高考数学一轮复习第八章数列8-3等比数列练习理北师大版 8页

‎8.3 等比数列 核心考点·精准研析 考点一　等比数列基本量的运算 ‎ ‎1.已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,且S3=14,a3=8,则a6等于 (　　)‎ A.16 B.32 C.64 D.128‎ ‎2.(2020·赣州模拟)Sn是等比数列{an}的前n项和,若S4,S3,S5成等差数列,则 ‎{an}的公比q的值为 (　　)‎ A. B.-2 C.1 D.-2 或1‎ ‎3.已知等比数列{an}满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7= (　　)‎ A.21 B.42 C.63 D.84‎ ‎4.(2019·全国卷Ⅲ)已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项的和为15,且a5=3a3+4a1,则a3= (　　)‎ A.16 B.8 C.4 D.2‎ ‎5.已知Sn是等比数列{an}的前n项和,若存在m∈N*,满足=9,=,则数列{an}的公比为 (　　)‎ A.-2 B.2 C.-3 D.3‎ ‎【解析】1.选C.因为S3=14,a3=8,所以q≠1,‎ 所以, 解得a1=2,q=2或a1=18,q=-(舍),‎ 所以a6=a1q5=2×32=64.‎ ‎2.选B.由S4,S3,S5成等差数列知等比数列{an}的公比q≠1,因此得2S3=S5+S4,即 ‎=+,‎ 化简整理得q3(q+2)(q-1)=0,‎ - 8 -‎ 所以q=0(舍去),q=1(舍去)或q=-2.故q=-2.‎ ‎3.选B.设数列{an}的公比为q,则a1(1+q2+q4)=21,又a1=3,所以q4+q2-6=0,所以q2=2(q2=-3舍去),所以a3=6,a5=12,a7=24,所以a3+a5+a7=42.‎ ‎4.选C.设该等比数列的首项为a1,公比为q,‎ 由已知得,a1q4=3a1q2+4a1,‎ 因为a1>0且q>0,则可解得q=2,‎ 又因为a1(1+q+q2+q3)=15,‎ 即可解得a1=1,则a3=a1q2=4.‎ ‎5.选B.设公比为q,若q=1,则=2,与题中条件矛盾,故q≠1.因为==qm+1=9,所以qm=8.所以==qm=8=,‎ 所以m=3,所以q3=8,所以q=2.‎ 把T1条件“S3=14,a3=8”改为“a3=9,S3=27”其他条件不变,则公比q的值为 ‎(　　)‎ A.1 B.-‎ C.1或- D.-1或 - ‎ ‎【解析】选C.当公比q=1时,‎ a1=a2=a3=9,所以S3=3×9=27.符合题意.‎ 当q≠1时,S3=,‎ 所以27=,所以a1=27-18q,‎ - 8 -‎ 因为a3=a1q2,所以(27-18q)·q2=9,‎ 所以(q-1)2(2q+1)=0,所以q=-.‎ 综上q=1或q=-.‎ ‎　解决等比数列有关问题的常用思想方法 ‎(1)方程的思想:等比数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)求出关键量a1和q,问题便可迎刃而解.‎ ‎(2)分类讨论的思想:等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论,将q分为q=1和q≠1两种情况进行讨论.‎ ‎【秒杀绝招】‎ ‎1.应用转化法解T2‎ 选B.由S4,S3,S5成等差数列,得2S3=S5+S4,即2(a1+a2+a3)=2(a1+a2+a3+a4)+a5,整理得a5=-2a4,所以=-2,即q=-2.故选B.‎ ‎2.应用等比数列性质解T3:‎ 选B.设数列{an}的公比为q,则a1(1+q2+q4)=21,又a1=3,所以q4+q2-6=0,所以q2=2(q2=-3舍去),所以a3+a5+a7=q2(a1+a3+a5)=2×21=42,所以a3+a5+a7=42.‎ 考点二　等比数列的判断与证明 ‎ ‎【典例】1.已知数列{an}中,a1=1,若an=2an-1+1(n≥2),则a5的值是________. ‎ ‎【解题导思】‎ 序号 联想解题 ‎(1)‎ 由an=2an-1+1(n≥2)及a1=1,联想到数列的递推公式求a5‎ ‎(2)‎ 由an=2an-1+1(n≥2)联想到转化法求通项公式 ‎【解析】因为an=2an-1+1,所以an+1=2(an-1+1),所以=2,又a1=1,所以{an+1}是以2为首项,2为公比的等比数列,即an+1=2×2n-1=2n,所以a5+1=25,即a5=31.‎ 答案:31‎ - 8 -‎ ‎【一题多解】由an=2an-1+1(n≥2)及a1=1,联想到数列的递推公式求a5,当n=2得a2=3,同理得a3=7,a4=15,a5=31.‎ 答案:31‎ ‎2.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn+1=4an+2(n∈N*),若bn=an+1-2an,求证:{bn}是等比数列.‎ ‎【解题导思】‎ 序号 题目拆解 ‎(1)①Sn+1=4an+2(n∈N*)‎ ‎②出现Sn+2=4an+1+2(n∈N*)‎ ‎(2)①bn=an+1-2an ‎②证明{bn}是等比数列 把n换为n+1‎ 左式和已知式子相减an+2=4an+1-4an,‎ 把n换为n+1得出bn+1‎ 转化为证明为常数 ‎【证明】因为an+2=Sn+2-Sn+1=4an+1+2-4an-2=4an+1-4an,‎ 所以===‎ ‎=2.‎ 因为S2=a1+a2=4a1+2,所以a2=5.‎ 所以b1=a2-2a1=3.‎ 所以数列{bn}是首项为3,公比为2的等比数列.‎ 若本例2中的条件不变,试求{an}的通项公式.‎ ‎【解析】由题知bn=an+1-2an=3·2n-1,‎ 所以-=,‎ 故是首项为,公差为的等差数列.‎ - 8 -‎ 所以=+(n-1)·=,‎ 所以an=(3n-1)·2n-2.‎ ‎【继续探究】若将本例中“Sn+1=4an+2”改为“Sn+1=2Sn+(n+1)”,其他不变,求数列{an}的通项公式.‎ ‎【解析】由已知得n≥2时,Sn=2Sn-1+n.‎ ‎ 所以Sn+1-Sn=2Sn-2Sn-1+1,所以an+1=2an+1,‎ ‎ 所以an+1+1=2(an+1),n≥2,(*)‎ ‎ 又a1=1,S2=a1+a2=2a1+2,即a2+1=2(a1+1),‎ ‎ 所以当n=1时(*)式也成立,‎ ‎ 故{an+1}是以2为首项,以2为公比的等比数列,‎ ‎ 所以an+1=2·2n-1=2n,所以an=2n-1.‎ ‎　‎ ‎1.等比数列的四种常用判定方法 ‎(1)定义法:若=q(q为非零常数,n∈N*)或=q(q为非零常数且n≥2,‎ n∈N*),则{an}是等比数列.‎ ‎(2)等比中项法:若数列{an}中,an≠0且=an·an+2(n∈N*),则{an}是等比数列.‎ ‎(3)通项公式法:若数列{an}的通项公式可写成an=c·qn-1(c,q均是不为0的常 数,n∈N*),则{an}是等比数列.‎ ‎(4)前n项和公式法:若数列{an}的前n项和Sn=k·qn-k(k为常数且k≠0,q≠0,1),则{an}是等比数列.‎ ‎2.证明某数列不是等比数列 若证明某数列不是等比数列,则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.‎ ‎(2018·全国卷Ⅰ改编)已知数列{an}满足a1=1,nan+1=2(n+1)an,设bn=.‎ ‎(1)求b1,b2,b3.‎ ‎(2)判断数列{bn}是否为等比数列,并说明理由.‎ ‎(3)求{bn}的前10项和S10.‎ - 8 -‎ ‎【解析】(1)由条件可得an+1=an.将n=1代入得a2=4a1,而a1=1,所以a2=4.将n=2代入得a3=3a2,所以a3=12.从而b1=1,b2=2,b3=4.‎ ‎(2){bn}是首项为1,公比为2的等比数列.‎ 理由:由条件可得=,即bn+1=2bn,又b1=1,所以{bn}是首项为1,公比为2的等比数列.‎ ‎(3)由(2)可得Sn==2n-1,所以S10=210-1=1 023.‎ 考点三　等比数列的性质及其应用 ‎ 命 题 精 解 读 ‎1.考什么:等比数列通项公式、前n项和公式、性质和最值问题 ‎2.怎么考:等比数列性质、等比数列前n项和的性质作为考查等比数列运算知识的最佳载体,试题常以选择题、填空题的形式出现,有时也会出现在解答题中 ‎3.新趋势:以数列为载体与函数、不等式知识结合等问题.解题过程中常常渗透数学运算核心素养.‎ 学 霸 好 方 法 ‎1.与等比数列性质有关的运算问题解题思路 在等比数列中凡是涉及两项的乘积问题,首先考虑其项数和是否相等,若相等则利用等比数列的性质进行运算 ‎2.交汇问题 以数列为载体与函数性质、不等式等知识结合考查,注意分类讨论思想的应用 等比数列项的性质应用 ‎【典例】已知等比数列{an}中,a4+a8=-2,则a6(a2+2a6+a10)的值为 (　　)‎ A.4 B.6 C.8 D.-9‎ ‎【解析】选A.a6(a2+2a6+a10)=a6a2+2+a6a10=+2a4a8+=(a4+a8)2,因为a4+a8=-2,所以a6(a2+2a6+a10)=4.‎ ‎1.等比数列性质的应用可以分为哪些变形?‎ 提示:通项公式的变形、等比中项的变形、前n项和公式的变形.‎ ‎2.在解决等比数列项的性质的有关问题时,如何迅速挖掘隐含条件利用性质解题?‎ - 8 -‎ 提示:在等比数列中凡是涉及两项的乘积问题,首先考虑其项数和是否相等,若项数和相等,则利用等比数列的性质进行运算.‎ 提醒:根据题目条件,认真分析,发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.‎ 等比数列中的最值与范围问题 ‎【典例】设等比数列{an}满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2…an的最大值为________.‎ ‎【思路探究】利用等比数列通项公式求出首项a1与公比q,再将a1a2…an的最值问题利用指数幂的运算法则转化为二次函数最值问题.‎ ‎【解析】设等比数列{an}的公比为q,则由a1+a3=10,a2+a4=q(a1+a3)=5,知q=.又a1+a1q2=10,所以a1=8.‎ 故a1a2…an==23n·==.‎ 记t=-+=-(n2-7n),‎ 结合n∈N*可知n=3或4时,t有最大值6.‎ 又y=2t为增函数,从而a1a2…an的最大值为26=64.‎ 答案:64‎ 求等比数列中的最值与范围问题有哪些方法?‎ 提示:求解此类问题的常用思路是根据题目所给条件建立关于变量n的函数关系进行求解.有时也应用基本不等式.‎ ‎1.已知等比数列{an}满足a1=,a3a5=4(a4-1),则a2= (　　)‎ A.2 B.1 C. D.‎ - 8 -‎ ‎【解析】选C.设公比为q,因为a3a5=,a3a5=4(a4-1),所以=4(a4-1),所以-4a4+4=0,所以a4=2.又因为q3===8,所以q=2,所以a2=a1q=×2=.‎ ‎2.已知正数组成的等比数列{an},若a1·a20=100,那么a7+a14的最小值为 ‎(　　)‎ A.20　 B.25 C.50　 D.不存在 ‎【解析】选A.(a7+a14)2=++2a7·a14≥4a7a14=4a1a20=400(当且仅当a7=a14时取等号).所以a7+a14≥20.‎ ‎1.已知数列{an}满足log2an+1=1+log2an(n∈N*),且a1+a2+a3+…+a10=1,则log2(a101+a102+…+a110)=________. ‎ ‎【解析】因为log2an+1=1+log2an,可得log2an+1=log22an,所以an+1=2an,所以数列{an}是以a1为首项,2为公比的等比数列,又a1+a2+…+a10=1,所以a101+a102+…+a110=‎ ‎(a1+a2+…+a10)×2100=2100,‎ 所以log2(a101+a102+…+a110)=log22100=100.‎ 答案:100‎ ‎2.设等比数列{an}的公比为q,前n项和Sn>0(n=1,2,3,…),求q的取值范围.‎ ‎【解析】因为数列{an}为等比数列,Sn>0,‎ 所以a1=S1>0,q≠0.当q=1时,Sn=na1>0;‎ 当q≠0且q≠1时,Sn=>0,即>0,‎ 所以或所以-11.‎ 综上,q的取值范围为(-1,0)∪(0,+∞).‎ - 8 -‎