an+1﹣an=d>0,∴命题p1:数列{an}是递增数列成立,是真命题.
对于数列{nan},第n+1项与第n项的差等于 (n+1)an+1﹣nan=(n+1)d+an,不一定是正实数,
故p2不正确,是假命题.
对于数列,第n+1项与第n项的差等于 ﹣==,不一定是正实数,
故p3不正确,是假命题.
对于数列{an+3nd},第n+1项与第n项的差等于 an+1+3(n+1)d﹣an﹣3nd=4d>
0,
故命题p4:数列{an+3nd}是递增数列成立,是真命题.
故选:D.
【点评】本题主要考查等差数列的定义,增数列的含义,命题的真假的判断,属于中档题.
5.(5分)某学校组织学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组一次为[20,40),[40,60),[60,80),[80,100).若低于60分的人数是15人,则该班的学生人数是( )
A.45 B.50 C.55 D.60
【分析】由已知中的频率分布直方图,我们可以求出成绩低于60分的频率,结合已知中的低于60分的人数是15人,结合频数=频率×总体容量,即可得到总体容量.
【解答】解:∵成绩低于60分有第一、二组数据,
在频率分布直方图中,对应矩形的高分别为0.005,0.01,
每组数据的组距为20,
则成绩低于60分的频率P=(0.005+0.010)×20=0.3,
又∵低于60分的人数是15人,
则该班的学生人数是=50.
故选:B.
【点评】本题考查的知识点是频率分布直方图,结合已知中的频率分布直方图,结合频率=矩形的高×组距,求出满足条件的事件发生的频率是解答本题的关键.
6.(5分)在△ABC,内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c.asinBcosC+csinBcosA=b,且a>b,则∠B=( )
A. B. C. D.
【分析】利用正弦定理化简已知的等式,根据sinB不为0,两边除以sinB,再利用两角和与差的正弦函数公式化简求出sinB的值,即可确定出B的度数.
【解答】解:利用正弦定理化简已知等式得:sinAsinBcosC+sinCsinBcosA=sinB,
∵sinB≠0,∴sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)=sinB=,
∵a>b,∴∠A>∠B,即∠B为锐角,
则∠B=.
故选:A.
【点评】此题考查了正弦定理,两角和与差的正弦函数公式,以及诱导公式,熟练掌握正弦定理是解本题的关键.
7.(5分)已知函数f(x)=ln(﹣3x)+1,则f(lg2)+f(lg)=( )
A.﹣1 B.0 C.1 D.2
【分析】根据条件结合对数的运算法则得到f(﹣x)+f(x)=2,即可得到结论.
【解答】解:函数的定义域为(﹣∞,+∞),
∵f(x)=ln(﹣3x)+1,
∴f(﹣x)+f(x)=ln(+3x)+1+ln(﹣3x)+1=ln[(+3x)(﹣3x)]+2=ln(1+9x2﹣9x2)+2=ln1+2=2,
则f(lg2)+f(lg)=f(lg2)+f(﹣lg2)=2,
故选:D.
【点评】本题主要考查函数值的计算,根据条件结合对数的运算法则得到f(﹣x)+f(x)=2是解决本题的关键.
8.(5分)执行如图所示的程序框图,若输入n=8,则输出S=( )
A. B. C. D.
【分析】由已知中的程序框图及已知中输入8,可得:进入循环的条件为i≤8,即i=2,4,6,8,模拟程序的运行结果,即可得到输出的S值.
【解答】解:当i=2时,S=0+=,i=4;
当i=4时,S=+=,i=6;
当i=6时,S=+=,i=8;
当i=8时,S=+=,i=10;
不满足循环的条件i≤8,退出循环,输出S=.
故选:A.
【点评】本题考查的知识点是程序框图,在写程序的运行结果时,我们常使用模拟循环的变法,但程序的循环体中变量比较多时,要用表格法对数据进行管理.
9.(5分)已知点O(0,0),A(0,b),B(a,a3),若△OAB为直角三角形,则必有( )
A.b=a3 B.
C. D.
【分析】利用已知可得=(a,a3﹣b),,=(a,a3),且ab≠0.分以下三种情况:①,②,③,利用垂直与数量积的关系即可得出.
【解答】解:∵=(a,a3﹣b),,=(a,a3),且ab≠0.
①若,则=ba3=0,∴a=0或b=0,但是ab≠0,应舍去;
②若,则=b(a3﹣b)=0,∵b≠0,∴b=a3≠0;
③若,则=a2+a3(a3﹣b)=0,得1+a4﹣ab=0,即.
综上可知:△OAB为直角三角形,则必有.
故选:C.
【点评】熟练掌握垂直与数量积的关系、分类讨论的思想方法是解题的关键.
10.(5分)已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上,若AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,则球O的半径为( )
A. B. C. D.
【分析】通过球的内接体,说明几何体的侧面对角线是球的直径,求出球的半径.
【解答】解:因为三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上,若AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,
所以三棱柱的底面是直角三角形,侧棱与底面垂直,侧面B1BCC1,经过球的球心,球的直径是其对角线的长,
因为AB=3,AC=4,BC=5,BC1=,
所以球的半径为:.
故选:C.
【点评】本题考查球的内接体与球的关系,球的半径的求解,考查计算能力.
11.(5分)已知椭圆C:的左焦点F,C与过原点的直线相交于A,B两点,连结AF,BF,若|AB|=10,|AF|=6,,则C的离心率为( )
A. B. C. D.
【分析】在△AFB中,由余弦定理可得|AF|2=|AB|2+|BF|2﹣2|AB||BF|cos∠ABF,即可得到|BF|,设F′为椭圆的右焦点,连接BF′,AF′.根据对称性可得四边形AFBF′是矩形.
即可得到a,c,进而取得离心率.
【解答】解:如图所示,在△AFB中,由余弦定理可得|AF|2=|AB|2+|BF|2﹣2|AB||BF|cos∠ABF,
∴,化为(|BF|﹣8)2=0,解得|BF|=8.
设F′为椭圆的右焦点,连接BF′,AF′.根据对称性可得四边形AFBF′是矩形.
∴|BF′|=6,|FF′|=10.
∴2a=8+6,2c=10,解得a=7,c=5.
∴.
故选:B.
【点评】熟练掌握余弦定理、椭圆的定义、对称性、离心率、矩形的性质等基础知识是解题的关键.
12.(5分)已知函数f(x)满足f(x)=x2﹣2(a+2)x+a2,g(x)=﹣x2+2(a﹣2)x﹣a2+8.设H1(x)=max{f(x),g(x)},H2(x)=min{f(x),g(x)}(max(p,q)表示p,q中的较大值,min(p,q)表示p,q中的较小值),记H1(x)的最小值为A,H2(x)的最大值为B,则A﹣B=( )
A.a2﹣2a﹣16 B.a2+2a﹣16 C.﹣16 D.16
【分析】本选择题宜采用特殊值法.取a=﹣2,则f(x)=x2+4,g(x)=﹣x2﹣8x+4.画出它们的图象,如图所示.从而得出H1(x)的最小值为两图象右边交点的纵坐标,H2(x)的最大值为两图象左边交点的纵坐标,再将两函数图象对应的方程组成方程组,求解即得.
【解答】解:取a=﹣2,则f(x)=x2+4,g(x)=﹣x2﹣8x+4.画出它们的图象,如图所示.
则H1(x)的最小值为两图象右边交点的纵坐标,H2(x)的最大值为两图象左边交点的纵坐标,
由
解得或,
∴A=4,B=20,A﹣B=﹣16.
故选:C.
【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质、函数最值的应用等,考查了数形结合的思想,属于中档题.
二、填空题
13.(5分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 16π﹣16 .
【分析】首先判断该几何体的形状,然后计算其体积即可.
【解答】解:根据三视图可知,该几何体为圆柱中挖去一个四棱柱,
圆柱是底面外径为2,高为4的圆筒,
四棱柱的底面是边长为2的正方形,高也为4.
故其体积为:22π×4﹣22×4=16π﹣16,
故答案为:16π﹣16.
【点评】本题考查了由三视图判断几何体的知识,解题的关键是首先判断该几何体为圆柱中挖去一个棱柱,然后利用柱体的体积计算方法计算其体积差即可.
14.(5分)已知等比数列{an}是递增数列,Sn是{an}的前n项和.若a1,a3是方程x2﹣5x+4=0的两个根,则S6= 63 .
【分析】通过解方程求出等比数列{an}的首项和第三项,然后求出公比,直接利用等比数列前n项和公式求前6项和.
【解答】解:解方程x2﹣5x+4=0,得x1=1,x2=4.
因为数列{an}是递增数列,且a1,a3是方程x2﹣5x+4=0的两个根,
所以a1=1,a3=4.
设等比数列{an}的公比为q,则,所以q=2.
则.
故答案为63.
【点评】本题考查了等比数列的通项公式,考查了等比数列的前n项和,是基础的计算题.
15.(5分)已知F为双曲线C:的左焦点,P,Q为C上的点,若PQ的长等于虚轴长的2倍,点A(5,0)在线段PQ上,则△PQF的周长为 44 .
【分析】根据题意画出双曲线图象,然后根据双曲线的定义“到两定点的距离之差为定值2a“解决.求出周长即可.
【解答】解:根据题意,双曲线C:的左焦点F(﹣5,0),所以点A(5,0)是双曲线的右焦点,
虚轴长为:8;
双曲线图象如图:
|PF|﹣|AP|=2a=6 ①
|QF|﹣|QA|=2a=6 ②
而|PQ|=16,
①+②
得:|PF|+|QF|﹣|PQ|=12,
∴周长为:|PF|+|QF|+|PQ|=12+2|PQ|=44
故答案为:44.
【点评】本题考查双曲线的定义,通过对定义的考查,求出周长,属于基础题.
16.(5分)为了考察某校各班参加课外小组的人数,从全校随机抽取5个班级,把每个班级参加该小组的人数作为样本数据,已知样本平均数为7,样本方差为4,且样本数据互不相同,则样本数据中的最大值为 10 .
【分析】
本题可运用平均数公式求出平均数,再运用方差的公式列出方差表达式,再讨论样本数据中的最大值的情况,即可解决问题.
【解答】解:设样本数据为:x1,x2,x3,x4,x5,
平均数=(x1+x2+x3+x4+x5)÷5=7;
方差s2=[(x1﹣7)2+(x2﹣7)2+(x3﹣7)2+(x4﹣7)2+(x5﹣7)2]÷5=4.
从而有x1+x2+x3+x4+x5=35,①
(x1﹣7)2+(x2﹣7)2+(x3﹣7)2+(x4﹣7)2+(x5﹣7)2=20.②
若样本数据中的最大值为11,不妨设x5=11,则②式变为:
(x1﹣7)2+(x2﹣7)2+(x3﹣7)2+(x4﹣7)2=4,由于样本数据互不相同,这是不可能成立的;
若样本数据为4,6,7,8,10,代入验证知①②式均成立,此时样本数据中的最大值为 10.
故答案为:10.
【点评】本题考查的是平均数和方差的求法.计算方差的步骤是:①计算数据的平均数;②计算偏差,即每个数据与平均数的差;③计算偏差的平方和;④偏差的平方和除以数据个数.
三、解答题
17.(12分)设向量,,.
(1)若,求x的值;
(2)设函数,求f(x)的最大值.
【分析】(1)由条件求得,的值,再根据以及x的范围,可的sinx的值,从而求得x的值.
(2)利用两个向量的数量积公式以及三角恒等变换化简函数f(x)的解析式为sin(2x﹣)+.结合x的范围,利用正弦函数的定义域和值域求得f(x)的最大值.
【解答】解:(1)由题意可得 =+sin2x=4sin2x,=cos2x+sin2x=1,
由,可得 4sin2x=1,即sin2x=.
∵x∈[0,],∴sinx=,即x=.
(2)∵函数=(sinx,sinx)•(cosx,sinx)=sinxcosx+sin2x=sin2x+=sin(2x﹣)+.
x∈[0,],∴2x﹣∈[﹣,],
∴当2x﹣=,sin(2x﹣)+取得最大值为1+=.
【点评】本题主要考查两个向量的数量积的运算,三角函数的恒等变换及化简求值,正弦函数的定义域和值域,属于中档题.
18.(12分)如图,AB是圆O的直径,PA⊥圆O所在的平面,C是圆O上的点.
(1)求证:BC⊥平面PAC;
(2)若Q为PA的中点,G为△AOC的重心,求证:QG∥平面PBC.
【分析】(1)由PA⊥圆所在的平面,可得PA⊥BC,由直径对的圆周角等于90°,可得BC⊥AC,根据直线和平面垂直
的判定定理可得结论.
(2)连接OG并延长交AC于点M,则由重心的性质可得M为AC的中点.利用三角形的中位线性质,证明OM∥BC,
QM∥PC,可得平面OQM∥平面PBC,从而证明QG∥平面PBC.
【解答】解:(1)AB是圆O的直径,PA⊥圆所在的平面,可得PA⊥BC,
C是圆O上的点,由直径对的圆周角等于90°,可得BC⊥AC.
再由AC∩PA=A,利用直线和平面垂直的判定定理可得BC⊥平面PAC.
(2)若Q为PA的中点,G为△AOC的重心,连接OG并延长交AC于点M,
连接QM,则由重心的性质可得M为AC的中点.
故OM是△ABC的中位线,QM是△PAC的中位线,故有OM∥BC,QM∥PC.
而OM和QM是平面OQM内的两条相交直线,AC和BC是平面PBC内的两条相交直线,
故平面OQM∥平面PBC.
又QG⊂平面OQM,∴QG∥平面PBC.
【点评】本题主要考查直线和平面垂直的判定定理、直线和平面平行的判定定理的应用,属于中档题.
19.(12分)现有6道题,其中4道甲类题,2道乙类题,张同学从中任取2道题解答.
(1)所取的2道题都是甲类题的概率;
(2)所取的2道题不是同一类题的概率.
【分析】(1)根据题意,设事件A为“都是甲类题”,由组合数原理,可得试验结果总数与A包含的基本事件数目,由古典概率公式计算可得答案,
(2)设事件B为“所取的2道题不是同一类题”,分析可得是组合问题,由组合公式,可得从6件中抽取2道的情况数目与抽出的2道是一个甲类题,一个乙类题的情况数目,由古典概率公式计算可得答案.
【解答】解:(1)从中任取2道题解答,试验结果有=15种;
设事件A为“所取的2道题都是甲类题”,则包含的基本事件共有C=6种,
因此,P(A)=.
(2)设事件B为“所取的2道题不是同一类题”,
从6件中抽取2道,有C62种情况,
而抽出的2道是一个甲类题,一个乙类题的情况数目,有C41•C21=8种情况,
根据古典概型的计算,有P(B)=.
【点评】本题考查组合的运用以及古典概型的概率的计算,属于基础题.
20.(12分)如图,抛物线C1:x2=4y,C2:x2=﹣2py(p>0),点M(x0,y0
)在抛物线C2上,过M作C1的切线,切点为A,B(M为原点O时,A,B重合于O),当x0=1﹣时,切线MA的斜率为﹣.
(Ⅰ)求P的值;
(Ⅱ)当M在C2上运动时,求线段AB中点N的轨迹方程(A,B重合于O时,中点为O).
【分析】(Ⅰ)利用导数的几何意义,先表示出切线方程,再由M在抛物线上及在直线上两个前提下,得到相应的方程,解出p值.
(Ⅱ)由题意,可先设出A,B两个端点的坐标及中点的坐标,再由中点坐标公式建立方程,直接求解出中点N的轨迹方程
【解答】解:(Ⅰ)因为抛物线C1:x2=4y上任意一点(x,y)的切线斜率为y′=,且切线MA的斜率为﹣,
所以设A点坐标为(x,y),得,解得x=﹣1,y==,点A的坐标为(﹣1,),
故切线MA的方程为y=﹣(x+1)+
因为点M(1﹣,y0)在切线MA及抛物线C2上,于是
y0=﹣(2﹣)+=﹣①
∴y0=﹣=﹣②
解得p=2
(Ⅱ)设N(x,y),A(x1,),B(x2,),x1≠x2
,由N为线段AB中点知x=③,y==④
切线MA,MB的方程为y=(x﹣x1)+,⑤;y=(x﹣x2)+⑥,
由⑤⑥得MA,MB的交点M(x0,y0)的坐标满足x0=,y0=
因为点M(x0,y0)在C2上,即x02=﹣4y0,所以x1x2=﹣⑦
由③④⑦得x2=y,x≠0
当x1=x2时,A,B丙点重合于原点O,A,B中点N为O,坐标满足x2=y
因此中点N的轨迹方程为x2=y
【点评】本题考查直线与圆锥曲线的关系,此类题运算较繁,解答的关键是合理引入变量,建立起相应的方程,本题探索性强,属于能力型题
21.(12分)(1)证明:当x∈[0,1]时,;
(2)若不等式对x∈[0,1]恒成立,求实数a的取值范围.
【分析】(1)记F(x)=sinx﹣x,可求得F′(x)=cosx﹣,分x∈(0,)与x∈(,1)两类讨论,可证得当x∈[0,1]时,F(x)≥0,即sinx≥x;记H(x)=sinx﹣x,同理可证当x∈(0,1)时,sinx≤x,二者结合即可证得结论;
(2)利用(1),可求得当x∈[0,1]时,ax+x2++2(x+2)cosx﹣4≤(a+2)x,分a≤﹣2与a>﹣2讨论即可求得实数a的取值范围.
【解答】(1)证明:记F(x)=sinx﹣x,则F′(x)=cosx﹣.
当x∈(0,)时,F′(x)>0,F(x)在[0,]上是增函数;
当x∈(,1)时,F′(x)<0,F(x)在[,1]上是减函数;
又F(0)=0,F(1)>0,所以当x∈[0,1]时,F(x)≥0,即sinx≥x,
记H(x)=sinx﹣x,则当x∈(0,1)时,H′(x)=cosx﹣1<0,所以H(x)在[0,1]上是减函数;则H(x)≤H(0)=0,
即sinx≤x.
综上,x≤sinx≤x.
(2)∵当x∈[0,1]时,ax+x2++2(x+2)cosx﹣4
=(a+2)x+x2+﹣4(x+2)
≤(a+2)x+x2+﹣4(x+2)
=(a+2)x,
∴当a≤﹣2时,不等式ax+x2++2(x+2)cosx≤4对x∈[0,1]恒成立,
下面证明,当a>﹣2时,不等式ax+x2++2(x+2)cosx≤4对x∈[0,1]不恒成立.
∵当x∈[0,1]时,ax+x2++2(x+2)cosx﹣4
=(a+2)x+x2+﹣4(x+2)
≥(a+2)x+x2+﹣4(x+2)
=(a+2)x﹣x2﹣
≥(a+2)x﹣x2
=﹣x[x﹣(a+2)].
所以存在x0∈(0,1)(例如x0取和中的较小值)满足
ax0+++2(x0+2)cosx0﹣4>0,
即当a>﹣2时,不等式ax+x2++2(x+2)cosx≤4对x∈[0,1]不恒成立.
综上,实数a的取值范围是(﹣∞,﹣2].
【点评】本题考查不等式的证明,突出考查利用导数研究函数的单调性及函数恒成立问题,考查分类讨论思想与等价转化思想的综合应用,属于难题.
请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
22.(10分)(选修4﹣1几何证明选讲)
如图,AB为⊙O的直径,直线CD与⊙O相切于E,AD垂直CD于D,BC垂直CD于C,EF垂直于AB于F,连接AE,BE,证明:
(1)∠FEB=∠CEB;
(2)EF2=AD•BC.
【分析】(1)直线CD与⊙O相切于E,利用弦切角定理可得∠CEB=∠EAB.由AB为⊙O的直径,可得∠AEB=90°.又EF⊥AB,利用互余角的关系可得∠FEB=∠EAB,从而得证.
(2)利用(1)的结论及∠ECB=90°=∠EFB和EB公用可得△CEB≌△FEB,于是CB=FB.同理可得△ADE≌△AFE,AD=AF.在Rt△AEB中,由EF⊥AB,利用射影定理可得EF2=AF•FB.等量代换即可.
【解答】证明:(1)∵直线CD与⊙O相切于E,∴∠CEB=∠EAB.
∵AB为⊙O的直径,∴∠AEB=90°.
∴∠EAB+∠EBA=90°.
∵EF⊥AB,∴∠FEB+∠EBF=90°.
∴∠FEB=∠EAB.
∴∠CEB=∠EAB.
(2)∵BC⊥CD,∴∠ECB=90°=∠EFB,
又∠CEB=∠FEB,EB公用.
∴△CEB≌△FEB.
∴CB=FB.
同理可得△ADE≌△AFE,∴AD=AF.
在Rt△AEB中,∵EF⊥AB,∴EF2=AF•FB.
∴EF2=AD•CB.
【点评】熟练掌握弦切角定理、直角三角形的互为余角的关系、三角形全等的判定与性质、射影定理等是解题的关键.
23.在直角坐标系xOy中以O为极点,x轴正半轴为极轴建立坐标系.圆C1,直线C2的极坐标方程分别为ρ=4sinθ,ρcos()=2.
(Ⅰ)求C1与C2交点的极坐标;
(Ⅱ)设P为C1的圆心,Q为C1与C2交点连线的中点,已知直线PQ的参数方程为(t∈R为参数),求a,b的值.
【分析】(I)先将圆C1,直线C2化成直角坐标方程,再联立方程组解出它们交点的直角坐标,最后化成极坐标即可;
(II)由(I)得,P与Q点的坐标分别为(0,2),(1,3),从而直线PQ的直角坐标方程为x﹣y+2=0,由参数方程可得y=x﹣+1,从而构造关于a,b的方程组,解得a,b的值.
【解答】解:(I)圆C1,直线C2的直角坐标方程分别为 x2+(y﹣2)2=4,x+y﹣4=0,
解得或,
∴C1与C2交点的极坐标为(4,).(2,).
(II)由(I)得,P与Q点的坐标分别为(0,2),(1,3),
故直线PQ的直角坐标方程为x﹣y+2=0,
由参数方程可得y=x﹣+1,
∴,
解得a=﹣1,b=2.
【点评】本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程、把参数方程化为普通方程的方法,方程思想的应用,属于基础题.
24.已知函数f(x)=|x﹣a|,其中a>1
(1)当a=2时,求不等式f(x)≥4﹣|x﹣4|的解集;
(2)已知关于x的不等式|f(2x+a)﹣2f(x)|≤2的解集{x|1≤x≤2},求a的值.
【分析】(1)当a=2时,f(x)≥4﹣|x﹣4|可化为|x﹣2|+|x﹣4|≥4,直接求出不等式|x﹣2|+|x﹣4|≥4的解集即可.
(2)设h(x)=f(2x+a)﹣2f(x),则h(x)=.由|h(x)|≤2解得,它与1≤x≤2等价,然后求出a的值.
【解答】解:(1)当a=2时,f(x)≥4﹣|x﹣4|可化为|x﹣2|+|x﹣4|≥4,
当x≤2时,得﹣2x+6≥4,解得x≤1;
当2<x<4时,得2≥4,无解;
当x≥4时,得2x﹣6≥4,解得x≥5;
故不等式的解集为{x|x≥5或x≤1}.
(2)设h(x)=f(2x+a)﹣2f(x),则h(x)=
由|h(x)|≤2得,
又已知关于x的不等式|f(2x+a)﹣2f(x)|≤2的解集{x|1≤x≤2},
所以,
故a=3.
【点评】本题是中档题,考查绝对值不等式的解法,注意分类讨论思想的应用,考查计算能力,常考题型.
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