2007年山东省高考数学试卷（文科）【附答案、word版本，可再编辑；B4纸型两栏】 7页

‎2007年山东省高考数学试卷（文科）‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1. 复数‎4+3i‎1+2i的实部是（ ）‎ A.‎-2‎ B.‎2‎ C.‎3‎ D.‎‎4‎ ‎2. 已知集合M={-1, 1}‎，N={x|‎1‎‎2‎<‎2‎x+1‎<4，x∈Z}‎，则M∩N=(‎ ‎‎)‎ A.‎{-1, 1}‎ B.‎{-1}‎ C.‎{0}‎ D.‎‎{-1, 0}‎ ‎3. 下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是‎(‎        ‎‎)‎ A.①② B.①③ C.①④ D.②④‎ ‎4. 为了得到函数y=sin(2x-π‎6‎)‎的图象，可以将函数y=cos2x的图象(        )‎ A.向右平移π‎6‎个单位长度 B.向右平移π‎3‎个单位长度 C.向左平移π‎6‎个单位长度 D.向左平移π‎3‎个单位长度 ‎5. 已知a‎→‎‎=(1, n)‎，b‎→‎‎=(-1, n)‎，若‎2a‎→‎-‎b‎→‎与b‎→‎垂直，则‎|a‎→‎|=(‎ ‎‎)‎ A.‎1‎ B.‎2‎ C.‎2‎ D.‎‎4‎ ‎6. 给出下列三个等式：f(xy)=f(x)+f(y)‎，f(x+y)=f(x)f(y)‎，f(x+y)=‎f(x)+f(y)‎‎1-f(x)f(y)‎．下列函数中不满足其中任何一个等式的是（ ）‎ A.f(x)=‎‎3‎x B.f(x)=sinx C.f(x)=log‎2‎x D.‎f(x)=tanx ‎7. 命题“对任意的x∈R，x‎3‎‎-x‎2‎+1≤0‎”的否定是（ ）‎ A.不存在x∈R，x‎3‎‎-x‎2‎+1≤0‎ B.存在x∈R，‎x‎3‎‎-x‎2‎+1≤0‎ C.对任意的x∈R，x‎3‎‎-x‎2‎+1>0‎ D.存在x∈R，‎x‎3‎‎-x‎2‎+1>0‎ ‎8. 某班‎50‎名学生在一次百米测试中，成绩全部介于‎13‎秒与‎19‎秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：每一组，成绩大于等于‎13‎秒且小于‎14‎秒；第二组，成绩大于等于‎14‎秒且小于‎15‎秒；…第六组，成绩大于等于‎18‎秒且小于等于‎19‎秒．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．设成绩小于‎17‎秒的学生人数占全班人数的百分比为x，成绩大于等于‎15‎秒且小于‎17‎秒的学生人数为y，则从频率分布直方图中可以分析出x和y分别为（ ）‎ A.‎0.9‎，‎35‎ B.‎0.9‎，‎45‎ C.‎0.1‎，‎35‎ D.‎0.1‎，‎‎45‎ ‎9. 设O是坐标原点，F是抛物线y‎2‎‎=2px(p>0)‎的焦点，A是抛物线上的一点，FA‎→‎与x轴正向的夹角为‎60‎‎∘‎，则‎|OA‎→‎|‎为（ ）‎ A.‎21p‎4‎ B.‎21‎p‎2‎ C.‎13‎‎6‎p D.‎‎13‎‎36‎p ‎10. 阅读右边的程序框图，若输入的n是‎100‎，则输出的变量S和T的值依次是（ ）‎ ‎ 7 / 7‎ A.‎2550‎，‎2500‎ B.‎2550‎，‎2550‎ C.‎2500‎，‎2500‎ D.‎2500‎，‎‎2550‎ ‎11. 设函数y=‎x‎3‎与y=(‎‎1‎‎2‎‎)‎x-2‎的图象的交点为‎(x‎0‎, y‎0‎)‎，则x‎0‎所在的区间是（ ）‎ A.‎(0, 1)‎ B.‎(1, 2)‎ C.‎(2, 3)‎ D.‎‎(3, 4)‎ ‎12. 设集合A={1, 2}‎，B={1, 2, 3}‎，分别从集合A和B中随机取一个数a和b，确定平面上的一个点P(a, b)‎，记“点P(a, b)‎落在直线x+y=n上”为事件Cn‎(2≤n≤5, n∈N)‎，若事件Cn的概率最大，则n的所有可能值为（ ）‎ A.‎3‎ B.‎4‎ C.‎2‎和‎5‎ D.‎3‎和‎4‎ 二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）‎ ‎13. 设函数f‎1‎‎(x)=‎x‎1‎‎2‎，f‎2‎‎(x)=‎x‎-1‎，f‎3‎‎(x)=‎x‎2‎，则f‎1‎（f‎2‎（f‎3‎‎(2009)‎））‎=‎________．‎ ‎14. 已知函数y=loga(x-1)+1(a>0‎，且a≠1)‎的图象恒过定点A，若点A在一次函数y=mx+n的图象上，其中m>0，n>0，则‎1‎m+‎‎2‎n最小值为________．‎ ‎15. 当x∈(1, 2)‎时，不等式x‎2‎‎+mx+4<0‎恒成立，则m的取值范围是________．‎ ‎16. 与直线x+y-2=0‎和曲线x‎2‎‎+y‎2‎-12x-12y+54=0‎都相切的半径最小的圆的标准方程是________．‎ 三、解答题（共6小题，满分74分）‎ ‎17. 在‎△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，tanC=3‎‎7‎．‎ ‎（1）求cosC的值；‎ ‎（2）若CB‎→‎‎⋅CA‎→‎=‎‎5‎‎2‎，且a+b=9‎，求c的长．‎ ‎18. 设‎{an}‎是公比大于‎1‎的等比数列，Sn为数列‎{an}‎的前n项和．已知S‎3‎‎=7‎，且a‎1‎‎+3‎，‎3‎a‎2‎，a‎3‎‎+4‎构成等差数列．‎ ‎（1）求数列‎{an}‎的通项公式．‎ ‎（2）令bn‎=lna‎3n+1‎，n=1‎，‎2‎，…，求数列‎{bn}‎的前n项和Tn．‎ ‎ 7 / 7‎ ‎19. 本公司计划‎2008‎年在甲、乙两个电视台做总时间不超过‎300‎分钟的广告，广告总费用不超过‎9‎万元．甲、乙电视台的广告收费标准分别为‎500‎元/分钟和‎200‎元/分钟．假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为‎0.3‎万元和‎0.2‎万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？‎ ‎20. 如图，在直四棱柱ABCD-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎D‎1‎中，已知DC＝DD‎1‎＝‎2AD＝‎2AB，AD⊥DC，AB // DC．‎ ‎（1）求证：D‎1‎C⊥AC‎1‎；‎ ‎（2）设E是DC上一点，试确定E的位置，使D‎1‎E // ‎平面A‎1‎BD，并说明理由．‎ ‎ 7 / 7‎ ‎21. 设函数f(x)=ax‎2‎+blnx，其中ab≠0‎．‎ 证明：当ab>0‎时，函数f(x)‎没有极值点；当ab<0‎时，函数f(x)‎有且只有一个极值点，并求出极值．‎ ‎22. 已知椭圆C中心在原点、焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点的最大值为‎3‎，最小值为‎1‎．‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）若直线l:y=kx+m(k≠0)‎与椭圆交于不同的两点M、N（M、N不是左、右顶点），且以MN为直径的圆经过椭圆的右顶点A．求证：直线l过定点，并求出定点的坐标．‎ ‎ 7 / 7‎ 参考答案与试题解析 ‎2007年山东省高考数学试卷（文科）‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1.B ‎2.B ‎3.D ‎4.B ‎5.C ‎6.B ‎7.D ‎8.A ‎9.B ‎10.A ‎11.B ‎12.D 二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）‎ ‎13.‎‎1‎‎2009‎ ‎14.‎‎8‎ ‎15.‎m≤-5‎ ‎16.‎‎(x-2‎)‎‎2‎+(y-2‎)‎‎2‎=2‎ 三、解答题（共6小题，满分74分）‎ ‎17.解：（1）∵ tanC=3‎‎7‎，∴ sinCcosC‎=3‎‎7‎．‎ 又∵ sin‎2‎C+cos‎2‎C=1‎，解得cosC=±‎‎1‎‎8‎．‎ ‎∵ tanC>0‎，∴ C是锐角．‎ ‎∴ cosC=‎‎1‎‎8‎．‎ ‎（2）∵ CB‎→‎‎⋅CA‎→‎=‎‎5‎‎2‎，‎ ‎∴ abcosC=‎‎5‎‎2‎．解得ab=20‎．‎ 又∵ a+b=9‎，∴ a‎2‎‎+b‎2‎=41‎．‎ ‎∴ c‎2‎‎=a‎2‎+b‎2‎-2abcosC=36‎．‎ ‎∴ c=6‎．‎ ‎18.解：（1）由已知得‎：‎a‎1‎‎+a‎2‎+a‎3‎=7‎‎(a‎1‎+3)+(a‎3‎+4)‎‎2‎‎=3a‎2‎.‎ 解得a‎2‎‎=2‎．‎ 设数列‎{an}‎的公比为q，由a‎2‎‎=2‎，‎ 可得a‎1‎‎=‎2‎q，a‎3‎=2q．‎ 又S‎3‎‎=7‎，可知‎2‎q‎+2+2q=7‎，‎ 即‎2q‎2‎-5q+2=0‎，‎ 解得q‎1‎‎=2，q‎2‎=‎‎1‎‎2‎ 由题意得q>1‎，‎ ‎∴ q=2‎，‎ ‎∴ a‎1‎‎=1‎．故数列‎{an}‎的通项为an‎=‎‎2‎n-1‎．‎ ‎（2）由于bn‎=lna‎3n+1‎，n=1‎，‎2‎，‎ 由（1）得a‎3n+1‎‎=‎‎2‎‎3n，‎ ‎∴ bn‎=ln‎2‎‎3n=3nln2‎，又bn+1‎‎-bn=3ln2‎，‎ ‎∴ ‎{bn}‎是等差数列．‎ ‎∴ ‎Tn‎=b‎1‎+b‎2‎++‎bn ‎=‎n(b‎1‎+bn)‎‎2‎ ‎=‎n(3ln2+3nln2)‎‎2‎ ‎ 7 / 7‎ ‎=‎3n(n+1)‎‎2‎ln2‎‎．‎ 故Tn‎=‎3n(n+1)‎‎2‎ln2‎．‎ ‎19.该公司在甲电视台做‎100‎分钟广告，在乙电视台做‎200‎分钟广告，公司的收益最大，最大收益是‎70‎万元．‎ ‎20.证明：在直四棱柱ABCD-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎D‎1‎中，‎ 连接C‎1‎D，∵ DC＝DD‎1‎，‎ ‎∴ 四边形DCC‎1‎D‎1‎是正方形．∴ DC‎1‎⊥D‎1‎C．‎ 又AD⊥DC，AD⊥DD‎1‎，DC∩DD‎1‎＝D，‎ ‎∴ AD⊥‎平面DCC‎1‎D‎1‎，D‎1‎C⊂‎平面DCC‎1‎D‎1‎，‎ ‎∴ AD⊥D‎1‎C．∵ AD，DC‎1‎⊂‎平面ADC‎1‎，‎ 且AD∩DC＝D，∴ D‎1‎C⊥‎平面ADC‎1‎，‎ 又AC‎1‎⊂‎平面ADC‎1‎，∴ D‎1‎C⊥AC‎1‎．‎ 连接AD‎1‎，连接AE，‎ 设AD‎1‎∩A‎1‎D＝M，BD∩AE＝N，连接MN，∵ 平面AD‎1‎E∩‎平面A‎1‎BD＝MN，‎ 要使D‎1‎E // ‎平面A‎1‎BD，‎ 须使MN // D‎1‎E，‎ 又M是AD‎1‎的中点．∴ N是AE的中点．‎ 又易知‎△ABN≅△EDN，∴ AB＝DE．‎ 即E是DC的中点．‎ 综上所述，当E是DC的中点时，可使D‎1‎E // ‎平面A‎1‎BD．‎ ‎21.证明：因为f(x)=ax‎2‎+blnx，ab≠0‎，所以f(x)‎的定义域为‎(0, +∞)‎．f‎'‎‎(x)=2ax+bx=‎‎2ax‎2‎+bx．‎ 当ab>0‎时，如果a>0‎，b>0‎，f‎'‎‎(x)>0‎，f(x)‎在‎(0, +∞)‎上单调递增；‎ 如果a<0‎，b<0‎，f‎'‎‎(x)<0‎，f(x)‎在‎(0, +∞)‎上单调递减．‎ 所以当ab>0‎，函数f(x)‎没有极值点．‎ 当ab<0‎时，‎f'(x)=‎‎2a(x+‎-‎b‎2a)(x-‎-‎b‎2a)‎x 令f‎'‎‎(x)=0‎，‎ 得x‎1‎‎=-‎-‎b‎2a∉(0,+∞)‎（舍去），x‎2‎‎=‎-‎b‎2a∈(0,+∞)‎，‎ 当a>0‎，b<0‎时，f‎'‎‎(x)‎，f(x)‎随x的变化情况如下表：‎ ‎ 7 / 7‎ x ‎(0, ‎-‎b‎2a)‎ ‎ ‎‎-‎b‎2a ‎(‎-‎b‎2a, +∞)‎ f'(x)‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ f(x)‎ ‎↘‎ ‎ 极小值 ‎↗‎ 从上表可看出，‎ 函数f(x)‎有且只有一个极小值点，极小值为f(‎-‎b‎2a)=-b‎2‎[1-ln(-b‎2a)]‎．‎ 当a<0‎，b>0‎时，f‎'‎‎(x)‎，f(x)‎随x的变化情况如下表：‎ x ‎(0, ‎-‎b‎2a)‎ ‎-‎b‎2a ‎(‎-‎b‎2a, +∞)‎ f'(x)‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ f(x)‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 从上表可看出，‎ 函数f(x)‎有且只有一个极大值点，极大值为f(‎-‎b‎2a)=-b‎2‎[1-ln(-b‎2a)]‎．‎ 综上所述，‎ 当ab>0‎时，函数f(x)‎没有极值点；‎ 当ab<0‎时，‎ 若a>0‎，b<0‎时，函数f(x)‎有且只有一个极小值点，极小值为‎-b‎2‎[1-ln(-b‎2a)]‎．‎ 若a<0‎，b>0‎时，函数f(x)‎有且只有一个极大值点，极大值为‎-b‎2‎[1-ln(-b‎2a)]‎．‎ ‎22.解：（1）设椭圆的长半轴为a，半焦距为c，‎ 则a+c=3‎a-c=1‎解得a=2‎c=1‎ ‎∴ 椭圆C的标准方程为x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎‎3‎=1‎．‎ ‎（2）由方程组x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎‎3‎=1‎y=kx+m消去y，‎ 得‎(3+4k‎2‎)x‎2‎+8kmx+4m‎2‎-12=0‎ 由题意：‎‎△=(8km‎)‎‎2‎-4(3+4k‎2‎)(4m‎2‎-12)>0‎ 整理得：‎3+4k‎2‎-m‎2‎>0‎ ①‎ 设M(x‎1‎, y‎1‎)‎、N(x‎2‎, y‎2‎)‎，‎ 则x‎1‎‎+x‎2‎=-‎‎8km‎3+4‎k‎2‎，‎x‎1‎x‎2‎‎=‎‎4m‎2‎-12‎‎3+4‎k‎2‎ 由已知，AM⊥AN，且椭圆的右顶点为A(2, 0)‎ ‎∴ ‎‎(x‎1‎-2)(x‎2‎-2)+y‎1‎y‎2‎=0‎ 即‎(1+k‎2‎)x‎1‎x‎2‎+(km-2)(x‎1‎+x‎2‎)+m‎2‎+4=0‎ 也即‎(1+k‎2‎)⋅‎4m‎2‎-12‎‎3+4‎k‎2‎+(km-2)⋅‎-8km‎3+4‎k‎2‎+m‎2‎+4=0‎ 整理得：‎‎7m‎2‎+16mk+4k‎2‎=0‎ 解得：m=-2k或m=-‎‎2k‎7‎，均满足①‎ 当m=-2k时，直线l的方程为y=kx-2k，过定点‎(2, 0)‎，舍去 当m=-‎‎2k‎7‎时，直线l的方程为y=k(x-‎2‎‎7‎)‎，过定点‎(‎2‎‎7‎，0)‎，‎ 故直线l过定点，且定点的坐标为‎(‎2‎‎7‎，0)‎．‎ ‎ 7 / 7‎