2020-2021学年高中数学新教材人教B版必修第四册教师用书：10 8页

www.ks5u.com 第2课时　复数的除法及实系数一元二次方程在复数范围内的解集 ‎[课程目标] 1.掌握复数的除法法则，并能运用复数的除法法则进行计算.2.会在复数范围内解实系数一元二次方程．‎ 知识点一　　复数的除法 ‎[填一填]‎ ‎(1)复数的除法 如果复数z2≠0，则满足zz2＝z1的复数z称为z1除以z2的商，并记作z＝(或z＝z1÷z2)，z1称为被除数，z2称为除数．‎ ‎(2)复数的倒数 给定复数z≠0，称为z的倒数，z1除以z2的商也可以看成z1与z2的倒数之积．‎ ‎(3)运算法则 ‎(a＋bi)÷(c＋di)＝＝(a＋bi)()＝(a＋bi)·＝＝＋i.‎ ‎[答一答]‎ 怎样理解和应用复数代数形式的除法法则？‎ 提示：(1)复数代数形式的除法是复数代数形式的乘法的逆运算．‎ ‎(2)复数除法的运算法则不必死记，在实际运算时，只需把商看作分数，分子、分母同乘以分母的共轭复数c－d i，把分母变为实数，化简后，就可以得到运算结果．‎ 知识点二　　实系数一元二次方程 ‎[填一填]‎ 当a，b，c都是实数且a≠0时，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0称为实系数一元二次方程，这个方程在复数范围内总是有解的，而且 ‎(1)当Δ＝b2－‎4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；‎ ‎(2)当Δ＝b2－‎4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；‎ ‎(3)当Δ＝b2－‎4ac<0时，方程有两个互为共轭的虚数根．‎ 复数的模的运算性质．‎ 设z＝a＋bi(a，b∈R)，|z|＝，‎ ‎(1)|z|＝||；‎ ‎(2)|z1·z2|＝|z1|·|z2|；‎ ‎(3)||＝(z2≠0)；‎ ‎(4)|zn|＝|z|n；‎ ‎(5)|z|＝1⇔z·＝1；‎ ‎(6)|z|2＝||2＝|z2|＝|2|＝z·.‎ 类型一　　复数的除法运算 ‎[例1]　计算下列各式：‎ ‎(1)；‎ ‎(2).‎ ‎[分析]　题中既有加、减、乘、除运算，又有括号，同实数的运算顺序一致，先算括号里的，再算乘除，最后算加减．‎ ‎[解]　(1) ‎＝＝ ‎＝＝＝ ‎＝1－i.‎ ‎(2)＝＝ ‎＝＝ ‎＝＝－1＋i.‎ 复数的运算顺序与实数运算顺序相同，都是先进行高级运算(乘方、开方)，再进行次级运算(乘、除)，最后进行低级运算(加、减).如i的幂运算，先利用i的幂的周期性，将其次数降低，然后再进行四则运算.‎ ‎[变式训练1]　计算：(1)＋(1－i)2；‎ ‎(2)＋(5＋i3)－()6.‎ 解：(1)＋(1－i)2‎ ‎＝－2i＝－2i＝－2i ‎＝－2i＝－i.‎ ‎(2)＋(5＋i3)－()6‎ ‎＝＋(5＋i2·i)－[()2]3‎ ‎＝i＋5－i－i3＝5＋i.‎ 类型二　　实系数一元二次方程的解集 ‎[例2]　求下列一元二次方程的解：‎ ‎(1)3x2＋5x＋1＝0；‎ ‎(2)2x2－3x＋3＝0；‎ ‎(3)4x2－5x＋2＝0.‎ ‎[分析]　求一元二次方程的根，最实用的方法是用求根公式法，如果Δ>0，则在实数系中有解，若Δ<0，则在复数系中有解. ‎ ‎[解]　(1)Δ＝52－4×3×1＝13，‎ 故x＝＝.‎ ‎(2)Δ＝(－3)2－4×2×3＝－15，‎ 故x＝＝.‎ ‎(3)Δ＝(－5)2－4×4×2＝－7，‎ 故x＝＝.‎ ‎[变式训练2]　已知关于x的方程x2－2ax＋a2－‎4a＋4＝0(a∈R)的两根为α、β，且|α|＋|β|＝3，求实数a的值．‎ 解：由已知有Δ＝(－‎2a)2－4(a2－‎4a＋4)＝‎16a－16.‎ ‎①当Δ≥0即a≥1时，‎ 由可知两根都是非负实根，‎ ‎∴|α|＋|β|＝α＋β＝3＝‎2a⇒a＝；‎ ‎②当Δ<0即a<1时，此时方程两根为共轭虚根，‎ 设α＝m＋ni，则β＝m－ni.‎ ‎∴ ‎∴|α|＋|β|＝2＝2|a－2|＝3⇒a＝；‎ 综上，a＝或.‎ 类型三　　复数运算的综合应用 ‎[例3]　设z是虚数，ω＝z＋是实数，且－1<ω<2.‎ ‎(1)求|z|的值及z的实部的取值范围；‎ ‎(2)设u＝，求证：u为纯虚数；‎ ‎(3)求ω－u2的最小值．‎ ‎[分析]　(1)ω是实数可得到哪些结论？(ω的虚部为0或ω＝)(2)u为纯虚数可得到哪些结论？(u的实部为0且虚部不为0，或u＝－)‎ ‎[解]　(1)∵z是虚数，‎ ‎∴可设z＝x＋yi，x，y∈R，且y≠0.‎ ‎∴ω＝z＋＝x＋yi＋ ‎＝x＋yi＋＝x＋＋(y－)i.‎ ‎∵ω是实数，且y≠0，∴y－＝0，‎ ‎∴x2＋y2＝1，即|z|＝1.此时ω＝2x.‎ ‎∵－1<ω<2，∴－1<2x<2，从而有－0.‎ 于是ω－u2＝2(x＋1)＋－3≥2－3＝1.‎ 当且仅当2(x＋1)＝，即x＝0时等号成立．‎ ‎∴ω－u2的最小值为1，此时z＝±i.‎ 该题涉及复数的基本概念和四则运算以及均值不等式等知识.只要概念清楚，运算熟练，按常规思路顺其自然不难求解.注意：解决后面的问题时，可以使用前面已经得到的结论.‎ ‎[变式训练3]　设z2＝8＋6i，求z3－16z－.‎ 解：z3－16z－＝＝ ‎＝＝－＝＝－.‎ ‎∵|z|2＝|z2|＝|8＋6i|＝10，‎ 又由z2＝8＋6i，得z＝±(3＋i)，∴＝±(3－i)，‎ ‎∴原式＝－＝－60＋20i或60－20i.‎ ‎1．已知a为正实数，i为虚数单位，若的模为2，则a＝(　B　)‎ A．2 B. C. D．1‎ 解析：因为＝1－ai，所以＝2，又a>0，故a＝，故选B.‎ ‎2．在复平面内，复数对应的点的坐标为(　A　)‎ A．(1,3)　　B．(3,1)　　C．(－1,3)　　D．(3，－1)‎ 解析：本题考查复数的乘法与除法．‎ ＝＝＝1＋3i.‎ ‎∴复数对应的点的坐标为(1,3)．‎ ‎3．复数z满足(z－i)(2－i)＝5，则z＝(　D　)‎ A．－2－2i B．－2＋2i C．2－2i D．2＋2i 解析：由题意可得，z－i＝＝＝2＋i，‎ 所以z＝2＋2i.‎ ‎4．若x，y∈R，且－＝，则x＝－1，y＝－5.‎ 解析：∵－＝，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴(x－y)＋(y－2x)i＝＝4－3i，‎ ‎∴解得