高中数学第五章一元函数的导数及其应用章末整合课件新人教A版选择性必修第二册 39页

章末整合 专题一 　 导数的几何意义   例 1 已知函数 f ( x ) =x 3 +x- 16 . (1) 求曲线 y=f ( x ) 在点 (2, - 6) 处的切线方程 ; (2) 直线 l 为曲线 y=f ( x ) 的切线 , 且经过原点 , 求直线 l 的方程及切点坐标 ; (3) 如果曲线 y=f ( x ) 的某一切线与直线 y =- x+ 3 垂直 , 求切点坐标与切线的方程 . 解 : (1) ∵ f' ( x ) = ( x 3 +x- 16) '= 3 x 2 + 1, ∴ f ( x ) 在点 (2, - 6) 处的切线的斜率为 k=f' (2) = 13 . ∴ 切线的方程为 y= 13( x- 2) + ( - 6), 即 y= 13 x- 32 . (2) 法一 : 设切点为 ( x 0 , y 0 ), ∴ x 0 =- 2 . ∴ y 0 = ( - 2) 3 + ( - 2) - 16 =- 26 . k= 3 × ( - 2) 2 + 1 = 13 . ∴ 直线 l 的方程为 y= 13 x , 切点坐标为 ( - 2, - 26) . 法二 : 设直线 l 的方程为 y=kx , 切点为 ( x 0 , y 0 ), ∴ y 0 = ( - 2) 3 + ( - 2) - 16 =- 26 . k= 3 × ( - 2) 2 + 1 = 13 . ∴ 直线 l 的方程为 y= 13 x , 切点坐标为 ( - 2, - 26) . ∴ 切线的斜率 k= 4 . 设切点坐标为 ( x 0 , y 0 ), 即切点为 (1, - 14) 或 ( - 1, - 18) . 切线方程为 y= 4( x- 1) - 14 或 y= 4( x+ 1) - 18 . 即 y= 4 x- 18 或 y= 4 x- 14 . 规律方法 1 . 导数的几何意义的应用 : 利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程 y-y 0 =f' ( x 0 )( x-x 0 ), 明确 “ 过点 P ( x 0 , y 0 ) 的曲线 y=f ( x ) 的切线方程 ” 与 “ 在点 P ( x 0 , y 0 ) 处的曲线 y=f ( x ) 的切线方程 ” 的异同点 . 2 . 围绕着切点有三个等量关系 : 已知切点 ( x 0 , y 0 ), 则 (1) k=f' ( x 0 );(2) y 0 =f ( x 0 );(3)( x 0 , y 0 ) 满足切线方程 . 变式训练 1 曲线 y= e sin x 在 (0,1) 处的切线与直线 l 平行 , 且与 l 的距离 为 , 求直线 l 的方程 . m=- 1 或 3 . ∴ 直线 l 的方程为 : x-y- 1 = 0 或 x-y+ 3 = 0 . 专题二 　 利用导数研究函数的单调性问题   例 2 (1) f ( x ) 是定义在 (0, +∞ ) 上的非负可导函数 , 且满足 xf' ( x ) -f ( x ) ≤ 0, 对任意正数 a , b , 若 a 0, 函数 f ( x ) 在 (0, +∞ ) 上单调递增 . 当 a< 0 时 , 令 g ( x ) =ax 2 + (2 a+ 2) x+a , 由于 Δ= (2 a+ 2) 2 - 4 a 2 = 4(2 a+ 1), 所以 x ∈ (0, x 1 ) 时 , g ( x ) < 0, f' ( x ) < 0, 函数 f ( x ) 单调递减 , x ∈ ( x 1 , x 2 ) 时 , g ( x ) > 0, f' ( x ) > 0, 函数 f ( x ) 单调递增 , x ∈ ( x 2 , +∞ ) 时 , g ( x ) < 0, f' ( x ) < 0, 函数 f ( x ) 单调递减 , 综上 , 当 a ≥ 0 时 , 函数 f ( x ) 在 (0, +∞ ) 上单调递增 ; 规律方法 (1) 解决问题的过程中 , 只能在函数的定义域内进行 . (2) 在划分函数的单调区间时 , 除了必须确定使导数等于 0 的点外 , 还要注意定义区间内的不连续点或不可导点 . 此外 , 求得的根要判断是否在定义域中 . (3) 涉及含参数的函数的单调性或单调区间问题 , 一定要弄清参数对导数在某一区间内的符号是否有影响 . 若有影响 , 则必须分类讨论 . 变式训练 2 (1) 已知函数 f ( x ) =x e kx - 1, g ( x ) = ln x+kx , 若 f ( x ) 在 (1, +∞ ) 上为减函数 , g ( x ) 在 (0,1) 上为增函数 , 求实数 k 的值 ; (2) 已知函数 f ( x ) =- a ( x- 1) 2 +x- ln x , 其中 a> 0, 求函数 f ( x ) 的单调区间 . 当 a= 1 时 , f' ( x ) ≤ 0 在 (0, +∞ ) 内恒成立 , 所以 f ( x ) 在 (0, +∞ ) 内单调递减 , 无单调递增区间 ; 专题三 　 利用导数研究函数的极值、最大 ( 小 ) 值问题   解 : (1) f' ( x ) = 3 x 2 + 3(1 -a ) x- 3 a= 3( x-a )( x+ 1), 令 f' ( x ) = 0, 解得 x 1 =- 1, x 2 =a , 因为 a> 0, 所以 x 1 0, x 取足够小的负数时 , 有 f ( x ) < 0, 所以曲线 y=f ( x ) 与 x 轴至少有一个交点 . 变式训练 4 已知函数 f ( x ) =x 3 +ax 2 +b 的图象上一点 P (1,0) 且在点 P 处的切线与直线 3 x+y= 0 平行 . (1) 求函数 f ( x ) 的解析式 ; (2) 求函数 f ( x ) 在区间 [0, t ](0 0, f ( x ) 在区间 (64,640) 内为增函数 , 所以 f ( x ) 在 x= 64 处取得最小值 . 专题五 　 导数的综合应用   角度 1 　 利用导数研究方程的根 ( 函数的零点 ) 例 5 设 a 为实数 , 函数 f ( x ) =x 3 -x 2 -x+a. (1) 求 f ( x ) 的极值 ;(2) 若方程 f ( x ) = 0 只有一个实数根 , 求实数 a 的取值范围 . 解 : (1) 由已知得 f' ( x ) = 3 x 2 - 2 x- 1, 令 f' ( x ) = 0, 得 x =- 或 x= 1, 当 x 变化时 , f' ( x ), f ( x ) 变化情况如下表 : 规律总结根据方程的根求参数的解题策略 方程 f ( x ) = 0 的根 , 就是函数 y=f ( x ) 的零点 , 以及 y=f ( x ) 图象与 x 轴交点的横坐标 . 因此与方程的根 ( 函数的零点 ) 有关的参数范围问题 , 往往利用导数研究函数的单调区间与极值点 , 并结合特殊点 , 得到函数的大致图象 , 结合图象讨论它与 x 轴的位置关系 , 进而确定参数的取值范围 . 变式训练 6 设函数 f ( x ) =x 3 - 6 x+ 5, x ∈ R . (1) 求 f ( x ) 的极值点 ; (2) 若关于 x 的方程 f ( x ) =a 有 3 个不同实根 , 求实数 a 的取值范围 ; (3) 已知当 x ∈ (1, +∞ ) 时 , f ( x ) ≥ k ( x- 1) 恒成立 , 求实数 k 的取值范围 . (3) 法一 : f ( x ) ≥ k ( x- 1), 即 ( x- 1)( x 2 +x- 5) ≥ k ( x- 1), 因为 x> 1, 所以 k ≤ x 2 +x- 5 在 (1, +∞ ) 上恒成立 , 令 g ( x ) =x 2 +x- 5, 由二次函数的性质得 g ( x ) 在 ( 1, +∞ ) 上是增函数 , 所以 g ( x ) >g (1) =- 3, 所以所求 k 的取值范围为 ( -∞ , - 3] . 法二 : 直线 y=k ( x- 1) 过定点 (1,0) 且 f (1) = 0, 曲线 f ( x ) 在点 (1,0) 处切线斜率 f' (1) =- 3, 由 (2) 中草图知要使 x ∈ (1, +∞ ) 时 , f ( x ) ≥ k ( x- 1) 恒成立需 k ≤ - 3 . 故实数 k 的取值范围为 ( -∞ , - 3] . 角度 2 　 利用导数研究不等式问题 例 6 已知 f ( x ) =x ln x , g ( x ) =x 3 +ax 2 -x+ 2 . (1) 求函数 f ( x ) 的单调区间 ; (2) 若对任意 x ∈ (0, +∞ ),2 f ( x ) ≤ g' ( x ) + 2 恒成立 , 求实数 a 的取值范围 . 分析 : (1) 可通过解不等式 f' ( x ) > 0 和 f' ( x ) < 0 得到单调区间 ;(2) 先将不等式进行参数分离 , 把待求范围的参数 a 移至不等式的一边 , 再利用导数求另一边函数的最值 , 从而求得参数的取值范围 . 解 : (1) ∵ 函数 f ( x ) =x ln x 的定义域为 (0, +∞ ), ∴ f' ( x ) = ln x+ 1 . 当 x 变化时 , h' ( x ), h ( x ) 的变化情况如下表 : ∴ 当 x= 1 时 , h ( x ) 取得最大值 , 且 h ( x ) max =h (1) =- 2, ∴ 若 a ≥ h ( x ) 在 x ∈ (0, +∞ ) 上恒成立 , 则 a ≥ h ( x ) max =- 2, 即 a ≥ - 2, 故 a 的取值范围是 [ - 2, +∞ ) . 规律方法不等式恒成立问题的解法 有关不等式的恒成立问题 , 一般是转化为求函数的最值问题 . 求解时 , 要确定这个函数 , 看哪一个变量的范围已知 , 即函数应该是以已知范围的变量为自变量的函数 , 然后利用导数研究其最值 , 最后求得参数的取值范围 . 一般地 , λ ≥ f ( x ) 恒成立 ⇔ λ ≥ f ( x ) max ; λ ≤ f ( x ) 恒成立 ⇔ λ ≤ f ( x ) min . 变式训练 7 已知函数 f ( x ) = x 3 - x 2 +bx+c . (1) 若 f ( x ) 有极值 , 求 b 的取值范围 ; (2) 当 f ( x ) 在 x= 1 处取得极值时 , 试证明对 [ - 1,2] 内的任意两个值 x 1 , x 2 , 都有 |f ( x 1 ) -f ( x 2 ) | ≤ .