2006年辽宁省高考数学试卷（文科）【附答案、word版本，可再编辑；B4纸型两栏】 8页

‎2006年辽宁省高考数学试卷（文科）‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1. 函数y=sin(‎1‎‎2‎x+3)‎的最小正周期是（ ）‎ A.π‎2‎ B.π C.‎2π D.‎‎4π ‎2. 设集合A={1, 2}‎，则满足A∪B={1, 2, 3}‎的集合B的个数是（ ）‎ A.‎1‎ B.‎3‎ C.‎4‎ D.‎‎8‎ ‎3. 设f(x)‎是R上的任意函数，则下列叙述正确的是（ ）‎ A.f(x)f(-x)‎是奇函数 B.f(x)|f(-x)|‎是奇函数 C.f(x)-f(-x)‎是偶函数 D.f(x)+f(-x)‎是偶函数 ‎4. C‎6‎‎1‎‎+C‎6‎‎2‎+C‎6‎‎3‎+C‎6‎‎4‎+‎C‎6‎‎5‎的值为（ ）‎ A.‎61‎ B.‎62‎ C.‎63‎ D.‎‎64‎ ‎5. 方程‎2x‎2‎-5x+2=0‎的两个根可分别作为(        )‎ A.一椭圆和一双曲线的离心率 B.两抛物线的离心率 C.一椭圆和一抛物线的离心率 D.两椭圆的离心率 ‎6. 给出下列四个命题：‎ ‎①垂直于同一直线的两条直线互相平行．‎ ‎②垂直于同一平面的两个平面互相平行．‎ ‎③若直线l‎1‎，l‎2‎与同一平面所成的角相等，则l‎1‎，l‎2‎互相平行．‎ ‎④若直线l‎1‎，l‎2‎是异面直线，则与l‎1‎，l‎2‎都相交的两条直线是异面直线．‎ 其中假命题的个数是（ ）‎ A.‎1‎ B.‎2‎ C.‎3‎ D.‎‎4‎ ‎7. 双曲线x‎2‎‎-y‎2‎=4‎的两条渐近线与直线x=3‎围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是（ ）‎ A.x-y≥0‎x+y≥0‎‎0≤x≤3‎ B.‎x-y≥0‎x+y≤0‎‎0≤x≤3‎ C.x-y≤0‎x+y≤0‎‎0≤x≤3‎ D.‎x-y≤0‎x+y≥0‎‎0≤x≤3‎ ‎8. 设‎⊕‎是R上的一个运算，A是R的非空子集，若对任意a，b∈A，有a⊕b∈A，则称A对运算‎⊕‎封闭．下列数集对加法、减法、乘法和除法（除数不等于零）四则运算都封闭的是（ ）‎ A.自然数集 B.整数集 C.有理数集 D.无理数集 ‎9. ‎△ABC的三内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，设向量p‎→‎‎=(a+c,b)‎，q‎→‎‎=(b-a,c-a)‎，若p‎→‎‎ // ‎q‎→‎，则角C的大小为(        )‎ A.π‎6‎ B.π‎3‎ C.π‎2‎ D.‎‎2π‎3‎ ‎10. 已知等腰‎△ABC的腰为底的‎2‎倍，则顶角A的正切值是（ ）‎ A.‎3‎‎2‎ B.‎3‎ C.‎15‎‎8‎ D.‎‎15‎‎7‎ ‎11. 与函数y=e‎2x-2ex+1(x≥0)‎的曲线关于直线y=x对称的曲线的方程为（ ）‎ A.y=ln(1+x)‎ B.y=ln(1-x)‎ C.y=-ln(1+x)‎ D.‎y=-ln(1-x)‎ ‎12. 曲线x‎2‎‎10-m‎+y‎2‎‎6-m=1(m<6)‎与曲线x‎2‎‎5-m‎+y‎2‎‎9-m=1(50‎，则g(g(‎1‎‎2‎))=‎________．‎ ‎15. 如图，半径为‎2‎的半球内有一内接正六棱锥P-ABCDEF，则此正六棱锥的侧面积是 ‎ 8 / 8‎ ‎________．‎ ‎16. ‎5‎名乒乓球队员中，有‎2‎名老队员和‎3‎名新队员．现从中选出‎3‎名队员排成‎1‎，‎2‎，‎3‎号参加团体比赛，则入选的‎3‎名队员中至少有‎1‎名老队员，且‎1‎，‎2‎号中至少有‎1‎名新队员的排法有________种．（以数作答）‎ 三、解答题（共6小题，满分74分）‎ ‎17. 已知函数f(x)=sin‎2‎x+2sinxcosx+3cos‎2‎x，x∈R，求：‎ ‎（1）函数f(x)‎的最大值及取得最大值的自变量x的集合；‎ ‎（2）函数f(x)‎的单调增区间．‎ ‎18. 甲、乙两班各派‎2‎名同学参加年级数学竞赛，参赛同学成绩及格的概率都为‎0.6‎，且参赛同学的成绩相互之间没有影响，求：‎ ‎（1）甲、乙两班参赛同学中各有‎1‎名同学成绩及格的概率；‎ ‎（2）甲、乙两班参赛同学中至少有‎1‎名同学成绩及格的概率．‎ ‎19. 已知正方形ABCD，E，F分别是AB，CD的中点，将‎△ADE沿DE折起，如图所示，记二面角A-DE-C的大小为θ(0<θ<π)‎．‎ ‎(1)‎证明：BF // ‎平面ADE；‎ ‎(2)‎若‎△ACD为正三角形，试判断点A在平面BCDE内的射影G是否在直线EF上，证明你的结论，并求角θ的正弦值．‎ ‎ 8 / 8‎ ‎20. 已知等差数列‎{an}‎的前n项和为Sn‎=pn‎2‎-2n+q(p, q∈R)‎，n∈‎N‎+‎．‎ ‎（1）求的q值；‎ ‎（2）若a‎1‎与a‎5‎的等差中项为‎18‎，bn满足an‎=2‎log‎2‎bn，求数列‎{bn}‎的前n和Tn．‎ ‎21. 已知函数f(x)=‎1‎‎3‎ax‎3‎+(a+d)x‎2‎+(a+2d)x+d，g(x)=ax‎2‎+2(a+2d)x+a+4d，其中a>0‎，d>0‎，设x‎0‎为f(x)‎的极小值点，x‎1‎为g(x)‎的极值点，g(x‎2‎)=g(x‎3‎)=0‎，并且x‎2‎‎<‎x‎3‎，将点（x‎0‎‎, f(x‎0‎)‎），‎(x‎1‎, g(x‎1‎)‎，‎(x‎2‎, 0)(x‎3‎, 0)‎依次记为A，B，C，D．‎ ‎（1）求x‎0‎的值；‎ ‎（2）若四边形ABCD为梯形且面积为‎1‎，求a，d的值．‎ ‎22. 已知点A(x‎1‎, y‎1‎)‎，B(x‎2‎, y‎2‎)(x‎1‎x‎2‎≠0)‎是抛物线y‎2‎‎=2px(p>0)‎上的两个动点，O是坐标原点，向量OA‎→‎，OB‎→‎满足‎|OA‎→‎+OB‎→‎|=|OA‎→‎-OB‎→‎|‎，设圆C的方程为x‎2‎‎+y‎2‎-(x‎1‎+x‎2‎)x-(y‎1‎+y‎2‎)y=0‎．‎ ‎（1）证明线段AB是圆C的直径；‎ ‎（2）当圆C的圆心到直线x-2y=0‎的距离的最小值为‎2‎‎5‎‎5‎时，求p的值．‎ ‎ 8 / 8‎ ‎ 8 / 8‎ 参考答案与试题解析 ‎2006年辽宁省高考数学试卷（文科）‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1.D ‎2.C ‎3.D ‎4.B ‎5.A ‎6.D ‎7.A ‎8.C ‎9.B ‎10.D ‎11.A ‎12.A 二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）‎ ‎13.‎‎5‎ ‎14.‎‎1‎‎2‎ ‎15.‎‎6‎‎7‎ ‎16.‎‎48‎ 三、解答题（共6小题，满分74分）‎ ‎17.解：（1）解法一：∵ ‎f(x)=‎1-cos2x‎2‎+sin2x+‎3(1+cos2x)‎‎2‎=2+sin2x+cos2x=2+‎2‎sin(2x+π‎4‎)‎ ‎∴ 当‎2x+π‎4‎=2kπ+‎π‎2‎，即x=kπ+π‎8‎(k∈Z)‎时，f(x)‎取得最大值‎2+‎‎2‎．‎ 因此，f(x)‎取得最大值的自变量x的集合是‎{x|x=kπ+π‎8‎，k∈Z}‎．‎ 解法二：∵ ‎f(x)=(sin‎2‎x+cos‎2‎x)+sin2x+2cos‎2‎x=1+sin2x+1+cos2x=2+‎2‎sin(2x+π‎4‎)‎ ‎∴ 当‎2x+π‎4‎=2kπ+‎π‎2‎，即x=kπ+π‎8‎(k∈Z)‎时，f(x)‎取得最大值‎2+‎‎2‎．‎ 因此，f(x)‎取得最大值的自变量x的集合是‎{x|x=kπ+π‎8‎，k∈Z}‎ ‎（2）解：‎f(x)=2+‎2‎sin(2x+π‎4‎)‎ 由题意得‎2kπ-π‎2‎≤2x+π‎4‎≤2kπ+π‎2‎(k∈Z)‎，即kπ-‎3‎‎8‎π≤x≤kπ+π‎8‎(k∈Z)‎．‎ 因此，f(x)‎的单调增区间是‎[kπ-‎3π‎8‎，kπ+π‎8‎](k∈Z)‎．‎ ‎18.解：（1）∵ 甲班参赛同学恰有‎1‎名同学成绩及格的概率为C‎2‎‎1‎‎×0.6×0.4=0.48‎ 乙班参赛同学中恰有一名同学成绩及格的概率为C‎2‎‎1‎‎×0.6×0.4=0.48‎ 由于参赛同学的成绩相互之间没有影响，是相互独立的，‎ ‎∴ 甲、乙两班参赛同学中各有‎1‎名同学成绩及格的概率为 P=0.48×0.48=0.2304‎ ‎（2）解法一：甲、乙两班‎4‎名参赛同学成绩都不及格的概率为‎0.4‎‎4‎‎=0.0256‎ 故甲、乙两班参赛同学中至少有一名同学成绩都及格的概率为 P=1-0.0256=0.9744‎ 解法二：甲、乙两班参赛同学有一人成绩及格的概率为C‎4‎‎1‎‎×0.6×0.4=0.1536‎ 甲、乙两班参赛同学中恰有‎2‎名同学成绩及格的概率为C‎4‎‎2‎‎×‎0.6‎‎2‎×‎0.4‎‎2‎=0.3456‎ 甲、乙两班参赛同学中恰有‎3‎名同学成绩及格的概率为C‎4‎‎2‎‎×‎0.6‎‎2‎×‎0.4‎‎2‎=0.3456‎ 甲、乙两班‎4‎同学参赛同学成绩都及格的概率为‎0.6‎‎4‎‎=0.1296‎ 故甲、乙两班参赛同学中至少有‎1‎名同学成绩及格的概率为 P=0.1536+0.3456+0.3456+0.1296=0.9744‎ ‎19.‎(1)‎证明：E，F分别为正方形ABCD的边AB，CD的中点，‎ ‎∵ EB // FD，且EB=FD，‎ ‎∴ 四边形EBFD为平行四边形．‎ ‎ 8 / 8‎ ‎∴ ‎BF // ED ‎∵ ED⊂‎平面AED，而BF⊄‎平面AED ‎∴ BF // ‎平面ADE．‎ ‎(2)‎解：如图，点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上，‎ 过点A作AG垂直于平面BCDE，垂足为G，连接GC，GD．‎ ‎∵ ‎△ACD为正三角形，‎ ‎∴ AC=AD.‎ ‎∴ CG=GD.‎ ‎∵ G在CD的垂直平分线上，‎ ‎∴ 点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上，‎ 过G作GH垂直于ED于H，连接AH，则AH⊥DE，‎ 所以‎∠AHG为二面角A-DE-C的平面角．‎ 即‎∠AHG=θ.‎ 设原正方体的边长为‎2a，连接AF.‎ 在折后图的‎△AEF中，AF=‎3‎a，EF=2AE=2a，‎ 即‎△AEF为直角三角形，AG⋅EF=AE⋅AF.‎ ‎∴ AG=‎3‎‎2‎a.‎ 在Rt△ADE中，AH⋅DE=AE⋅AD.‎ ‎∴ AH=‎2‎‎5‎a.‎ ‎∴ GH=‎a‎2‎‎5‎.‎ cosθ=GHAH=‎‎1‎‎4‎‎．‎ 即sinθ=‎‎15‎‎4‎.‎ ‎20.解：（1）当n=1‎时，‎a‎1‎‎=S‎1‎=p-2+q 当n≥2‎时，‎an‎=Sn-Sn-1‎=pn‎2‎-2n+q-p(n-1‎)‎‎2‎+2(n-1)-q=2pn-p-2‎ ‎∵ ‎{an}‎是等差数列，a‎1‎符合n≥2‎时，an的形式，‎ ‎∴ p-2+q=2p-p-2‎，‎ ‎∴ ‎q=0‎ ‎（2）∵ a‎3‎‎=‎a‎1‎‎+‎a‎5‎‎2‎，由题意得a‎3‎‎=18‎ 又a‎3‎‎=6p-p-2‎，∴ ‎6p-p-2=18‎，解得p=4‎ ‎∴ ‎an‎=8n-6‎ 由an‎=2‎log‎2‎bn，得bn‎=‎‎2‎‎4n-3‎．‎ ‎∴ b‎1‎‎=2，bn+1‎bn=‎2‎‎4(n+1)-3‎‎2‎‎4n-3‎=‎2‎‎4‎=16‎，即‎{bn}‎是首项为‎2‎，公比为‎16‎的等比数列 ‎∴ 数列‎{bn}‎的前n项和Tn‎=‎2(1-‎16‎n)‎‎1-16‎=‎2‎‎15‎(‎16‎n-1)‎．‎ ‎21.解：（1）f'(x)=ax‎2‎+2(a+d)x+a+2d=(x+1)(ax+a+2d)‎，‎ 令f'(x)=0‎，‎ 由a≠0‎得x=-1‎或x=-1-‎‎2da ‎∵ a>0‎，d>0‎．‎ ‎∴ ‎‎-1-‎2da<-1‎ 当‎-1-‎2da-1‎时f'(x)>0‎，‎ 所以f(x)‎在x=-1‎处取极小值，即x‎0‎‎=-1‎ ‎（2）解：‎g(x)=ax‎2‎+(2a+4d)x+a+4d ‎∵ a>0‎，‎x∈R ‎ 8 / 8‎ ‎∴ g(x)‎在x=-‎2a+4d‎2a=-1-‎‎2da处取得极小值，即x‎1‎‎=-1-‎‎2da，‎ 由g(x)=0‎，即‎(ax+a+4d)(x+1)=0‎，‎ ‎∵ a>0‎，d>0‎，x‎2‎‎<‎x‎3‎，‎ ‎∴ x‎3‎‎=-1，x‎2‎=-1-‎‎4da，‎ ‎∵ ‎f(x‎0‎)=f(-1)=-‎1‎‎3‎a g(x‎1‎)=g(-1-‎2da)=-‎‎4‎d‎2‎a ‎∴ A(-1,-‎1‎‎3‎a)‎，B(-1-‎2da，-‎4‎d‎2‎a)‎，C(-1-‎4da，0)‎，‎D(-1, 0)‎ 由四边形ABCD是梯形及BC与AD不平行，得AB // CD．‎ ‎-a‎3‎=-‎‎4‎d‎2‎a即a‎2‎‎=12‎d‎2‎ 由四边形ABCD的面积为‎1‎，得‎1‎‎2‎‎(|AB|+|CD|)⋅|AD|=1‎ 即‎1‎‎2‎‎(‎4da+‎2da)⋅a‎3‎=1‎得d=1‎，‎ 从而a‎2‎‎=12‎得a=2‎‎3‎，‎d=1‎ ‎22.解：（1）∵ 向量OA‎→‎，OB‎→‎满足‎|OA‎→‎+OB‎→‎|=|OA‎→‎-OB‎→‎|‎，‎ ‎∴ ‎‎(OA‎→‎+OB‎→‎‎)‎‎2‎=(OA‎→‎-‎OB‎→‎‎)‎‎2‎ 即OA‎→‎‎2‎‎+2OA‎→‎⋅OB‎→‎+OB‎→‎‎2‎=OA‎→‎‎2‎-2OA‎→‎⋅OB‎→‎+‎OB‎→‎‎2‎ 整理得OA‎→‎‎⋅OB‎→‎=0‎ ‎∵ 点A(x‎1‎, y‎1‎)‎，‎B(x‎2‎, y‎2‎)‎ ‎∴ OA‎→‎‎=(x‎1‎, y‎1‎)‎，‎OB‎→‎‎=(x‎2‎, y‎2‎)‎ ‎∴ x‎1‎x‎2‎‎+y‎1‎y‎2‎=0‎①‎ 设点M(x, y)‎是以线段AB为直径的圆上的任意一点，‎ 则MA‎→‎‎⋅MB‎→‎=0‎ 即‎(x-x‎1‎)(x-x‎2‎)+(y-y‎1‎)(y-y‎2‎)=0‎ 展开上式并将 ①代入得x‎2‎‎+y‎2‎-(x‎1‎+x‎2‎)x-(y‎1‎+y‎2‎)y=0‎ 故线段AB是圆C的直径．‎ ‎(II)‎设圆C的圆心为C(x, y)‎，‎ 则x=‎x‎1‎‎+‎x‎2‎‎2‎，‎y=‎y‎1‎‎+‎y‎2‎‎2‎ ‎∵ y‎1‎‎2‎‎=2px‎1‎，y‎2‎‎2‎‎=2px‎2‎(p>0)‎，‎ ‎∴ ‎x‎1‎x‎2‎‎=‎y‎1‎‎2‎y‎2‎‎2‎‎4‎p‎2‎ 又∵ ‎x‎1‎x‎2‎‎+y‎1‎y‎2‎=0‎ ‎∴ ‎x‎1‎x‎2‎‎=-‎y‎1‎y‎2‎ ‎∴ ‎‎-y‎1‎y‎2‎=‎y‎1‎‎2‎y‎2‎‎2‎‎4‎p‎2‎ ‎∴ ‎y‎1‎y‎2‎‎=-4‎p‎2‎ ‎∴ ‎x=x‎1‎‎+‎x‎2‎‎2‎=‎1‎‎4p(y‎1‎‎2‎+y‎2‎‎2‎)‎ ‎=‎1‎‎4p(y‎1‎‎2‎+y‎2‎‎2‎+2y‎1‎y‎2‎)-‎y‎1‎y‎2‎‎2p ‎=‎1‎p(y‎2‎+2p‎2‎)‎ ‎∴ 圆心的轨迹方程为：‎y‎2‎‎=px-2‎p‎2‎ 设圆心C到直线x-2y=0‎的距离为d，则 d=‎‎|x-2y|‎‎5‎ ‎=‎‎|‎1‎p(y‎2‎+2p‎2‎)-2y|‎‎5‎ ‎=‎‎|(y-p‎)‎‎2‎+p‎2‎|‎‎5‎p 当y=p时，d有最小值p‎5‎，‎ 由题设得p‎5‎‎=‎‎2‎‎5‎‎5‎ ‎ 8 / 8‎ ‎∴ ‎p=2‎ ‎ 8 / 8‎