人教版高中数学选修4-5练习：第一讲1-2-1-2-1绝对值三角不等式word版含解析 5页

第一讲 不等式和绝对值不等 1.2 绝对值不等式 1.2.1 绝对值三角不等式 A 级 基础巩固 一、选择题 1．若|x－m|＜ε，|y－m|＜ε，则下列不等式中一定成立的是( ) A．|x－y|＜ε B．|x－y|＜2ε C．|x－y|＞2ε D．|x－y|＞ε 解析：|x－y|＝|x－m－(y－m)|≤|x－m|＋|y－m|＜2ε. 答案：B 2．如果 a，b 都是非零实数，则下列不等式中不成立的是( ) A．|a＋b|＞a－b B．2 ab≤|a＋b|(ab＞0) C．|a＋b|≤|a|＋|b| D.|b a ＋a b|≥2 解析：令 a＝1，b＝－1，则 A 不成立． 答案：A 3．已知 h＞0，a，b∈R，命题甲：|a－b|＜2h；命题乙：|a－1| ＜h，且|b－1|＜h，则甲是乙的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：显然 a 与 b 的距离可以很近，满足|a－b|＜2h，但此时 a，b 与 1 的距离也可以最大，因此甲不能推出乙；若|a－1|＜h，|b－1|＜h， 则|a－b|＝|a－1＋1－b|≤|a－1|＋|b－1|＜2h，乙可以推出甲． 因此甲是乙的必要不充分条件． 答案：B 4．函数 y＝|x－4|＋|x－6|的最小值为( ) A．2 B. 2 C．4 D．6 解析：y＝|x－4|＋|x－6|≥|x－4－(x－6)|＝2. 故最小值为 2. 答案：A 5．若|a－c|＜b，则下列不等式不成立的是( ) A．|a|＜|b|＋|c| B．|c|＜|a|＋|b| C．b＞||c|－|a|| D．b＜|a|－|c| 解析：由|a－c|＜b 知 b＞0，所以 b＝|b|. 因为|a|－|c|≤|a－c|， 所以|a|－|c|＜b，即|a|＜b＋|c|＝|b|＋|c|，故 A 成立． 同理由|c|－|a|≤|a－c|，得|c|－|a|＜b. 所以|c|＜|a|＋b＝|a|＋|b|，故 B 成立． 而由 A 成立得|c|－|a|＞－|b|， 由 B 成立得|c|－|a|＜|b|，所以－|b|＜|c|－|a|＜|b|， 即||c|－|a||＜|b|＝b，故 C 成立． 故由 A 成立知 D 不成立． 答案：D 二、填空题 6．若不等式|x－4|＋|x－3|＞a 对一切实数 x 恒成立，则实数 a 的 取值范围是________． 解析：由|x－4|＋|x－3|≥|(x－4)－(x－3)|＝1， 得(|x－4|＋|x－3|)min＝1， 故 a 的取值范围是(－∞，1)． 答案：(－∞，1) 7．若不等式|x－4|－|x－3|≤a 对一切 x∈R 恒成立，则实数 a 的 取值范围是________． 解析：设 f(x)＝|x－4|＋|x－3|，则 f(x)≤a 对一切 x∈R 恒成立的 充要条件是 a≥f(x)的最大值． 因为|x－4|－|x－3|≤|(x－4)－(x－3)|＝1， 即 f(x)max＝1，所以 a≥1. 答案：1，＋∞) 8．对于实数 x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，|x－2y＋1|的最大值 是________． 解析：|x－2y＋1|＝|x－1－2(y－2)－2|≤|x－1|＋2|y－2|＋|－2|≤1 ＋2＋2＝5. 答案：5 三、解答题 9．(2014·课标全国Ⅱ卷)设函数 f(x)＝|x＋1 a|＋|x－a|(a＞0)，证 明：f(x)≥2. 证明：由 a＞0，有 f(x)＝|x＋1 a|＋|x－a|≥|x＋1 a －（x－a）|＝1 a ＋a≥2. 所以 f(x)≥2. 10．求函数 f(x)＝|x－5|－|x＋3|的最大值，并求出取最大值时 x 的 范围． 解：f(x)＝|x－5|－|x＋3|≤|(x－5)－(x＋3)|＝8， 当且仅当(x－5)(x＋3)≤0，即－3≤x≤5 时等号成立， 所以当－3≤x≤5 时，f(x)＝|x－5|－|x＋3|取得最大值为 8. B 级 能力提升 1．设集合{x|x－3|－|x－4|＞m}≠∅，则实数 m 的取值范围为( ) A．m＞1 B．m≥1 C．m＜1 D．m≤1 解析：|x－3|－|x－4|≤|x－3－(x－4)|＝1.集合非空即|x－3|－|x－ 4|＞m 有解，所以 m＜1. 答案：C 2．以下三个命题： (1)若|a－b|＜1，则|a|＜|b|＋1； (2)若 a，b∈R，则|a＋b|－2|a|≤|a－b|； (3)若|x|＜2， |y|＞3，则|x y|＜2 3. 其中正确的有________个． 解析：(1)因为|a|－|b|≤|a－b|＜1，所以|a|＜|b|＋1，所以(1)正确．(2) 因为|a＋b|－2|a|≤|a＋b－2a|＝|b－a|＝|a－b|，所以(2)正确．(3)因为|x| ＜2，|y|＞3，所以|x y|＜2 3 ，所以(3)正确． 答案：3 3．x，y∈R，若|x|＋|y|＋|x－1|＋|y－1|≤2，求 x＋y 的取值范围． 解：因为|x|＋|x－1|≥|x－(x－1)|＝1， 当且仅当 0≤x≤1 时取等号， |y|＋|y－1|≥|y－(y－1)|＝1，当且仅当 0≤y≤1 时取等号， 所以|x|＋|y|＋|x－1|＋|y－1|≥2.① 又因为|x|＋|y|＋|x－1|＋|y－1|≤2，② 所以只有当 0≤x≤1，0≤y≤1 时，①②两式同时成立． 所以 0≤x＋y≤2.