高考数学一轮复习核心素养测评十四3-2利用导数研究函数的单调性文含解析北师大版 8页

核心素养测评十四　利用导数研究函数的单调性 ‎(30分钟　60分)‎ 一、选择题(每小题5分,共25分)‎ ‎1.函数y=f(x)=x3-x2+的图像大致是 (　　)‎ ‎【解析】选A.因为f(0)=,所以排除C;因为f′(x)=3x2-2x,令f′(x)>0,所以 x∈(-∞,0)或 x∈时f(x)单调递增,令f′(x)<0,所以x∈时f(x)单调递减,排除B,D.‎ ‎2.下列函数中,在(0,+∞)上为增函数的是 (　　)‎ A.f(x)=sin 2x B.f(x)=xex C.f(x)=x3-x　　　 D.f(x)=-x+ln x ‎【解析】选B.对于A,f(x)=sin 2x的单调递增区间是(k∈Z);对于B,f′(x)=ex(x+1),当x∈(0,+∞)时,f′(x)>0,所以函数f(x)=xex在(0,+∞)上为增函数;对于C,f′(x)=3x2-1,令f′(x)>0,得x>或x<-,所以函数f(x)=x3-x在和上单调递增;对于D,f′(x)=-1+=-,令f′(x)>0,得00‎ C.a≤0 D.a<0‎ ‎【解析】选A.因为f(x)==ax-,‎ 所以f′(x)=a+.‎ 因为函数f(x)=在(0,+∞)上单调递增,‎ 所以f′(x)=a+≥0在(0,+∞)上恒成立且不恒为零,即a≥-在(0,+∞)上恒成立且不恒为零,所以a≥0.‎ ‎　【变式备选】‎ ‎　　 若函数f(x)=kex+x在(0,+∞)上单调递减,则k的范围为 (　　)‎ A.k≥-1 　　　　　　　 B.k≤-1‎ C.k≥1 D.k≤1‎ ‎【解析】选B.f′(x)=kex+1.‎ 由题意得kex+1≤0在(0,+∞)上恒成立,‎ 即k≤-,x∈(0,+∞).‎ 当x∈(0,+∞)时,-∈(-1,0),‎ 所以k≤-1.‎ ‎5.(2020·南昌模拟)已知函数f(x+1)是偶函数,当x∈(1,+∞)时,函数f(x)=sin x-x,设a=f,b=f(3),c=f(0),则a,b,c的大小关系为 世纪金榜导学号(　　)‎ A.b-时,f ′(x)<0,当00,所以f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为.‎ 答案:　‎ ‎8.(2020·西安模拟)已知函数f(x)=ax3+bx2的图像经过点M(1,4),曲线在点M处的切线恰好与直线x+9y=0垂直.若函数f(x)在区间[m,m+1]上单调递增,则m的取值范围是　　　　. 世纪金榜导学号 ‎ ‎【解析】因为f(x)=ax3+bx2的图像经过点M(1,4),‎ 所以a+b=4,①‎ f′(x)=3ax2+2bx,则f′(1)=‎3a+2b.‎ 由题意可得f′(1)·=-1,即‎3a+2b=9.②‎ 联立①②两式解得a=1,b=3,‎ 所以f(x)=x3+3x2,f′(x)=3x2+6x.‎ 令f′(x)=3x2+6x≥0,得x≥0或x≤-2.‎ 因为函数f(x)在区间[m,m+1]上单调递增,‎ 所以[m,m+1]⊆(-∞,-2]∪[0,+∞),‎ 所以m≥0或m+1≤-2,即m≥0或m≤-3.‎ 答案:(-∞,-3]∪[0,+∞)‎ 三、解答题(每小题10分,共20分)‎ ‎9.已知函数f(x)=x3+ax2+bx(a,b∈R)的图像过点P(1,2),且在点P处的切线斜率为8.‎ ‎(1)求a,b的值.‎ ‎(2)求函数f(x)的单调区间.‎ ‎【解析】(1)因为函数f(x)的图像过点P(1,2),‎ 所以f(1)=2.所以a+b=1.①‎ 又函数图像在点P处的切线斜率为8,‎ 所以f ′(1)=8.又f ′(x)=3x2+2ax+b,所以‎2a+b=5.②‎ 解由①②组成的方程组,可得a=4,b=-3.‎ ‎(2)由(1)得f ′(x)=3x2+8x-3,‎ 令f ′(x)>0,可得x<-3或x>;‎ 令f ′(x)<0,可得-30,‎ 函数f(x)在R上单调递增;‎ ‎②当a>0时,由f′(x)=ex-a=0得x=ln a,‎ 所以当x∈(-∞,ln a)时,f′(x)<0,f(x)单调递减,‎ 当x∈(ln a,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增.‎ 综上,当a≤0时,函数f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞);‎ 当a>0时,函数f(x)的单调递增区间为(ln a,+∞),单调递减区间为(-∞,ln a).‎ ‎(15分钟　35分)‎ ‎1.(5分)(2020·南昌模拟)已知函数f(x)=xsin x,x1,x2∈,且f(x1)0 B.x1+x2>0‎ C.->0 D.-<0‎ ‎【解析】选D.由f(x)=xsin x,得f′(x)=sin x+xcos x=cos x(tan x+x),当x∈时,f′(x)>0,即f(x)在上是增加的,又因为f(-x)=-xsin(-x)=xsin x=f(x),所以f(x)为偶函数,所以当f(x1)2时,F(x)<0,即f(x)0,即f(x)>x+4.‎ 答案:(2,+∞)‎ ‎　　【变式备选】‎ ‎　　 函数f(x)的定义域为R,f(-1)=2,对任意x∈R,f′(x)>2,则f(x)>2x+4的解集为　　　　 . ‎ ‎【解析】由f(x)>2x+4,得f(x)-2x-4>0,设F(x)=f(x)-2x-4,则F′(x)=f′(x)-2,因为f′(x)>2,所以F′(x)>0在R上恒成立,所以F(x)在R上单调递增,而F(-1)=f(-1)-2×(-1)-4=2+2-4=0,故不等式f(x)-2x-4>0等价于F(x)>F(-1),所以x>-1.‎ 答案:(-1,+∞)‎ ‎4.(10分)已知函数f(x)=x3-ax-1. 世纪金榜导学号 ‎(1)若f(x)在区间(1,+∞)上为增函数,求a的取值范围.‎ ‎(2)若f(x)在区间(-1,1)上为减函数,求a的取值范围.‎ ‎(3)若f(x)的单调递减区间为(-1,1),求a的值.‎ ‎【解析】(1)因为f ′(x)=3x2-a,且f(x)在区间(1,+∞)上为增函数,所以f ′(x)≥0在(1,+∞)上恒成立,即3x2-a≥0在(1,+∞)上恒成立,所以a≤3x2在(1,+∞)上恒成立,所以a≤3,即a的取值范围是(-∞,3].‎ ‎(2)由题意得f ′(x)=3x2-a≤0在(-1,1)上恒成立,所以a≥3x2在(-1,1)上恒成立.因为-10.因为f(x)=x3-ax-1,所以f ′(x)=3x2-a.‎ 由f ′(x)=0,得x=±,‎ 因为f(x)在区间(-1,1)上单调递减,所以=1,即a=3.‎ ‎5.(10分)已知函数f(x)=ln x-(k∈R).讨论函数f(x)的单调性. 世纪金榜导学号 ‎【解析】因为f(x)=ln x-,函数f(x)的定义域为(0,+∞),‎ 所以f′(x)=+=,x>0.‎ 当k≥0时,f′(x)>0,‎ 所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.‎ 当k<0时,由f′(x)=0,得x=(负根舍去),‎ 当x∈(0,)时,f′(x)<0,当x∈(,+∞)时,f′(x)>0,‎ 所以函数f(x)在(0,)上单调递减;在(,+∞)上单调递增.‎ 综上所述,当k≥0时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;当k<0时,函数f(x)在(0,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增.‎ 定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足x‎2f′(x)+1>0,f(2)=,则不等式f(lg x)<+4的解集为 世纪金榜导学号(　　)‎ A.(10,100) B.(0,100)‎ C.(100,+∞)　　　 D.(1,100)‎ ‎【解析】选D.令g(x)=f(x)-,‎ 则g′(x)=f′(x)+>0,‎ g(x)在(0,+∞)上递增,‎ 而g(2)=f(2)- =4,‎ 故由f(lg x)<+4,得g(lg x)