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- 2021-06-10 发布
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2019-2020学年广西钦州市高一(下)期末数学试卷
一、选择题(共12小题).
1.(5分)直线y=﹣x+1的倾斜角为( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
2.(5分)已知一个三棱锥的直观图如图(粗线部分)所示,则该三棱锥的三视图是( )
A.
B.
C.
- 14 -
D.
3.(5分)在等差数列{an}中,a1=﹣8,a3=0,则a6的值为( )
A.﹣12 B.﹣6 C.12 D.6
4.(5分)点P(2,4)与点Q关于直线l:y=﹣x+1对称,则点Q的坐标为( )
A.(﹣1,﹣2) B.(﹣1,﹣3) C.(2,0) D.(﹣3,﹣1)
5.(5分)圆柱的轴截面是边长为2的正方形,则圆柱的表面积为( )
A.6π B.7π C.8π D.9π
6.(5分)等比数列{an}的各项均为正数,且a3a6=e2,则lna1+lna2+……+lna8=( )
A.8 B.10 C.12 D.14
7.(5分)直线x+y﹣3=0被圆x2+y2﹣2y=3截得的弦MN的长为( )
A.2 B.3 C.2 D.2
8.(5分)设m,n为不同的两条直线,α,β为不同的两个平面,下列结论正确的是( )
A.若m⊂α,n⊂β,α∥β,则m∥n B.若m⊥α,n⊥β,α⊥β,则m⊥n
C.若m⊥α,n⊂β,α⊥β,则m∥n D.若m∥α,n∥β,m⊥n,则α⊥β
9.(5分)对于实数x,规定[x]表示不大于x的最大整数,若x满足不等式2x2﹣13x+15<0,则[x]的取值范围是( )
A.(,5) B.{2,3,4,5} C.{1,2,3,4} D.{1,2,3,4,5}
10.(5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知,则角B的大小为( )
A. B. C. D.
11.(5分)球O的截面把垂直于截面的直径分成1:3,若截面圆半径为,则球O的体积为( )
A.16π B. C. D.
- 14 -
12.(5分)已知圆C:x2+(y﹣4)2=1和两点A(﹣a,0),B(a,0)(a>0),若圆C上存在点M,满足MA⊥MB,则a的取值范围是( )
A.(3,4) B.[3,4] C.[3,5] D.[4,5]
二、填空题(共4小题).
13.(5分)若x>0,则函数f(x)=4x+的最小值是 .
14.(5分)已知△ABC三个顶点的直角坐标为分别为A(0,2),B(4,0),C(﹣1,﹣1),则AB边上的中线CM所在的直线方程为 .
15.(5分)已知等差数列{an}中,a1=9,a6=a2﹣8,则{an}的前n项和Sn的最大值为 .
16.(5分)如图,某测绘员为了测量一座垂直于地面的建筑物AB的高度,设计测量方案为先在地面选定距离为180米的C,D两点,然后在C处测得∠ACB=30°,∠BCD=75°,在D处测得∠BDC=45°,则此建筑物AB的高度为 米.
三、解答题(共6小题).
17.(10分)已知两直线l1:ax+3y+4=0和l2:x+(a﹣2)y+a2﹣5=0.
(1)若l1⊥l2,求实数a的值;
(2)若l1∥l2,求实数a的值.
18.(12分)已知不等式x2﹣mx+4<0的解集为{x|n<x<﹣1},
(1)求m,n的值;
(2)求不等式≥0的解集.
19.(12分)已知数列{an}中,前n项和Sn满足Sn=n2+2n,n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.
20.(12分)在锐角△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,且b=2csinB.
- 14 -
(1)求角C的大小;
(2)若c=,且a+b=3,求△ABC的面积.
21.(12分)如图,已知圆柱内有一个三棱锥A﹣BCD,AD为圆柱的一条母线,DF为下底面圆O的直径,O1为圆柱上底面圆的圆心.
(1)若点B为下底面圆弧上与D,F不重合的点,求证:BF⊥AB.
(2)若BC也为下底面圆O的直径,且与DF不重合,求证:O1F∥面ABC.
22.(12分)已知O为坐标原点,圆C的方程为:(x﹣1)2+y2=1,直线l过点M(0,3).
(1)若直线l与圆C有且只有一个公共点,求直线l的方程;
(2)若直线l与圆C交于不同的两点A,B,试问:直线OA与OB的斜率之和是否为定值,若是,求出该定值:若不是,说明理由.
- 14 -
参考答案
一、选择题(共12小题).
1.(5分)直线y=﹣x+1的倾斜角为( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
【分析】求出直线的斜率,然后求出直线的倾斜角即可.
解:因为直线y=﹣x+1的斜率为k=﹣,
所以直线的倾斜角为α,tanα=﹣,所以α=120°.
故选:C.
2.(5分)已知一个三棱锥的直观图如图(粗线部分)所示,则该三棱锥的三视图是( )
A.
B.
- 14 -
C.
D.
【分析】根据三视图的特点:长对正,高平齐,宽相等进行分析,依此画出该几何体的三视图即可.
解:根据三视图的画法,可得三视图如下,
故选:B.
3.(5分)在等差数列{an}中,a1=﹣8,a3=0,则a6的值为( )
A.﹣12 B.﹣6 C.12 D.6
【分析】由已知列式求得等差数列的公差,再由通项公式求得a6的值.
解:在等差数列{an}中,由a1=﹣8,a7=0,
得d=,
故选:C.
4.(5分)点P(2,4)与点Q关于直线l:y=﹣x+1对称,则点Q的坐标为( )
- 14 -
A.(﹣1,﹣2) B.(﹣1,﹣3) C.(2,0) D.(﹣3,﹣1)
【分析】设出Q点坐标,根据直线PQ与直线l互相垂直,以及线段PQ中点在直线l上,列出方程组,解出x,y即可.
解:设Q(x,y),则直线PQ⊥l,且线段PQ的中点在l上,
即﹣,解得,
故选:D.
5.(5分)圆柱的轴截面是边长为2的正方形,则圆柱的表面积为( )
A.6π B.7π C.8π D.9π
【分析】根据题意,可得h=2r=2,然后代入圆柱的表面积公式即可得答案.
解:设圆柱的底面半径为r,高为h,
由题可知,h=2r=2,
故选:A.
6.(5分)等比数列{an}的各项均为正数,且a3a6=e2,则lna1+lna2+……+lna8=( )
A.8 B.10 C.12 D.14
【分析】由已知结合等比数列的性质可得a1a2…a8的值,再由对数的运算性质即可求得lna1+lna2+……+lna8的值.
解:∵等比数列{an}的各项均为正数,且a3a6=e2,
由等比数列的性质可得:a6a8=a2a7=a4a5=a3a6=e2,
故选:A.
7.(5分)直线x+y﹣3=0被圆x2+y2﹣2y=3截得的弦MN的长为( )
A.2 B.3 C.2 D.2
【分析】根据题意,由圆的方程分析圆心以及半径,求出圆心到直线的距离,结合直线与圆的位置关系分析可得答案.
解:根据题意,圆x2+y2﹣2y=3,即x4+(y﹣1)2=5,其圆心为(0,1),半径r=2;
圆心到直线x+y﹣3=0的距离d==,
故MN=2;
故选:D.
8.(5分)设m,n为不同的两条直线,α,β为不同的两个平面,下列结论正确的是( )
- 14 -
A.若m⊂α,n⊂β,α∥β,则m∥n B.若m⊥α,n⊥β,α⊥β,则m⊥n
C.若m⊥α,n⊂β,α⊥β,则m∥n D.若m∥α,n∥β,m⊥n,则α⊥β
【分析】对于A,m与n平行或异面;对于B,由线面垂直、面面垂直的性质得m⊥n;对于C,m与n相交、平行或异面;对于D,α与β相交或平行.
解:由m,n为不同的两条直线,α,β为不同的两个平面,知:
对于A,若m⊂α,n⊂β,α∥β,则m与n平行或异面,故A错误;
对于C,若m⊥α,n⊂β,α⊥β,则m与n相交、平行或异面,故C错误;
故选:B.
9.(5分)对于实数x,规定[x]表示不大于x的最大整数,若x满足不等式2x2﹣13x+15<0,则[x]的取值范围是( )
A.(,5) B.{2,3,4,5} C.{1,2,3,4} D.{1,2,3,4,5}
【分析】求出不等式2x2﹣13x+15<0的解集,再根据题意求出[x]的取值范围.
解:不等式2x2﹣13x+15<0可化为(x﹣5)(2x﹣3)<0,
解得<x<5;
所以[x]的取值范围是{1,2,3,4}.
故选:C.
10.(5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知,则角B的大小为( )
A. B. C. D.
【分析】由已知结合余弦定理对已知进行化简,然后再结合余弦定理即可求解.
解:∵=2b×=,
整理可得,,
因为B为三角形的内角,故B=.
故选:D.
11.(5分)球O的截面把垂直于截面的直径分成1:3,若截面圆半径为,则球O的体积为( )
A.16π B. C. D.
- 14 -
【分析】由题意可得球心到截面的距离,由勾股定理求出球的半径,进而求出体积.
解:画出过球心的大圆,如图所示,则由题意可得O为球心,D为截面圆的圆心,且BD为截面圆的半径r=,OB为球的半径R,由题意DC=•2R=,则OD=,
在△ODB中:R2=()2+()2,解得R=2,
故选:D.
12.(5分)已知圆C:x2+(y﹣4)2=1和两点A(﹣a,0),B(a,0)(a>0),若圆C上存在点M,满足MA⊥MB,则a的取值范围是( )
A.(3,4) B.[3,4] C.[3,5] D.[4,5]
【分析】求出过两点A(﹣a,0)与B(a,0)(a>0)的圆的方程,与已知圆C的方程联立,结合y的范围求解a的范围.
解:由题意,过两点A(﹣a,0)与B(a,0)(a>0)的圆的方程为x2+y2=a2,
与圆C:x2+(y﹣4)2=1联立,可得a2=8y﹣15,
∴7≤a2≤25,又a>0,
∴a的取值范围是[3,5].
故选:C.
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13.(5分)若x>0,则函数f(x)=4x+的最小值是 16 .
【分析】根据基本不等式的性质求出函数的最小值即可.
解:∵x>0,
∴f(x)=4x+≥2=2×8=16,
故答案为:16.
14.(5分)已知△ABC三个顶点的直角坐标为分别为A(0,2),B(4,0),C(﹣1,﹣
- 14 -
1),则AB边上的中线CM所在的直线方程为 2x﹣3y﹣1=0 .
【分析】由中点坐标公式求得AB的中点M的坐标,结合B的坐标写出AC边上的中线所在直线的两点式,化为一般式得答案.
解:∵A(0,2),B(4,0),
∴AB的中点M的坐标为(8,1),又C(﹣1,﹣1),
整理为一般式为2x﹣3y﹣1=4.
故答案为:2x﹣3y﹣1=0.
15.(5分)已知等差数列{an}中,a1=9,a6=a2﹣8,则{an}的前n项和Sn的最大值为 25 .
【分析】根据题意,等差数列{an}的公差,进而可得数列的通项公式,分析可得当1≤n≤5时,an>0,当n≥6时,an<0,据此可得当n=5时,Sn取得最大值,由等差数列前n项和公式计算可得答案.
解:根据题意,等差数列{an}中,设其公差为d,
若a6=a2﹣8,则d==﹣2,
则有当1≤n≤5时,an>0,当n≥2时,an<0,
故答案为:25
16.(5分)如图,某测绘员为了测量一座垂直于地面的建筑物AB的高度,设计测量方案为先在地面选定距离为180米的C,D两点,然后在C处测得∠ACB=30°,∠BCD=75°,在D处测得∠BDC=45°,则此建筑物AB的高度为 30 米.
【分析】根据题意,利用正弦定理求得BC的长,再由直角三角形的边角关系求出AB的大小.
解:△BCD中,CD=180,∠BCD=75°,∠BDC=45°,
所以∠CBD=180°﹣75°﹣45°=60°,
- 14 -
解得BC==60;
所以AB=BC=30,
故答案为:30.
三、解答题:本大题共6题,共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)已知两直线l1:ax+3y+4=0和l2:x+(a﹣2)y+a2﹣5=0.
(1)若l1⊥l2,求实数a的值;
(2)若l1∥l2,求实数a的值.
【分析】(1)由两直线A1x+B1y+C1=0与A2x+B2y+C2=0垂直,可得A1A2+B1B2=0,由此列式求解a值;
(2)由两直线A1x+B1y+C1=0与A2x+B2y+C2=0平行,可得,由此列式求解a值.
解:(1)若l1⊥l2,则a×1+3×(a﹣8)=0,
解得a=,故所求实数a的值为;
解得a=7,故所求实数a的值为3.
18.(12分)已知不等式x2﹣mx+4<0的解集为{x|n<x<﹣1},
(1)求m,n的值;
(2)求不等式≥0的解集.
【分析】(1)根据不等式与对应方程的关系,列出方程组求得m、n的值;
(2)把m、n代入不等式求解解即可.
解:(1)不等式x2﹣mx+4<0的解集为{x|n<x<﹣1},
所以﹣1,n是方程x2﹣mx+4=0的两根,
解得,或 (舍去);
即为,
解得:;
- 14 -
所以不等式的解集为.
19.(12分)已知数列{an}中,前n项和Sn满足Sn=n2+2n,n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.
【分析】(1)利用已知条件通过an=Sn﹣Sn﹣1=2n+1,求解数列{an}的通项公式an.
(2)化简数列的通项公式,利用裂项相消法求解数列的和即可.
解:(1)∵,n∈N*…①…(1分)
当n=6时,a1=S1=3,…(2分)
②﹣①得an=Sn﹣Sn﹣1=2n+3,(n≥2)…(4分)
所以数列{an}的通项公式an=2n+1.n∈N*…(5分)
Tn=b1+b2+…+bn所以数列{bn}的前n项和=…(3分)
=…(11分)
20.(12分)在锐角△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,且b=2csinB.
(1)求角C的大小;
(2)若c=,且a+b=3,求△ABC的面积.
【分析】(1)根据正弦定理得到,进而可求得sinC,即可解出C;
(2)由余弦定理可得ab=1,结合三角形面积公式代入计算即可
解:(1)因为,
所以由正弦定理得,
又因为C是锐角,故C=60°;
所以5=(a+b)2﹣3ab=9﹣8ab
所以ab=1
则.
21.(12分)如图,已知圆柱内有一个三棱锥A﹣BCD,AD为圆柱的一条母线,DF为下底面圆O的直径,O1为圆柱上底面圆的圆心.
(1)若点B为下底面圆弧上与D,F不重合的点,求证:BF⊥AB.
(2)若BC也为下底面圆O的直径,且与DF不重合,求证:O1F∥面ABC.
- 14 -
【分析】(1)要证明BF⊥AB,先证明BF⊥平面ADB,由线面垂直的判定定理,可证明AD⊥BF和BD⊥BF;
(2)由题意可判断出四边形AOFO1为平行四边形,即AO∥O1F,由线面平行的判定定理证明即可.
【解答】(1)证明:∵AD为圆柱的母线,∴AD⊥底面圆O,
又∵BF⊂底面圆O,∴AD⊥BF;
∵AD∩BD=D,AD,BD⊂面ADB,∴BF⊥面ADB,
(2)证明:连接AO,AO1,OO1
又∵AO1=OF,∴四边形AOFO1为平行四边形,
∴O1F∥平面ABC.
22.(12分)已知O为坐标原点,圆C的方程为:(x﹣1)2+y2=1,直线l过点M(0,3).
(1)若直线l与圆C有且只有一个公共点,求直线l的方程;
(2)若直线l与圆C交于不同的两点A,B,试问:直线OA与OB的斜率之和是否为定值,若是,求出该定值:若不是,说明理由.
【分析】(1)当直线的斜率不存在时,l的方程为x=0,符合题意.当直线l斜率存在时,设l的方程为y=kx+3,由圆心到直线的距离等于半径列式求得k,则直线方程可求;
(2)由(1)知直线l斜率存在,设l的方程为y=kx+3,联立直线方程与圆的方程,利用斜率公式与根与系数的关系即可求得直线OA与OB的斜率之和为定值.
解:(1)①当直线l斜率不存在时,l的方程为x=0,符合题意.
②当直线l斜率存在时,设l的方程为y=kx+3,
∵直线与圆有一个公共点,∴,
- 14 -
∴l的方程为y=,即5x+3y﹣9=0.
(2)直线OA与OB的斜率之和为定值.
设A(x1,y1),B(x3,y2),
消去y得(k2+1)x2+(6k﹣2)x+9=0.
则=
∴直线OA与OB的斜率之和为定值.
- 14 -
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