2013-2014学年山东省济南市山师附中高二（上）期中数学试卷 9页

‎2013-2014学年山东省济南市山师附中高二（上）期中数学试卷 一、选择题（共13小题，每小题4分，共48分．每小题只有一个选项符合题意）‎ ‎ ‎ ‎1. 在‎△ABC中，若C=‎‎90‎‎∘‎，a=6‎，B=‎‎30‎‎∘‎，则c−b等于（ ） ‎ A.‎1‎ B.‎−1‎ C.‎2‎‎3‎ D.‎‎−2‎‎3‎ ‎ ‎ ‎2. 已知数列‎{an}‎的首项a‎1‎‎=1‎，且an‎=2an−1‎+1(n≥2)‎，则a‎5‎为（ ） ‎ A.‎7‎ B.‎15‎ C.‎30‎ D.‎‎31‎ ‎ ‎ ‎3. 在‎△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=λ，b=‎3‎λ(λ>0)‎，A=‎‎45‎‎∘‎，则满足此条件的三角形个数是（ ） ‎ A.‎0‎ B.‎1‎ C.‎2‎ D.无数个 ‎ ‎ ‎4. 已知‎00‎的解集是‎(−‎1‎‎2‎，‎1‎‎3‎)‎，则a+b的值是（ ） ‎ A.‎10‎ B.‎−10‎ C.‎14‎ D.‎‎−14‎ ‎ ‎ ‎6. 在‎△ABC中，若b=2asinB，则A等于(        ) ‎ A.‎30‎‎∘‎或‎60‎‎∘‎ B.‎45‎‎∘‎或‎60‎‎∘‎ C.‎120‎‎∘‎或‎60‎‎∘‎ D.‎30‎‎∘‎或‎150‎‎∘‎ ‎ ‎ ‎7. 在‎△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a‎2‎‎+c‎2‎−b‎2‎=‎3‎ac，则角B的值为（ ） ‎ A.π‎6‎ B.π‎3‎ C.π‎6‎或‎5π‎6‎ D.π‎3‎或‎2π‎3‎ ‎ ‎ ‎8. 等差数列an中，已知前‎15‎项的和S‎15‎‎=90‎，则a‎8‎等于（ ） ‎ A.‎45‎‎2‎ B.‎12‎ C.‎45‎‎4‎ D.‎‎6‎ ‎ ‎ ‎9. 在‎△ABC中，AB=‎‎3‎，AC=1‎，B=‎‎30‎‎∘‎，则‎△ABC的面积等于（        ） ‎ A.‎3‎‎2‎ B.‎3‎‎4‎ C.‎3‎‎2‎或‎3‎ D.‎‎3‎‎2‎或‎3‎‎4‎ ‎ ‎ ‎10. 设各项均为实数的等比数列‎{an}‎的前n项和为Sn，若S‎10‎＝‎10‎，S‎30‎＝‎70‎，则S‎40‎等于（ ） ‎ A.‎150‎ B.‎−200‎ C.‎150‎或‎−200‎ D.‎400‎或‎−50‎ ‎ ‎ ‎11. 若不等式组x−y+5≥0‎y≥a‎0≤x≤2‎表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是（ ） ‎ A.a<5‎ B.a≥7‎ C.‎5≤a<7‎ D.a<5‎或a≥7‎ ‎ ‎ ‎12. 在‎△ABC中，若acosA‎=bcosB=‎ccosC，则‎△ABC是（ ） ‎ A.直角三角形 B.等边三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形 ‎ ‎ ‎ ‎13. 若不等式x‎2‎‎+ax+1≥0‎对一切x∈(0,‎1‎‎2‎)‎成立，则a的最小值为‎(‎        ‎)‎ ‎ A.‎0‎ B.‎−2‎ C.‎−‎‎5‎‎2‎ D.‎‎−3‎ 二．解答题（共5小题，每小题4分，共16分．）‎ ‎ ‎ ‎ 若x，y满足约束条件y≤xx+y≤−1‎y≥−1‎，则z=2x+y的最大值是________． ‎ ‎ ‎ ‎ 在各项均为正数的等比数列‎{an}‎中，已知a‎1‎‎=1‎，a‎2‎‎+a‎3‎=6‎，则数列‎{an}‎的通项公式为________． ‎ ‎ ‎ ‎ 在等差数列‎{an}‎中，an‎=3n−28‎，则Sn取得最小值时的n=‎________． ‎ ‎ ‎ ‎ 若lgx+lgy＝‎2‎，则‎1‎x‎+‎‎1‎y的最小值为________． ‎ ‎ ‎ ‎ 已知‎{an}‎是等比数列，且an‎>0‎，a‎2‎a‎4‎‎+2a‎3‎a‎5‎+‎a‎4‎a‎6‎＝‎25‎，那么a‎3‎‎+‎a‎5‎的值等于________． ‎ 第17页 共18页 ◎ 第18页 共18页 三．解答题（共六个小题．共56分）‎ ‎ ‎ ‎ 已知集合A={x|x‎2‎+3x+2<0}‎若B={x|x‎2‎−4ax+3a‎2‎<0}‎，A⊆B，求实数a的取值范围． ‎ ‎ ‎ ‎ （1）设x，y为正数，求‎(x+y)(‎1‎x+‎4‎y)‎的最小值，并写出取得最小值的条件． ‎ ‎（2）设a>b>c，若‎1‎a−b‎+‎1‎b−c≥‎na−c恒成立，求n的最大值．‎ ‎ ‎ ‎ 在‎△ABC中，cosA=−‎‎5‎‎13‎，cosB=‎‎3‎‎5‎． ‎ ‎(1)‎求sinC的值；‎ ‎ ‎ ‎(2)‎设BC=5‎，求‎△ABC的面积．‎ ‎ ‎ ‎ 已知：等差数列‎{an}‎中，a‎4‎‎=14‎，a‎7‎‎=23‎． ‎ ‎（1）求an；‎ ‎ ‎ ‎（2）将‎{an}‎中的第‎2‎项，第‎4‎项，…，第‎2‎n项按原来的顺序排成一个新数列，求此数列的前n项和Gn．‎ ‎ ‎ ‎ 如图，‎△ACD是等边三角形，‎△ABC是等腰直角三角形，‎∠ACB=‎‎90‎‎∘‎，BD交AC于E，AB=2‎． ‎ ‎（1）求cos∠CBE的值；‎ ‎ ‎ ‎（2）求AE．‎ ‎ ‎ ‎ 设数列‎{an}‎的前项和为Sn，已知a‎1‎‎=1‎，‎2‎Snn‎=an+1‎−‎1‎‎3‎n‎2‎−n−‎‎2‎‎3‎，n∈‎N‎*‎． ‎ ‎(1)‎求a‎2‎的值；‎ ‎ ‎ ‎(2)‎求数列‎{an}‎的通项公式；‎ ‎ ‎ ‎(3)‎证明：对一切正整数n，有‎1‎a‎1‎‎+‎1‎a‎2‎+…+‎1‎an<‎‎7‎‎4‎．‎ ‎ ‎ ‎ （文）数列‎{an}‎的前n项和为Sn，a‎1‎‎=1‎，Sn‎=2an−1‎． ‎ ‎（1）求数列‎{an}‎的通项an；‎ ‎ ‎ ‎（2）求数列‎{nan}‎的前n项和Tn．‎ 第17页 共18页 ◎ 第18页 共18页 参考答案与试题解析 ‎2013-2014学年山东省济南市山师附中高二（上）期中数学试卷 一、选择题（共13小题，每小题4分，共48分．每小题只有一个选项符合题意）‎ ‎1.‎ ‎【答案】‎ C ‎【考点】‎ 正弦定理 ‎【解析】‎ 利用c=‎acos‎30‎‎∘‎，b=atan‎30‎‎∘‎分别求得c和b，则答案可得．‎ ‎【解答】‎ 解：c=acos‎30‎‎∘‎=4‎‎3‎， b=atan‎30‎‎∘‎=2‎‎3‎ ∴ c−b=4‎3‎−2‎3‎=2‎‎3‎ 故选C ‎2.‎ ‎【答案】‎ D ‎【考点】‎ 数列递推式 ‎【解析】‎ ‎（法一）利用已递推关系把n=1‎，n=2‎，n=3‎，n=4‎，n=5‎分别代入进行求解即可求解 （法二）利用迭代可得a‎5‎‎=2a‎4‎+1=2(a‎3‎+1)+1=‎…进行求解 （法三）构造可得an‎+1=2(an−1‎+1)‎，从而可得数列‎{an+1}‎是以‎2‎为首项，以‎2‎为等比数列，可先求an‎+1‎，进而可求an，把n=5‎代入可求 ‎【解答】‎ 解：（法一）∵ an‎=2an−1‎+1‎，a‎1‎‎=1‎ a‎2‎‎=2a‎1‎+1=3‎ a‎3‎‎=2a‎2‎+1=7‎ a‎4‎‎=2a‎3‎+1=15‎ a‎5‎‎=2a‎4‎+1=31‎ （法二）∵ an‎=2an−1‎+1‎ ∴ a‎5‎‎=2a‎4‎+1=4a‎3‎+3=8a‎2‎+7=16a‎1‎+15=31‎ （法三）∴ an‎+1=2(an−1‎+1)‎ ∵ a‎1‎‎+1=2‎ ∴ ‎{an+1}‎是以‎2‎为首项，以‎2‎为等比数列 ∴ an‎+1=2⋅‎2‎n−1‎=‎‎2‎n ∴ an‎=‎2‎n−1‎ ∴ a‎5‎‎=‎2‎‎5‎−1=31‎ 故选：‎D ‎3.‎ ‎【答案】‎ A ‎【考点】‎ 正弦定理 ‎【解析】‎ 由正弦定理求得sinB=‎6‎‎2‎>1‎，可得角B不存在，故满足此条件的三角形不存在．‎ ‎【解答】‎ 解：在‎△ABC中，由正弦定理可得asinA‎=‎bsinB，即λsin‎45‎‎∘‎‎=‎‎3‎λsinB，求得sinB=‎6‎‎2‎>1‎，故B不存在，故满足此条件的三角形不存在， 故选A．‎ ‎4.‎ ‎【答案】‎ B ‎【考点】‎ 基本不等式在最值问题中的应用 ‎【解析】‎ 根据y=‎1‎‎2‎x(1−2x)‎构造成y=‎1‎‎4‎⋅2x⋅(1−2x)‎，利用基本不等式即可求得最大值，从而根据基本不等式取等号的条件，确定出x的值．‎ ‎【解答】‎ 解：∵ ‎00‎恒成立， 故a≥0‎， 若‎0≤−a‎2‎≤‎‎1‎‎2‎，即‎−1≤a≤0‎， 则应有f(−a‎2‎)=a‎2‎‎4‎−a‎2‎‎2‎+1=1−a‎2‎‎4‎≥0‎恒成立， 故‎−1≤a≤0‎， 综上，有‎−‎5‎‎2‎≤a． 故选C.‎ 二．解答题（共5小题，每小题4分，共16分．）‎ ‎【答案】‎ ‎−1‎ ‎【考点】‎ 简单线性规划 ‎【解析】‎ 画出满足约束条件的可行域，并求出各角点的坐标，分别代入目标函数，比照后可得最优解．‎ ‎【解答】‎ 解：满足约束条件y≤xx+y≤−1‎y≥−1‎的可行域如下图所示： ‎ 第17页 共18页 ◎ 第18页 共18页 ‎ ∵ z=2x+y 故当x=0‎，y=−1‎时，z=2x+y的最大值是‎−1‎ 故答案为：‎‎−1‎ ‎【答案】‎ an‎=‎‎2‎n−1‎ ‎【考点】‎ 等比数列的通项公式 ‎【解析】‎ 先设等比数列的公比为q；根据a‎1‎‎=1‎，a‎2‎‎+a‎3‎=6‎求出公比即可求出数列‎{an}‎的通项公式．（注意题中的限制条件“各项均为正数'）‎ ‎【解答】‎ 解：设等比数列的公比为q． 则由a‎1‎‎=1‎，a‎2‎‎+a‎3‎=6‎，得：a‎1‎‎(q+q‎2‎)=6⇒q‎2‎+q−6=0‎ 解得q=2‎或q=−3‎． 又因为数列各项均为正数 ∴ q=2‎． ∴ an‎=a‎1‎⋅qn−1‎=‎‎2‎n−1‎． 故答案为：an‎=‎‎2‎n−1‎．‎ ‎【答案】‎ ‎9‎ ‎【考点】‎ 等差数列的前n项和 数列的函数特性 ‎【解析】‎ 令an‎=3n−28≤0‎，解得n即可．‎ ‎【解答】‎ 解：令an‎=3n−28≤0‎，解得n≤‎28‎‎3‎=9+‎‎1‎‎3‎， 故当n=9‎时，Sn取得最小值． 故答案为‎9‎．‎ ‎【答案】‎ ‎1‎‎5‎ ‎【考点】‎ 基本不等式及其应用 对数的运算性质 ‎【解析】‎ 根据对数的运算性质计算已知的等式，得到xy的值，且由对数函数的定义域得到x与y都大于‎0‎，然后把所求的式子通分后，利用分子利用基本不等式变形，将xy的值代入即可求出所求式子的最小值．‎ ‎【解答】‎ 由lgx+lgy＝lgxy＝‎2‎，得到xy＝‎10‎‎2‎＝‎100‎，且x>0‎，y>0‎， ∴ ‎1‎x‎+‎1‎y=x+yxy≥‎2‎xyxy=‎2‎‎100‎‎100‎=‎‎1‎‎5‎，当且仅当x＝y时取等号， 则‎1‎x‎+‎‎1‎y的最小值为‎1‎‎5‎．‎ ‎【答案】‎ ‎5‎ ‎【考点】‎ 等比数列的性质 ‎【解析】‎ 由‎{an}‎是等比数列，a‎2‎a‎4‎‎+2a‎3‎a‎5‎+‎a‎4‎a‎6‎＝‎25‎，利用等比数列的通项公式知a‎3‎‎2‎‎+2a‎3‎a‎5‎+‎a‎5‎‎2‎＝‎25‎，再由完全平方和公式知‎(a‎3‎+‎a‎5‎‎)‎‎2‎＝‎25‎，再由an‎>0‎，能求出a‎3‎‎+‎a‎5‎的值．‎ ‎【解答】‎ ‎∵ ‎{an}‎是等比数列，且an‎>0‎， a‎2‎a‎4‎‎+2a‎3‎a‎5‎+‎a‎4‎a‎6‎＝‎25‎， ∴ a‎3‎‎2‎‎+2a‎3‎a‎5‎+‎a‎5‎‎2‎＝‎25‎， ∴ ‎(a‎3‎+‎a‎5‎‎)‎‎2‎＝‎25‎， ∵ an‎>0‎， ∴ a‎3‎‎+‎a‎5‎＝‎5‎．‎ 三．解答题（共六个小题．共56分）‎ ‎【答案】‎ 解：A={x|x‎2‎+3x+2<0}={x|−2a，即a>0‎时，则B={x|aa，即a>0‎时，则B={x|a0‎，y>0‎ ∴ ‎(x+y)(‎1‎x+‎4‎y)=1+yx+‎4xy+4≥5+2‎4‎=9‎， 当且仅当yx‎=‎‎4xy，即y=2x时取得最小值；‎ ‎（2）∵ a>b>c ∴ a−b>0‎，a−c>0‎，b−c>0‎， ∴ ‎1‎a−b‎+‎1‎b−c≥‎na−c可化为n≤(‎1‎a−b+‎1‎b−c)(a−c)‎ 令t=(‎1‎a−b+‎1‎b−c)(a−c)‎ ‎=(‎1‎a−b+‎1‎b−c)[(a−b)+(b−c)]‎ ‎=1+b−ca−b+a−bb−c+1≥2+2=4‎． 当且仅当b−ca−b‎=‎a−bb−c，即‎2b=a+c时等号成立． ∴ n≤4‎， ∴ n的最大值是‎4‎．‎ ‎【考点】‎ 函数恒成立问题 函数的最值及其几何意义 ‎【解析】‎ ‎（1）展开多项式乘多项式，然后利用基本不等式求最值，并得到使代数式取得最小值的条件；‎ ‎（2）由已知得到a−b，a−c，b−c的符号，两边同时乘以a−c后变式，然后利用基本不等式求最值，从而得到n的最大值．‎ ‎【解答】‎ 解：（1）∵ x>0‎，y>0‎ ∴ ‎(x+y)(‎1‎x+‎4‎y)=1+yx+‎4xy+4≥5+2‎4‎=9‎， 当且仅当yx‎=‎‎4xy，即y=2x时取得最小值；‎ ‎（2）∵ a>b>c ∴ a−b>0‎，a−c>0‎，b−c>0‎， ∴ ‎1‎a−b‎+‎1‎b−c≥‎na−c可化为n≤(‎1‎a−b+‎1‎b−c)(a−c)‎ 令t=(‎1‎a−b+‎1‎b−c)(a−c)‎ ‎=(‎1‎a−b+‎1‎b−c)[(a−b)+(b−c)]‎ ‎=1+b−ca−b+a−bb−c+1≥2+2=4‎． 当且仅当b−ca−b‎=‎a−bb−c，即‎2b=a+c时等号成立． ∴ n≤4‎， ∴ n的最大值是‎4‎．‎ ‎【答案】‎ 解：（1）由cosA=−‎‎5‎‎13‎，得sinA=‎‎12‎‎13‎， 由cosB=‎‎3‎‎5‎，得sinB=‎‎4‎‎5‎． 所以sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=‎‎16‎‎65‎．‎ ‎（2）由正弦定理得AC=BC×sinBsinA=‎5×‎‎4‎‎5‎‎12‎‎13‎=‎‎13‎‎3‎． 所以‎△ABC的面积S=‎1‎‎2‎×BC×AC×sinC=‎1‎‎2‎×5×‎13‎‎3‎×‎16‎‎65‎=‎‎8‎‎3‎．‎ ‎【考点】‎ 求两角和与差的正弦 同角三角函数间的基本关系 ‎【解析】‎ ‎（1）先利用同角三角函数的基本关系求得sinA和sinB的值，进而根据sinC=sin(A+B)‎利用正弦的两角和公式求得答案．‎ ‎（2）先利用正弦定理求得AC，进而利用三角形面积公式求得三角形的面积．‎ ‎【解答】‎ 解：（1）由cosA=−‎‎5‎‎13‎，得sinA=‎‎12‎‎13‎， 由cosB=‎‎3‎‎5‎，得sinB=‎‎4‎‎5‎． 所以sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=‎‎16‎‎65‎．‎ ‎（2）由正弦定理得AC=BC×sinBsinA=‎5×‎‎4‎‎5‎‎12‎‎13‎=‎‎13‎‎3‎． 所以‎△ABC的面积S=‎1‎‎2‎×BC×AC×sinC=‎1‎‎2‎×5×‎13‎‎3‎×‎16‎‎65‎=‎‎8‎‎3‎．‎ ‎【答案】‎ 第17页 共18页 ◎ 第18页 共18页 解：（1）设数列公差为d， 由a‎4‎‎=14‎，a‎7‎‎=23‎， ∴ d=‎1‎‎3‎(a‎7‎−a‎4‎)=3‎， ∴ an‎=a‎4‎+(n−4)d=3n+2‎；‎ ‎（2）Gn‎=a‎2‎+a‎4‎+a‎8‎+...+‎a‎2‎n ‎=(3×2+2)+(3×4+2)+(3×8+2)+...+(3×‎2‎n+2)‎ ‎=3×(2+4+8+...+‎2‎n)+2n ‎=3×‎2×(1−‎2‎n)‎‎1−2‎+2n ‎=6×(‎2‎n−1)+2n．‎ ‎【考点】‎ 数列的求和 等差数列的通项公式 ‎【解析】‎ ‎（1）设数列公差为d，易求d=3‎，于是可得an；‎ ‎（2）利用分组求和的方法即可求得此数列的前n项和Gn．‎ ‎【解答】‎ 解：（1）设数列公差为d， 由a‎4‎‎=14‎，a‎7‎‎=23‎， ∴ d=‎1‎‎3‎(a‎7‎−a‎4‎)=3‎， ∴ an‎=a‎4‎+(n−4)d=3n+2‎；‎ ‎（2）Gn‎=a‎2‎+a‎4‎+a‎8‎+...+‎a‎2‎n ‎=(3×2+2)+(3×4+2)+(3×8+2)+...+(3×‎2‎n+2)‎ ‎=3×(2+4+8+...+‎2‎n)+2n ‎=3×‎2×(1−‎2‎n)‎‎1−2‎+2n ‎=6×(‎2‎n−1)+2n．‎ ‎【答案】‎ 解：．（1）∵ ‎∠BCD=‎90‎‎∘‎+‎60‎‎∘‎=‎‎150‎‎∘‎，CB=AC=CD ∴ ‎∠CBE=‎‎15‎‎∘‎，∴ cos∠CBE=cos(‎45‎‎∘‎−‎30‎‎∘‎)=‎‎6‎‎+‎‎2‎‎4‎．‎ ‎（2）在‎△ABE中，AB=2‎，由正弦定理得AEsin(‎45‎‎∘‎−‎15‎‎∘‎)‎‎=‎‎2‎sin(‎90‎‎∘‎+‎15‎‎∘‎)‎， 故AE=‎2sin‎30‎‎∘‎cos‎15‎‎∘‎=‎2×‎‎1‎‎2‎‎6‎‎+‎‎2‎‎4‎=‎6‎−‎‎2‎．‎ ‎【考点】‎ 正弦定理的应用 ‎【解析】‎ ‎（1）根据图中各角和边的关系可得‎∠CBE的值，再由两角差的余弦公式可得答案．‎ ‎（2）根据正弦定理可直接得到答案．‎ ‎【解答】‎ 解：．（1）∵ ‎∠BCD=‎90‎‎∘‎+‎60‎‎∘‎=‎‎150‎‎∘‎，CB=AC=CD ∴ ‎∠CBE=‎‎15‎‎∘‎，∴ cos∠CBE=cos(‎45‎‎∘‎−‎30‎‎∘‎)=‎‎6‎‎+‎‎2‎‎4‎．‎ ‎（2）在‎△ABE中，AB=2‎，由正弦定理得AEsin(‎45‎‎∘‎−‎15‎‎∘‎)‎‎=‎‎2‎sin(‎90‎‎∘‎+‎15‎‎∘‎)‎， 故AE=‎2sin‎30‎‎∘‎cos‎15‎‎∘‎=‎2×‎‎1‎‎2‎‎6‎‎+‎‎2‎‎4‎=‎6‎−‎‎2‎．‎ ‎【答案】‎ ‎(1)‎解：当n=1‎时，‎2‎S‎1‎‎1‎‎=2a‎1‎=a‎2‎−‎1‎‎3‎−1−‎‎2‎‎3‎， 解得a‎2‎‎=4‎.‎ ‎(2)‎解：‎2Sn=nan+1‎−‎1‎‎3‎n‎3‎−n‎2‎−‎2‎‎3‎n① 当n≥2‎时，‎2Sn−1‎=(n−1)an−‎1‎‎3‎(n−1‎)‎‎3‎−(n−1‎)‎‎2‎−‎2‎‎3‎(n−1)‎② ①-②得‎2an=nan+1‎−(n−1)an−n‎2‎−n 整理得nan+1‎=(n+1)an+n(n+1)‎， 即an+1‎n+1‎‎=ann+1‎，an+1‎n+1‎‎−ann=1‎ 当n=1‎时，a‎2‎‎2‎‎−a‎1‎‎1‎=2−1=1‎ 所以数列‎{ann}‎是以‎1‎为首项，‎1‎为公差的等差数列 所以ann‎=n，即an‎=‎n‎2‎ 所以数列‎{an}‎的通项公式为an‎=‎n‎2‎，‎n∈‎N‎*‎ ‎(3)‎证明：因为‎1‎an‎=‎1‎n‎2‎<‎1‎‎(n−1)n=‎1‎n−1‎−‎1‎n(n≥2)‎， 所以‎1‎a‎1‎‎+‎1‎a‎2‎+…+‎1‎an=‎1‎‎1‎‎2‎+‎1‎‎2‎‎2‎+‎1‎‎3‎‎2‎+…+‎‎1‎n‎2‎ ‎<1+‎1‎‎4‎+(‎1‎‎2‎−‎1‎‎3‎)+‎‎(‎1‎‎3‎−‎1‎‎4‎)+…+(‎1‎n−1‎−‎1‎n)‎ ‎=1+‎1‎‎4‎+‎1‎‎2‎−‎1‎n=‎7‎‎4‎−‎1‎n<‎‎7‎‎4‎． 则对一切正整数n，有‎1‎a‎1‎‎+‎1‎a‎2‎+…+‎1‎an<‎‎7‎‎4‎． ‎ ‎【考点】‎ 不等式恒成立问题 数列与不等式的综合 数列递推式 等差数列的通项公式 ‎【解析】‎ ‎（1）利用已知a‎1‎‎=1‎，‎2‎Snn‎=an+1‎−‎1‎‎3‎n‎2‎−n−‎‎2‎‎3‎，n∈‎N‎*‎．令n=1‎即可求出；‎ 第17页 共18页 ◎ 第18页 共18页 ‎（2）利用an‎=Sn−Sn−1‎(n≥2)‎即可得到nan+1‎=(n+1)an+n(n+1)‎，可化为an+1‎n+1‎‎=ann+1‎，an+1‎n+1‎‎−ann=1‎．再利用等差数列的通项公式即可得出；‎ ‎（3）利用（2），通过放缩法‎1‎an‎=‎1‎n‎2‎<‎1‎‎(n−1)n=‎1‎n−1‎−‎1‎n(n≥2)‎即可证明．‎ ‎【解答】‎ ‎(1)‎解：当n=1‎时，‎2‎S‎1‎‎1‎‎=2a‎1‎=a‎2‎−‎1‎‎3‎−1−‎‎2‎‎3‎， 解得a‎2‎‎=4‎.‎ ‎(2)‎解：‎2Sn=nan+1‎−‎1‎‎3‎n‎3‎−n‎2‎−‎2‎‎3‎n① 当n≥2‎时，‎2Sn−1‎=(n−1)an−‎1‎‎3‎(n−1‎)‎‎3‎−(n−1‎)‎‎2‎−‎2‎‎3‎(n−1)‎② ①-②得‎2an=nan+1‎−(n−1)an−n‎2‎−n 整理得nan+1‎=(n+1)an+n(n+1)‎， 即an+1‎n+1‎‎=ann+1‎，an+1‎n+1‎‎−ann=1‎ 当n=1‎时，a‎2‎‎2‎‎−a‎1‎‎1‎=2−1=1‎ 所以数列‎{ann}‎是以‎1‎为首项，‎1‎为公差的等差数列 所以ann‎=n，即an‎=‎n‎2‎ 所以数列‎{an}‎的通项公式为an‎=‎n‎2‎，‎n∈‎N‎*‎ ‎(3)‎证明：因为‎1‎an‎=‎1‎n‎2‎<‎1‎‎(n−1)n=‎1‎n−1‎−‎1‎n(n≥2)‎， 所以‎1‎a‎1‎‎+‎1‎a‎2‎+…+‎1‎an=‎1‎‎1‎‎2‎+‎1‎‎2‎‎2‎+‎1‎‎3‎‎2‎+…+‎‎1‎n‎2‎ ‎<1+‎1‎‎4‎+(‎1‎‎2‎−‎1‎‎3‎)+‎‎(‎1‎‎3‎−‎1‎‎4‎)+…+(‎1‎n−1‎−‎1‎n)‎ ‎=1+‎1‎‎4‎+‎1‎‎2‎−‎1‎n=‎7‎‎4‎−‎1‎n<‎‎7‎‎4‎． 则对一切正整数n，有‎1‎a‎1‎‎+‎1‎a‎2‎+…+‎1‎an<‎‎7‎‎4‎． ‎ ‎【答案】‎ 解：（1）∵ Sn‎=2an−1‎， ∴ Sn+1‎‎=2an+1‎−1‎， ∴ an+1‎‎=2an+1‎−2‎an 即an+1‎‎=2‎an， ∵ a‎1‎‎=1‎， ∴ ‎{an}‎是首项为‎1‎，公比为‎2‎的等比数列， ∴ an‎=‎‎2‎n−1‎；‎ ‎（2）Tn‎=1×‎2‎‎0‎+2×‎2‎‎1‎+3×‎2‎‎2‎+...+n×‎‎2‎n−1‎①， ‎2Tn=1×‎2‎‎1‎+2×‎2‎‎2‎+...+(n−1)×‎2‎n−1‎+n×‎‎2‎n②， ①-②得：‎−Tn=(‎2‎‎0‎+‎2‎‎1‎+‎2‎‎2‎+...+‎2‎n−1‎)−n×‎‎2‎n ‎=‎2‎n−1−n×‎‎2‎n ‎=−(n−1)‎2‎n−1‎， ∴ Tn‎=(n−1)×‎2‎n+1‎．‎ ‎【考点】‎ 数列的求和 ‎【解析】‎ ‎（1）由Sn‎=2an−1⇒Sn+1‎=2an+1‎−1‎，从而可得an+1‎‎=2‎an，而a‎1‎‎=1‎，从而知‎{an}‎是首项为‎1‎，公比为‎2‎的等比数列，于是可得数列‎{an}‎的通项an；‎ ‎（2）利用错位相减法即可求得数列‎{nan}‎的前n项和Tn．‎ ‎【解答】‎ 解：（1）∵ Sn‎=2an−1‎， ∴ Sn+1‎‎=2an+1‎−1‎， ∴ an+1‎‎=2an+1‎−2‎an 即an+1‎‎=2‎an， ∵ a‎1‎‎=1‎， ∴ ‎{an}‎是首项为‎1‎，公比为‎2‎的等比数列， ∴ an‎=‎‎2‎n−1‎；‎ ‎（2）Tn‎=1×‎2‎‎0‎+2×‎2‎‎1‎+3×‎2‎‎2‎+...+n×‎‎2‎n−1‎①， ‎2Tn=1×‎2‎‎1‎+2×‎2‎‎2‎+...+(n−1)×‎2‎n−1‎+n×‎‎2‎n②， ①-②得：‎−Tn=(‎2‎‎0‎+‎2‎‎1‎+‎2‎‎2‎+...+‎2‎n−1‎)−n×‎‎2‎n ‎=‎2‎n−1−n×‎‎2‎n ‎=−(n−1)‎2‎n−1‎， ∴ Tn‎=(n−1)×‎2‎n+1‎．‎ 第17页 共18页 ◎ 第18页 共18页