2020高中数学 第三章函数的极值与导数 8页

‎3.3.2　‎函数的极值与导数 学习目标：1.了解极值的概念、理解极值与导数的关系．(难点)2.掌握利用导数求函数极值的步骤，能熟练地求函数的极值．(重点)3.会根据函数的极值求参数的值．(难点)‎ ‎[自 主 预 习·探 新 知]‎ ‎1．极小值点与极小值 若函数f(x)满足：‎ ‎(1)在x＝a附近其他点的函数值f(x)≥f(a)；‎ ‎(2)f′(a)＝0；‎ ‎(3)在x＝a附近的左侧f′(x)<0，在x＝a附近的右侧f′(x)>0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．‎ ‎2．极大值点与极大值 若函数f(x)满足： ‎ ‎(1)在x＝b附近其他点的函数值f(x)≤f(b)；‎ ‎(2)f′(b)＝0；‎ ‎(3)在x＝b附近的左侧f′(x)>0，在x＝b附近的右侧f′(x)<0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．‎ 思考：(1)区间[a，b]的端点a，b能作为极大值点或极小值点吗？‎ ‎(2)若函数f(x)在区间[a，b]内存在一点c，满足f′(c)＝0，则x＝c是函数f(x)的极大值点或极小值点吗？‎ ‎[提示]　(1)不能，极大值点和极小值点只能是区间内部的点．‎ ‎(2)不一定，若在点c的左右两侧f′(x)符号相同，则x＝c不是极大值点或极小值点，若在点c的左右两侧f′(x)的符号不同，则x＝c是函数f(x)的极大值点或极小值点．‎ ‎3．极值的定义 ‎(1)极小值点、极大值点统称为极值点．‎ ‎(2)极大值与极小值统称为极值．‎ ‎4．求函数y＝f(x)的极值的方法 解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时，‎ ‎(1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值. ‎ ‎(2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．‎ ‎[基础自测]‎ ‎1．思考辨析 ‎(1)导数值为0的点一定是函数的极值点． (　　)‎ ‎(2)函数的极大值一定大于极小值． (　　)‎ ‎(3)在可导函数的极值点处，切线与x轴平行或重合． (　　)‎ 8‎ ‎(4)函数f(x)＝有极值． (　　)‎ ‎[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×‎ ‎2．函数y＝x3＋1的极大值是(　　)‎ A．1　　　　B．‎0　‎　　　C．2　　　　D．不存在 D　[y′＝3x2≥0，则函数y＝x3＋1在R上是增函数，不存在极大值．]‎ ‎3．若x＝－2与x＝4是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点则有(　　) ‎ ‎【导学号：97792153】‎ A．a＝－2，b＝4 B．a＝－3，b＝－24‎ C．a＝1，b＝3 D．a＝2，b＝－4‎ B　[f′(x)＝3x2＋2ax＋b，依题意有x＝－2和x＝4是方程3x2＋2ax＋b＝0的两个根，所以有－＝－2＋4，＝－2×4，解得a＝－3，b＝－24.]‎ ‎[合 作 探 究·攻 重 难]‎ 求函数的极值 ‎　(1)已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋c，其导函数f′(x)的图象如图338所示，则函数f(x)的极小值是(　　)‎ 图338‎ A．a＋b＋c　　　 B．‎3a＋4b＋c C．‎3a＋2b D．c ‎(2)求下列函数的极值：‎ ‎①f(x)＝x3－x2－3x＋3；‎ ‎②f(x)＝－2.‎ ‎[解析]　(1)由f′(x)的图象知，当x<0时，f′(x)<0，‎ 当00，当x>2时，f′(x)<0‎ 因此当x＝0时，f(x)有极小值，且f(0)＝c，故选D.‎ ‎[答案] D ‎(2)①函数的定义域为R，f′(x)＝x2－2x－3.‎ 8‎ 令f′(x)＝0，得x＝3或x＝－1.‎ 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：‎ x ‎(－∞，－1)‎ ‎－1‎ ‎(－1,3)‎ ‎3‎ ‎(3，＋∞)‎ f′(x)‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f(x)‎ ↗‎ 极大值 ↘‎ 极小值－6‎ ↗‎ ‎∴x＝－1是f(x)的极大值点，x＝3是f(x)的极小值点，且f(x)极大值＝，f(x)极小值＝－6.‎ ‎②函数的定义域为R，‎ f′(x)＝＝－.‎ 令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1.‎ 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：‎ x ‎(－∞，－1)‎ ‎－1‎ ‎(－1,1)‎ ‎1‎ ‎(1，＋∞)‎ f′(x)‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ f(x)‎ ↘‎ 极小值－3‎ ‎↗ 极大值－1‎ ‎↘ 由表可以看出：‎ 当x＝－1时，函数f(x)有极小值，且f(－1)＝－2＝－3；‎ 当x＝1时，函数f(x)有极大值，且f(1)＝－2＝－1.‎ ‎[规律方法]　函数极值和极值点的求解步骤 ‎(1)确定函数的定义域. ‎ ‎(2)求方程f′(x)＝0的根．‎ ‎(3)用方程f′(x)＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格．‎ ‎(4)由f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况．‎ 提醒：当实数根较多时，要充分利用表格，使极值点的确定一目了然．‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎1．求下列函数的极值．‎ ‎(1)f(x)＝2x＋；‎ ‎(2)f(x)＝＋3ln x.‎ ‎[解]　(1)因为f(x)＝2x＋，‎ 所以函数的定义域为{x|x∈R且x≠0}，‎ 8‎ f′(x)＝2－，‎ 令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝2.‎ 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：‎ x ‎(－∞，－2)‎ ‎－2‎ ‎(－2,0)‎ ‎(0,2)‎ ‎2‎ ‎(2，＋∞)‎ f′(x)‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f(x)‎ ‎↗‎ 极大值－8‎ ‎↘‎ ‎↘‎ 极小值8‎ ‎↗‎ 因此，当x＝－2时，f(x)有极大值－8；‎ 当x＝2时，f(x)有极小值8.‎ ‎(2)函数f(x)＝＋3ln x的定义域为(0，＋∞)，‎ f′(x)＝－＋＝，‎ 令f′(x)＝0，得x＝1.‎ 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：‎ x ‎(0,1)‎ ‎1‎ ‎(1，＋∞)‎ f′(x)‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f(x)‎ ‎↘‎ 极小值3‎ ‎↗‎ 因此，当x＝1时，f(x)有极小值3，无极大值.‎ 已知函数的极值求参数范围(值)‎ ‎　已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1处有极值0，求a，b的值. ‎ ‎【导学号：97792154】‎ ‎[思路探究]　f(x)在x＝－1处有极值0有两方面的含义：一方面x＝－1为极值点，另一方面极值为0，由此可得f′(－1)＝0，f(－1)＝0.‎ ‎[解]　∵f′(x)＝3x2＋6ax＋b且函数f(x)在x＝－1处有极值0，‎ ‎∴即 解得或 当a＝1，b＝3时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，此时函数f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去．‎ 当a＝2，b＝9时，f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)．‎ 当x∈(－∞，－3)时，f′(x)＞0，此时f(x)为增函数；‎ 当x∈(－3，－1)时，f′(x)＜0，此时f(x)为减函数；‎ 当x∈(－1，＋∞)时，f′(x)＞0，此时f(x)为增函数．‎ 故f(x)在x＝－1处取得极小值．‎ 8‎ ‎∴a＝2，b＝9.‎ ‎[规律方法]　已知函数的极值情况求 参数时应注意两点 ‎(1)待定系数法：常根据极值点处导数为0和极值两条件列出方程组，用待定系数法求解．‎ ‎(2)验证：因为导数值为0不一定此点就是极值点，故利用上述方程组解出的解必须验证．‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎2．(1)函数f(x)＝x3－ax2－bx＋a2在x＝1时有极值10，则a，b的值为(　　)‎ A．a＝3，b＝－3或a＝－4，b＝11‎ B．a＝－4，b＝2或a＝－4，b＝11‎ C．a＝－4，b＝11‎ D．以上都不对 C　[f′(x)＝3x2－2ax－b.由题意知 解得或 当a＝3，b＝－3时，f′(x)＝3(x＋1)2≥0，不合题意，故a＝－4，b＝11.]‎ ‎(2)函数f(x)＝x3－x2＋ax－1有极值点，求a的取值范围．‎ ‎[解]　f′(x)＝x2－2x＋a，由题意，方程x2－2x＋a＝0有两个不同的实数根，所以Δ＝4－‎4a>0，解得a<1.所以a的取值范围为(－∞，1)．‎ 函数极值的综合应用 ‎[探究问题]‎ ‎1．如何画三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)的大致图象？‎ 提示：求出函数的极值点和极值，根据在极值点左右两侧的单调性画出函数的大致图象．‎ ‎2．三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋c(a≠0)的图象和x轴一定有三个交点吗？‎ 提示：不一定，三次函数的图象和x轴交点的个数和函数极值的大小有关，可能有一个也可能有两个或三个．‎ ‎　已知a为实数，函数f(x)＝－x3＋3x＋a ‎(1)求函数f(x)的极值，并画出其图象(草图)‎ ‎(2)当a为何值时，方程f(x)＝0恰好有两个实数根．‎ ‎[思路探究]　(1)求出函数f(x)的极值点和极值，结合函数在各个区间上的单调性画出函数的图象．‎ 8‎ ‎(2)当极大值或极小值恰好有一个为0时，方程f(x)＝0恰好有两个实数根．‎ ‎[解]　(1)由f(x)＝－x3＋3x＋a，‎ 得f′(x)＝－3x2＋3, ‎ 令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1.‎ 当x∈(－∞，－1)时，f′(x)<0；‎ 当x∈(－1,1)时，f′(x)>0；‎ 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0.‎ 所以函数f(x)的极小值为f(－1)＝a－2；极大值为f(1)＝a＋2.‎ 由单调性、极值可画出函数f(x)的大致图象，如图所示，‎ ‎(2)结合图象，当极大值a＋2＝0时，有极小值小于0，此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)＝0恰有两个实数根，所以a＝－2满足条件；当极小值a－2＝0时，有极大值大于0，此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)＝0恰好有两个实数根，所以a＝2满足条件．‎ 综上，当a＝±2时，方程恰有两个实数根．‎ 母题探究：1.本例中条件不变，试求当a为何值时，方程f(x)＝0有三个不等实根．‎ ‎[解]　由例题解析知，当即－2或x<－时，f′(x)>0；‎ 当－0，∴x＝－4时，y取到极小值－131，x＝4时，y取到极大值125.]‎ ‎4．已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是________．‎ ‎(－∞，－1)∪(2，＋∞)　[f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，‎ ‎∵函数f(x)既有极大值又有极小值，‎ 8‎ ‎∴方程f′(x)＝0有两个不相等的实根．‎ ‎∴Δ＝‎36a2－36(a＋2)＞0.‎ 即a2－a－2＞0，解之得a＞2或a＜－1.]‎ ‎5．已知函数f(x)＝ax2＋bln x在x＝1处有极值.‎ ‎(1)求a，b的值．‎ ‎(2)判断函数f(x)的单调区间，并求极值. ‎ ‎【导学号：97792155】‎ ‎[解]　(1)因为f(x)＝ax2＋bln x，‎ 所以f′(x)＝2ax＋.‎ 又函数f(x)在x＝1处有极值.‎ 故即 解得a＝，b＝－1.‎ ‎(2)由(1)可知f(x)＝x2－ln x.‎ 其定义域为(0，＋∞)．‎ 且f′(x)＝x－＝.‎ 令f′(x)＝0，则x＝－1(舍去)或x＝1.‎ 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表：‎ x ‎(0,1)‎ ‎1‎ ‎(1，＋∞)‎ f′(x)‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f(x)‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 所以函数f(x)的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1，＋∞)，且函数在定义域上只有极小值f(1)＝，无极大值．‎ 8‎