高考数学一轮复习精品学案：第12讲 空间中的夹角和距离 10页

2013 年普通高考数学科一轮复习精品学案 第 12 讲 空间中的夹角和距离 一．课标要求： 1．掌握两条直线所成的角和距离的概念及等角定理；（对于异面直线的距离，只要求 会计算已给出公垂线时的距离）。 2．掌握点、直线到平面的距离，直线和平面所成的角； 3．掌握平行平面间的距离，会求二面角及其平面角； 二．命题走向 高考立体几何试题一般共有 4 道(选择、填空题 3 道, 解答题 1 道), 共计总分 27 分左右, 考查的知识点在 20 个以内。随着新的课程改革的进一步实施,立体几何考题正朝着“多一点 思考,少一点计算”的发展，从历年的考题变化看, 以多面体和旋转体为载体的线面位置关系 的论证，角与距离的探求是常考常新的热门话题。 预测 2013 年高考试题： （1）单独求夹角和距离的题目多为选择题、填空题，分值大约 5 分左右；解答题中的 分步设问中一定有求夹角、距离的问题，分值为 6 分左右； （2）选择、填空题考核立几中的计算型问题, 而解答题着重考查立几中的逻辑推理型 问题, 当然, 二者均应以正确的空间想象为前提。 三．要点精讲 1．距离 空间中的距离是立体几何的重要内容，其内容主要包括：点点距，点线距，点面距，线 线距，线面距，面面距。其中重点是点点距、点线距、点面距以及两异面直线间的距离．因 此，掌握点、线、面之间距离的概念，理解距离的垂直性和最近性，理解距离都指相应线段 的长度，懂得几种距离之间的转化关系，所有这些都是十分重要的。 求距离的重点在点到平面的距离，直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到 平面的距离，一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。 （1）两条异面直线的距离 两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离； 求法：如果知道两条异面直线的公垂线，那么就转化成求公垂线段的长度。 （2）点到平面的距离 平面外一点 P 在该平面上的射影为 P′，则线段 PP′的长度就是点到平面的距离；求法： ○1“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。○2 等体积法。 （3）直线与平面的距离：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距 离，叫做这条直线和平面的距离； （4）平行平面间的距离：两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离。 求距离的一般方法和步骤：应用各种距离之间的转化关系和“平行移动”的思想方法，把 所求的距离转化为点点距、点线距或点面距求之，其一般步骤是：①找出或作出表示有关 距离的线段；②证明它符合定义；③归到解某个三角形．若表示距离的线段不容易找出或 作出，可用体积等积法计算求之。异面直线上两点间距离公式，如果两条异面直线 a 、b 所成的角为 ，它们的公垂线 AA′的长度为 d ，在 a 上有线段 A′E ＝m ，b 上有线段 AF ＝ n ，那么 EF ＝ （“±”符号由实际情况选定） 2．夹角 空间中的各种角包括异面直线所成的角，直线与平面所成的角和二面角，要理解各种角 的概念定义和取值范围，其范围依次为 0°，90° 、[0°，90°]和[0°，180°]。 （1）两条异面直线所成的角 求法：○1先通过其中一条直线或者两条直线的平移，找出这两条异面直线所成的角，然 后通过解三角形去求得；○2 通过两条异面直线的方向量所成的角来求得，但是注意到异面直 线所成角得范围是 ，向量所成的角范围是 ，如果求出的是钝角，要注意转化成 相应的锐角。 （2）直线和平面所成的角 求法：“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。除特殊位置外，主要是指平面的 斜线与平面所成的角，根据定义采用“射影转化法”。 （3）二面角的度量是通过其平面角来实现的 解决二面角的问题往往是从作出其平面角的图形入手，所以作二面角的平面角就成为解 题的关键。通常的作法有：（Ⅰ）定义法；（Ⅱ）利用三垂线定理或逆定理；（Ⅲ）自空间 一点作棱垂直的垂面，截二面角得两条射线所成的角，俗称垂面法．此外，当作二面角的平 面角有困难时，可用射影面积法解之，cos  ＝ ，其中 S 为斜面面积，S′为射影面积， 为斜面与射影面所成的二面角。 3．等角定理 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等。 推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或 直角）相等。 四．典例解析 题型 1：直线间的距离问题 例 1．已知正方体 的 棱长为 1，求直线 DA'与 AC 的距离。 解 法 1 ： 如 图 1 连 结 A'C' ， 则 AC∥ 面 A'C'D'， 连结 DA'、DC'、DO'，过 O 作 OE⊥DO'于 E 因为 A'C'⊥面 BB'D'D，所以 A'C'⊥OE。 又 O'D⊥OE，所以 OE⊥面 A'C'D。 因此 OE 为直线 DA'与 AC 的距离。 在 Rt△OO'D 中， ，可 求得 点评：此题是异面直线的距离问题：可作出异面直线的公垂线。 θcos2222 mnnmd ±++ ( ] ]2,0( π ],0[ π S S′ ABCD A B C D− ' ' ' ' OE O D OD OO· ·' '= OE = 3 3 B C A D B' C' O' A' D' 图 1 E O 解 法 2 ：如图 2 连 接 A'C' 、 DC' 、 B'C 、 AB'A'，得到分别包含 DA'和 AC 的两个平面 A'C'D 和平面 AB'C， 又因为 A'C'∥AC，A'D∥B'C，所以面 A'C'D∥ 面 AB'C。 故 DA'与 AC 的距离就是平面 A'C'D 和平面 AB'C 的距离，连 BD'分别交两平面于 两点，易证 是两平行平面距离。 不 难 算 出 ， 所 以 ，所以异面直线 BD 与 之间的距离为 。 点评：若考虑到异面直线的公垂线不易做出，可分别过两异面直线作两平面互相平行， 则异面直线的距离就是两平面的距离。 题型 2：线线夹角 例 2．如图 1，在三棱锥 S—ABC 中， ， ， ， ，求异面直线 SC 与 AB 所成角的余弦值。 图 1 解法 1：用公式 当直线 平面 ，AB 与 所成的角为 ，l 是 内的一条直线，l 与 AB 在 内的射影 所成的角为 ，则异面直线 l 与 AB 所成的角 满足 。 以此为据求解。 由题意，知 平面 ABC， ，由三垂线定理，知 ，所以 平面 SAC。 因 为 ， 由 勾 股 定 理 ， 得 。 在 中， ，在 中， 。 O O1 2， O O1 2 BO D O a1 2 3 3 = =' O O a1 2 3 3 = B C1 3 3 a ∠ = ∠ = ∠ = °SAB SAC ACB 90 AC = 2 BC = 13 SB = 29 S A C B AB α = A α θ 1 α α AB' θ 2 θ cos cos cosθ θ θ= 1 2 SA⊥ AC BC⊥ SC BC⊥ BC⊥ AC BC SB= = =2 13 29， ， AB SA SC= = =17 2 3 4， ， Rt SAC∆ cos∠ = =SCA AC SC 1 2 Rt ACB∆ cos∠ = =CAB AC AB 2 17 C B D A C' O2 B' D' A' O1 图 2 设 SC 与 AB 所成角为 ，则， 解法 2：平移 过点 C 作 CD//BA，过点 A 作 BC 的平行线交 CD 于 D，连结 SD，则 是异面直 线 SC 与 AB 所成的角，如图 2。又四边形 ABCD 是平行四边形。 由勾股定理，得： 。 图 2 在 中，由余弦定理，得： 。 点评：若不垂直，可经过如下几个步骤求解：（1）恰当选点，作两条异面直线的平行线， 构造平面角 ；（2）证明这个角 （或其补角）就是异面直线所成角；（3）解三角形（常 用余弦定理），求出所构造角 的度数。 题型 3：点线距离 例 3．正方形 ABCD 的边长是 2，E、F 分别是 AB 和 CD 的 中点，将正方形沿 EF 折成直二面角（如图所示）.M 为矩形 AEFD 内一点，如果∠MBE=∠MBC，MB 和平面 BCF 所成角的 正切值为 ，那么点 M 到直线 EF 的距离为 。 解析：过 M 作 MO⊥EF，交 EF 于 O，则 MO⊥平面 BCFE. 如图所示，作 ON⊥BC，设 OM=x， 又 tanMBO= ，∴BO=2x 又 S△MBE= BE·MB·sinMBE= BE·ME S△MBC= BC·MB·sinMBC= BC·MN ∴ME=MN，而 ME= ，MN= ，解得 x= 。 点评：该题较典型的反映了解决空间几何问题的解题策略：化空间问题为平面问题来处 θ cos cos cosθ = ∠ ⋅ ∠ =SCA CAB 17 17 ∠SCD DC AB SA SD= = = =17 2 3 5， ， S A B CD ∆SCD cos∠ = + − ⋅ ⋅ =SCD SC DC SD SC DC 2 2 2 2 17 17 θ θ θ 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 15 2 −x 12 +x 2 2 图 理。 题型 4：点面距离 例 4．如图，四面体 ABCD 中，O、E 分别 BD、BC 的中点，CA=CB=CD=BD=2。 （Ⅰ）求证：AO⊥平面 BCD； （Ⅱ）求异面直线 AB 与 CD 所成角的大小； （Ⅲ）求点 E 到平面的距离。 (1)证明：连结 OC。 ∵BO=DO,AB=AD, ∴AO⊥BD。 ∵BO=DO,BC=CD, ∴CO⊥BD。 在△AOC 中，由已知可得 AO=1,CO= 。 而 AC=2，∴AO2+CO2=AC2, ∴∠AOC=90°,即 AO⊥OC。 ∴AB 平面 BCD。 （Ⅱ）解：取 AC 的中点 M,连结 OM、ME、OE，由 E 为 BC 的中点知 ME∥AB,OE∥DC。 ∴直线 OE 与 EM 所成的锐角就是异面直线 AB 与 CD 所成的角。 在△OME 中， 是直角△AOC 斜边 AC 上的中线，∴ ∴ ∴异面直线 AB 与 CD 所成角的大小为 （Ⅲ）解：设点 E 到平面 ACD 的距离为 h. , ∴ ·S△ACD = ·AO·S △CDE. 在△ACD 中，CA=CD=2,AD= , ∴S△ACD= 而 AO=1, S△CDE= 3 ,0=OCBD  ⊥ ,12 1,2 2 2 1 ==== DCOEABEM OM ,12 1 == ACOM ,4 2cos =∠OEA .4 2arccos CDEAACDA VV −− − h3 1 3 1 2 ,2 7 2 2222 1 3 2 =     −×× ,2 324 3 2 1 2 =×× ∴h= ∴点 E 到平面 ACD 的距离为 。 点评：本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到平面的距离 等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。 题型 5：线面距离 例 5．斜三棱柱 ABC—A1B1C1 中，底面是边长为 4cm 的正三角形，侧棱 AA1 与底面两 边 AB、AC 均成 600 的角，AA1=7。 （1）求证：AA1⊥BC； （2）求斜三棱柱 ABC—A1B1C1 的全面积； （3）求斜三棱柱 ABC—A1B1C1 的体积； （4）求 AA1 到侧面 BB1C1C 的距离。 解析：设 A1 在平面 ABC 上的射影为 0。 ∵ ∠A1AB=∠A1AC，∴ O 在∠BAC 的平行线 AM 上。 ∵ △ABC 为正三角形，∴ AM⊥BC。 又 AM 为 A1A 在平面 ABC 上的射影，∴ A1A⊥BC （2） ∵ B1B∥A1A，∴ B1B⊥BC，即侧面 BB1C1C 为矩形。 ∴ 又 ，∴ S 全= （3）∵ cos∠A1AB=cos∠A1AO·cos∠OAB，∴ cos∠A1AO= ∴ sin∠A1AO= ，∴ A1O=A1Asin∠A1AO= ∴ （4）把线 A1A 到侧面 BB1C1C 的距离转化为点 A 或 A1 到平面 BB1C1C 的距离 为了找到 A1 在侧面 BB1C1C 上的射影，首先要找到侧面 BB1C1C 的垂面 设平面 AA1M 交侧面 BB1C1C 于 MM1 ∵ BC⊥AM，BC⊥A1A ∴ BC⊥平面 AA1M1M ∴ 平面 AA1M1M⊥侧面 BCC1B1 在平行四边形 AA1M1M 中 过 A1 作 A1H⊥M1M，H 为垂足 则 A1H⊥侧面 BB1C1C ,7 21 2 7 2 31 = × =• ∆ ∆ ACD CDE S SAO 7 21 3142 374ABAsinAAABSS 11BBAACCAA 1111 =××=∠⋅== 2874S CCBB 11 =×= 3444 3SS 2 ABCCBA 111 =×== ∆∆ )cm(33628234282314 2+=×++× 3 3 30cos 60cos OABcos ABAcos 0 0 1 ==∠ ∠ 3 6 63 7 )cm(22863 744 3OASV 32 1ABC =××=⋅= ∆ ∴ 线段 A1H 长度就是 A1A 到侧面 BB1C1C 的距离 ∴ 点评：线面距离往往转化成点面距离来处理，最后可能转化为空间几何体的体积求得， 体积法不用得到垂线。 题型 6：线面夹角 例 6 ．如图 ，在四 棱 锥 P-ABCD 中 ，底面 为 直 角 梯 形 ， AD∥BC,∠BAD=90°,PA⊥底面 ABCD，且 PA＝AD=AB=2BC，M、 N 分别为 PC、PB 的中点。 (Ⅰ)求证：PB⊥DM; (Ⅱ)求 CD 与平面 ADMN 所成的角的正弦值。 解 析 ： （ I ） 因 为 是 的 中 点 ， ， 所 以 。 因为 平面 ，所以 ， 从而 平面 . 因为 平面 ，所以 . （ II ） 取 的 中 点 ， 连 结 、 ， 则 ， 所 以 与 平 面 所 成 的 角 和 与 平 面 所成的角相等。 因为 平面 ，所以 是 与平面 所成的角。 在 中， 。 点评：本题主要考查几何体的概念、线面夹角、两平面垂直等。能力方面主要考查空间 想象能力、逻辑思维能力和运算能力。 题型 7：面面距离 例 7．在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中，AB=4，BC=3，CC1=2，如图： （1）求证：平面 A1BC1∥平面 ACD1； （2）求(1)中两个平行平面间的距离； （3）求点 B1 到平面 A1BC1 的距离。 （1）证明：由于 BC1∥AD1，则 BC1∥平面 ACD1， 同理，A1B∥平面 ACD1，则平面 A1BC1∥平面 ACD1。 （2）解：设两平行平面 A1BC1 与 ACD1 间的距离为 d， 则 d 等于 D1 到平面 A1BC1 的距离。易求 A1C1=5，A1B=2 ，BC1= ，则 cosA1BC1= ， 则 sinA1BC1= ，则 S = 。 由于 ，则 S ·d= ·BB 1，代入求得 d= ，即 )cm(223 632AMAsinMAHMAsinMAHA 11111111 =×=∠=∠= N PB PA PB= AN PB⊥ AD ⊥ PAB AD PB⊥ PB ⊥ ADMN DM ⊂ ADMN PB DM⊥ AD G BG NG //BG CD BG ADMN CD ADMN PB ⊥ ADMN BGN∠ BG ADMN Rt BGN∆ 10sin 5 BNBNG BG ∠ = = 5 13 65 2 65 61 111 CBA∆ 61 111111 DCABBCAD VV −− = 3 1 11BCA∆ )2 1(3 1 111 DCAD⋅ 61 6112 D1 C1 B1A1 D C BA 两平行平面间的距离为 。 （3）解：由于线段 B1D1 被平面 A1BC1 所平分，则 B1、D1 到平面 A1BC1 的距离相等， 则由（2）知点 B1 到平面 A1BC1 的距离等于 。 点评：立体几何图形必须借助面的衬托，点、线、面的位置关系才能显露地“立”起来。 在具体的问题中，证明和计算经常依附于某种特殊的辅助平面即基面。这个辅助平面的获取 正是解题的关键所在，通过对这个平面的截得，延展或构造，纲举目张，问题就迎刃而解了。 题型 8：面面角 例 8．如图，在长方体 中， 分 别 是 的 中 点 ， 分 别 是 的中点， 。 （Ⅰ）求证： 面 ； （Ⅱ）求二面角 的大小。 （Ⅲ）求三棱锥 的体积。 解析：（Ⅰ）证明：取 的中点 ，连结 ∵ 分别为 的中点， ∵ ，∴ 面 ， 面 ∴面 面 ∴ 面 （Ⅱ）设 为 的中点 ∵ 为 的中点 ∴ ∴ 面 作 ，交 于 ，连结 ，则由三垂线定理得 。 从而 为二面角 的平面角。 在 中， ，从而 。 在 中， ，故二面角 的正切值为 。 （Ⅲ） ， 61 6112 61 6112 1 1 1 1ABCD A B C D− ,E P 1 1,BC A D ,M N 1,AE CD 1 , 2AD AA a AB a= = = //MN 1 1ADD A P AE D− − P DEN− CD K ,MK NK , ,M N K 1, ,AK CD CD 1// , //MK AD NK DD //MK 1 1ADD A //NK 1 1ADD A //MNK 1 1ADD A //MN 1 1ADD A F AD P 1 1A D 1//PF D D PF ⊥ ABCD FH AE⊥ AE H PH AE PH⊥ PHF∠ P AE D− − Rt AEF∆ 17, 2 ,2 2 aAF EF a AE a= = = 2 22 17 17 2 a aAF EF aFH AE a ⋅⋅= = = Rt PFH∆ 1 17tan 2 DDPFPFH FH FH ∠ = = = P AE D− − 2 17 1 2 2 2 1 1 1 1 542 4 4 4NEP ECD PS S BC CD a a a a∆ = = ⋅ = ⋅ ⋅ + =矩形 作 ，交 于 ，由 面 得 ， ∴ 面 ， ∴在 中， ， ∴ 。 点评：求角和距离的基本步骤是作、证、算。此外还要特别注意融合在运算中的推理过 程，推理是运算的基础，运算只是推理过程的延续。如求二面角，只有根据推理过程找到二 面角后，进行简单的运算，才能求出。因此，求角与距离的关键还是直线与平面的位置关系 的论证。 五．思维总结 空间的角和距离是空间图形中最基本的数量关系，空间的角主要研究射影以及与射影 有关的定理、空间两直线所成的角、直线和平面所成的角、以及二面角和二面角的平面角 等．解这类问题的基本思路是把空间问题转化为平面问题去解决． 1．空间的角，是对由点、直线、平面所组成的空间图形中各种元素间的位置关系进行 定量分析的一个重要概念，由它们的定义，可得其取值范围，如两异面直线所成的角 θ∈(0， )，直线与平面所成的角 θ∈ ，二面角的大小，可用它们的平面角来度量，其平面 角 θ∈(0，π)。 对于空间角的计算，总是通过一定的手段将其转化为一个平面内的角，并把它置于一个 平面图形，而且是一个三角形的内角来解决，而这种转化就是利用直线与平面的平行与垂直 来实现的，因此求这些角的过程也是直线、平面的平行与垂直的重要应用．通过空间角的计 算和应用进一步培养运算能力、逻辑推理能力及空间想象能力． （1）求异面直线所成的角，一般是平移转化法。方法一是在异面直线中的一条直线上 选择“特殊点”，作另一条直线的平行线；或过空间任一点分别作两异面直线的平行线，这样 就作出了两异面直线所成的角 θ，构造一个含 θ 的三角形，解三角形即可。方法二是补形法： 将空间图形补成熟悉的、完整的几何体，这样有利于找到两条异面直线所成的角 θ。 （2）求直线与平面所成的角，一般先确定直线与平面的交点（斜足），然后在直线上 取一点（除斜足外）作平面的垂线，再连接垂足和斜足（即得直接在平面内的射影），最后 解由垂线、斜线、射影所组成的直角三角形，求出直线与平面所成的角。 （3）求二面角，一般有直接法和间接法两种。所谓直接法求二面角，就是作出二面角 的平面角来解。其中有棱二面角作平面角的方法通常有：①根据定义作二面角的平面角；② 垂面法作二面角的平面角；③利用三垂线定理及其逆定理作二面角的平面角；无棱二面角 先作出棱后同上进行。间接法主要是投影法：即在一个平面 α 上的图形面积为 S，它在另一 个平面 β 上的投影面积为 S′，这两个平面的夹角为 θ，则 S′=Scosθ。 如求异面直线所成的角常用平移法（转化为相交直线）；求直线与平面所成的角常利用 射影转化为相交直线所成的角；而求二面角α－l－β的平面角（记作θ）通常有以下几种方法： (1) 根据定义； (2) 过棱 l 上任一点 O 作棱 l 的垂面γ，设γ∩α＝OA，γ∩β＝OB，则∠AOB＝θ(图 1)； (3) 利用三垂线定理或逆定理，过一个半平面α内一点 A，分别作另一个平面β的垂线 AB(垂足为 B),或棱 l 的垂线 AC(垂足为 C)，连结 AC，则∠ACB＝θ 或∠ACB＝π－θ(图 2)； (4) 设 A 为平面α外任一点，AB⊥α，垂足为 B，AC⊥β，垂足为 C，则∠BAC＝θ或∠BAC ＝π－θ(图 3)； 1DQ CD⊥ 1CD Q 1 1A D ⊥ 1 1CDD C 1 1AC DQ⊥ DQ ⊥ 1 1BCD A 1Rt CDD∆ 1 1 2 2 5 5 CD DD a aDQ aCD a ⋅ ⋅= = = 1 3P DEN D ENP NEPV V S DQ− − ∆= = ⋅ 21 5 2 3 4 5 a a= ⋅ 31 6 a= 2 π 0, 2 π     (5) 利用面积射影定理，设平面α内的平面图形 F 的面积为 S，F 在平面β内的射影图形 的面积为 S′，则 cosθ＝ . 图 1 图 2 图 3 2．空间的距离问题，主要是求空间两点之间、点到直线、点到平面、两条异面直线之 间（限于给出公垂线段的）、平面和它的平行直线、以及两个平行平面之间的距离． 求距离的一般方法和步骤是：一作——作出表示距离的线段；二证——证明它就是所要 求的距离；三算——计算其值．此外，我们还常用体积法求点到平面的距离． 求空间中线面的夹角或距离需注意以下几点： ①注意根据定义找出或作出所求的成角或距离，一般情况下，力求明确所求角或距离 的位置. ②作线面角的方法除平移外，补形也是常用的方法之一；求线面角的关键是寻找两“足” （斜足与垂足），而垂足的寻找通常用到面面垂直的性质定理. ③求二面角高考中每年必考，复习时必须高度重视.二面角的平角的常用作法有三种： 根据定义或图形特征作；根据三垂线定理（或其逆定理）作，难点在于找到面的垂线. 解决办法，先找面面垂直，利用面面垂直的性质定理即可找到面的垂线；作棱的垂面。作二 面角的平面角应把握先找后作的原则.此外在解答题中一般不用公式“cosθ＝ ”求二面角否 则要适当扣分。 ④求点到平面的距离常用方法是直接法与间接法，利用直接法求距离需找到点在面内 的射影，此时常考虑面面垂直的性质定理与几何图形的特殊性质.而间接法中常用的是等积 法及转移法. ⑤求角与距离的关键是将空间的角与距离灵活转化为平面上的角与距离，然后将所求 量置于一个三角形中，通过解三角形最终求得所需的角与距离 求距离的关键是化归。即空间距离与角向平面距离与角化归，各种具体方法如下： （1）求空间中两点间的距离，一般转化为解直角三角形或斜三角形。 （2）求点到直线的距离和点到平面的距离，一般转化为求直角三角形斜边上的高；或 利用三棱锥的底面与顶点的轮换性转化为三棱锥的高，即用体积法。 S S ' S S′ A B O β γ β A B C β C A B β A B C β A B C