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2013-2014学年山东省济南市山师附中高二(上)期中数学试卷

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‎2013-2014学年山东省济南市山师附中高二(上)期中数学试卷 一、选择题(共13小题,每小题4分,共48分.每小题只有一个选项符合题意)‎ ‎ ‎ ‎1. 在‎△ABC中,若C=‎‎90‎‎∘‎,a=6‎,B=‎‎30‎‎∘‎,则c−b等于( ) ‎ A.‎1‎ B.‎−1‎ C.‎2‎‎3‎ D.‎‎−2‎‎3‎ ‎ ‎ ‎2. 已知数列‎{an}‎的首项a‎1‎‎=1‎,且an‎=2an−1‎+1(n≥2)‎,则a‎5‎为( ) ‎ A.‎7‎ B.‎15‎ C.‎30‎ D.‎‎31‎ ‎ ‎ ‎3. 在‎△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,且a=λ,b=‎3‎λ(λ>0)‎,A=‎‎45‎‎∘‎,则满足此条件的三角形个数是( ) ‎ A.‎0‎ B.‎1‎ C.‎2‎ D.无数个 ‎ ‎ ‎4. 已知‎00‎的解集是‎(−‎1‎‎2‎,‎1‎‎3‎)‎,则a+b的值是( ) ‎ A.‎10‎ B.‎−10‎ C.‎14‎ D.‎‎−14‎ ‎ ‎ ‎6. 在‎△ABC中,若b=2asinB,则A等于(        ) ‎ A.‎30‎‎∘‎或‎60‎‎∘‎ B.‎45‎‎∘‎或‎60‎‎∘‎ C.‎120‎‎∘‎或‎60‎‎∘‎ D.‎30‎‎∘‎或‎150‎‎∘‎ ‎ ‎ ‎7. 在‎△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若a‎2‎‎+c‎2‎−b‎2‎=‎3‎ac,则角B的值为( ) ‎ A.π‎6‎ B.π‎3‎ C.π‎6‎或‎5π‎6‎ D.π‎3‎或‎2π‎3‎ ‎ ‎ ‎8. 等差数列an中,已知前‎15‎项的和S‎15‎‎=90‎,则a‎8‎等于( ) ‎ A.‎45‎‎2‎ B.‎12‎ C.‎45‎‎4‎ D.‎‎6‎ ‎ ‎ ‎9. 在‎△ABC中,AB=‎‎3‎,AC=1‎,B=‎‎30‎‎∘‎,则‎△ABC的面积等于(        ) ‎ A.‎3‎‎2‎ B.‎3‎‎4‎ C.‎3‎‎2‎或‎3‎ D.‎‎3‎‎2‎或‎3‎‎4‎ ‎ ‎ ‎10. 设各项均为实数的等比数列‎{an}‎的前n项和为Sn,若S‎10‎=‎10‎,S‎30‎=‎70‎,则S‎40‎等于( ) ‎ A.‎150‎ B.‎−200‎ C.‎150‎或‎−200‎ D.‎400‎或‎−50‎ ‎ ‎ ‎11. 若不等式组x−y+5≥0‎y≥a‎0≤x≤2‎表示的平面区域是一个三角形,则a的取值范围是( ) ‎ A.a<5‎ B.a≥7‎ C.‎5≤a<7‎ D.a<5‎或a≥7‎ ‎ ‎ ‎12. 在‎△ABC中,若acosA‎=bcosB=‎ccosC,则‎△ABC是( ) ‎ A.直角三角形 B.等边三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形 ‎ ‎ ‎ ‎13. 若不等式x‎2‎‎+ax+1≥0‎对一切x∈(0,‎1‎‎2‎)‎成立,则a的最小值为‎(‎        ‎)‎ ‎ A.‎0‎ B.‎−2‎ C.‎−‎‎5‎‎2‎ D.‎‎−3‎ 二.解答题(共5小题,每小题4分,共16分.)‎ ‎ ‎ ‎ 若x,y满足约束条件y≤xx+y≤−1‎y≥−1‎,则z=2x+y的最大值是________. ‎ ‎ ‎ ‎ 在各项均为正数的等比数列‎{an}‎中,已知a‎1‎‎=1‎,a‎2‎‎+a‎3‎=6‎,则数列‎{an}‎的通项公式为________. ‎ ‎ ‎ ‎ 在等差数列‎{an}‎中,an‎=3n−28‎,则Sn取得最小值时的n=‎________. ‎ ‎ ‎ ‎ 若lgx+lgy=‎2‎,则‎1‎x‎+‎‎1‎y的最小值为________. ‎ ‎ ‎ ‎ 已知‎{an}‎是等比数列,且an‎>0‎,a‎2‎a‎4‎‎+2a‎3‎a‎5‎+‎a‎4‎a‎6‎=‎25‎,那么a‎3‎‎+‎a‎5‎的值等于________. ‎ 第17页 共18页 ◎ 第18页 共18页 三.解答题(共六个小题.共56分)‎ ‎ ‎ ‎ 已知集合A={x|x‎2‎+3x+2<0}‎若B={x|x‎2‎−4ax+3a‎2‎<0}‎,A⊆B,求实数a的取值范围. ‎ ‎ ‎ ‎ (1)设x,y为正数,求‎(x+y)(‎1‎x+‎4‎y)‎的最小值,并写出取得最小值的条件. ‎ ‎(2)设a>b>c,若‎1‎a−b‎+‎1‎b−c≥‎na−c恒成立,求n的最大值.‎ ‎ ‎ ‎ 在‎△ABC中,cosA=−‎‎5‎‎13‎,cosB=‎‎3‎‎5‎. ‎ ‎(1)‎求sinC的值;‎ ‎ ‎ ‎(2)‎设BC=5‎,求‎△ABC的面积.‎ ‎ ‎ ‎ 已知:等差数列‎{an}‎中,a‎4‎‎=14‎,a‎7‎‎=23‎. ‎ ‎(1)求an;‎ ‎ ‎ ‎(2)将‎{an}‎中的第‎2‎项,第‎4‎项,…,第‎2‎n项按原来的顺序排成一个新数列,求此数列的前n项和Gn.‎ ‎ ‎ ‎ 如图,‎△ACD是等边三角形,‎△ABC是等腰直角三角形,‎∠ACB=‎‎90‎‎∘‎,BD交AC于E,AB=2‎. ‎ ‎(1)求cos∠CBE的值;‎ ‎ ‎ ‎(2)求AE.‎ ‎ ‎ ‎ 设数列‎{an}‎的前项和为Sn,已知a‎1‎‎=1‎,‎2‎Snn‎=an+1‎−‎1‎‎3‎n‎2‎−n−‎‎2‎‎3‎,n∈‎N‎*‎. ‎ ‎(1)‎求a‎2‎的值;‎ ‎ ‎ ‎(2)‎求数列‎{an}‎的通项公式;‎ ‎ ‎ ‎(3)‎证明:对一切正整数n,有‎1‎a‎1‎‎+‎1‎a‎2‎+…+‎1‎an<‎‎7‎‎4‎.‎ ‎ ‎ ‎ (文)数列‎{an}‎的前n项和为Sn,a‎1‎‎=1‎,Sn‎=2an−1‎. ‎ ‎(1)求数列‎{an}‎的通项an;‎ ‎ ‎ ‎(2)求数列‎{nan}‎的前n项和Tn.‎ 第17页 共18页 ◎ 第18页 共18页 参考答案与试题解析 ‎2013-2014学年山东省济南市山师附中高二(上)期中数学试卷 一、选择题(共13小题,每小题4分,共48分.每小题只有一个选项符合题意)‎ ‎1.‎ ‎【答案】‎ C ‎【考点】‎ 正弦定理 ‎【解析】‎ 利用c=‎acos‎30‎‎∘‎,b=atan‎30‎‎∘‎分别求得c和b,则答案可得.‎ ‎【解答】‎ 解:c=acos‎30‎‎∘‎=4‎‎3‎, b=atan‎30‎‎∘‎=2‎‎3‎ ∴ c−b=4‎3‎−2‎3‎=2‎‎3‎ 故选C ‎2.‎ ‎【答案】‎ D ‎【考点】‎ 数列递推式 ‎【解析】‎ ‎(法一)利用已递推关系把n=1‎,n=2‎,n=3‎,n=4‎,n=5‎分别代入进行求解即可求解 (法二)利用迭代可得a‎5‎‎=2a‎4‎+1=2(a‎3‎+1)+1=‎…进行求解 (法三)构造可得an‎+1=2(an−1‎+1)‎,从而可得数列‎{an+1}‎是以‎2‎为首项,以‎2‎为等比数列,可先求an‎+1‎,进而可求an,把n=5‎代入可求 ‎【解答】‎ 解:(法一)∵ an‎=2an−1‎+1‎,a‎1‎‎=1‎ a‎2‎‎=2a‎1‎+1=3‎ a‎3‎‎=2a‎2‎+1=7‎ a‎4‎‎=2a‎3‎+1=15‎ a‎5‎‎=2a‎4‎+1=31‎ (法二)∵ an‎=2an−1‎+1‎ ∴ a‎5‎‎=2a‎4‎+1=4a‎3‎+3=8a‎2‎+7=16a‎1‎+15=31‎ (法三)∴ an‎+1=2(an−1‎+1)‎ ∵ a‎1‎‎+1=2‎ ∴ ‎{an+1}‎是以‎2‎为首项,以‎2‎为等比数列 ∴ an‎+1=2⋅‎2‎n−1‎=‎‎2‎n ∴ an‎=‎2‎n−1‎ ∴ a‎5‎‎=‎2‎‎5‎−1=31‎ 故选:‎D ‎3.‎ ‎【答案】‎ A ‎【考点】‎ 正弦定理 ‎【解析】‎ 由正弦定理求得sinB=‎6‎‎2‎>1‎,可得角B不存在,故满足此条件的三角形不存在.‎ ‎【解答】‎ 解:在‎△ABC中,由正弦定理可得asinA‎=‎bsinB,即λsin‎45‎‎∘‎‎=‎‎3‎λsinB,求得sinB=‎6‎‎2‎>1‎,故B不存在,故满足此条件的三角形不存在, 故选A.‎ ‎4.‎ ‎【答案】‎ B ‎【考点】‎ 基本不等式在最值问题中的应用 ‎【解析】‎ 根据y=‎1‎‎2‎x(1−2x)‎构造成y=‎1‎‎4‎⋅2x⋅(1−2x)‎,利用基本不等式即可求得最大值,从而根据基本不等式取等号的条件,确定出x的值.‎ ‎【解答】‎ 解:∵ ‎00‎恒成立, 故a≥0‎, 若‎0≤−a‎2‎≤‎‎1‎‎2‎,即‎−1≤a≤0‎, 则应有f(−a‎2‎)=a‎2‎‎4‎−a‎2‎‎2‎+1=1−a‎2‎‎4‎≥0‎恒成立, 故‎−1≤a≤0‎, 综上,有‎−‎5‎‎2‎≤a. 故选C.‎ 二.解答题(共5小题,每小题4分,共16分.)‎ ‎【答案】‎ ‎−1‎ ‎【考点】‎ 简单线性规划 ‎【解析】‎ 画出满足约束条件的可行域,并求出各角点的坐标,分别代入目标函数,比照后可得最优解.‎ ‎【解答】‎ 解:满足约束条件y≤xx+y≤−1‎y≥−1‎的可行域如下图所示: ‎ 第17页 共18页 ◎ 第18页 共18页 ‎ ∵ z=2x+y 故当x=0‎,y=−1‎时,z=2x+y的最大值是‎−1‎ 故答案为:‎‎−1‎ ‎【答案】‎ an‎=‎‎2‎n−1‎ ‎【考点】‎ 等比数列的通项公式 ‎【解析】‎ 先设等比数列的公比为q;根据a‎1‎‎=1‎,a‎2‎‎+a‎3‎=6‎求出公比即可求出数列‎{an}‎的通项公式.(注意题中的限制条件“各项均为正数')‎ ‎【解答】‎ 解:设等比数列的公比为q. 则由a‎1‎‎=1‎,a‎2‎‎+a‎3‎=6‎,得:a‎1‎‎(q+q‎2‎)=6⇒q‎2‎+q−6=0‎ 解得q=2‎或q=−3‎. 又因为数列各项均为正数 ∴ q=2‎. ∴ an‎=a‎1‎⋅qn−1‎=‎‎2‎n−1‎. 故答案为:an‎=‎‎2‎n−1‎.‎ ‎【答案】‎ ‎9‎ ‎【考点】‎ 等差数列的前n项和 数列的函数特性 ‎【解析】‎ 令an‎=3n−28≤0‎,解得n即可.‎ ‎【解答】‎ 解:令an‎=3n−28≤0‎,解得n≤‎28‎‎3‎=9+‎‎1‎‎3‎, 故当n=9‎时,Sn取得最小值. 故答案为‎9‎.‎ ‎【答案】‎ ‎1‎‎5‎ ‎【考点】‎ 基本不等式及其应用 对数的运算性质 ‎【解析】‎ 根据对数的运算性质计算已知的等式,得到xy的值,且由对数函数的定义域得到x与y都大于‎0‎,然后把所求的式子通分后,利用分子利用基本不等式变形,将xy的值代入即可求出所求式子的最小值.‎ ‎【解答】‎ 由lgx+lgy=lgxy=‎2‎,得到xy=‎10‎‎2‎=‎100‎,且x>0‎,y>0‎, ∴ ‎1‎x‎+‎1‎y=x+yxy≥‎2‎xyxy=‎2‎‎100‎‎100‎=‎‎1‎‎5‎,当且仅当x=y时取等号, 则‎1‎x‎+‎‎1‎y的最小值为‎1‎‎5‎.‎ ‎【答案】‎ ‎5‎ ‎【考点】‎ 等比数列的性质 ‎【解析】‎ 由‎{an}‎是等比数列,a‎2‎a‎4‎‎+2a‎3‎a‎5‎+‎a‎4‎a‎6‎=‎25‎,利用等比数列的通项公式知a‎3‎‎2‎‎+2a‎3‎a‎5‎+‎a‎5‎‎2‎=‎25‎,再由完全平方和公式知‎(a‎3‎+‎a‎5‎‎)‎‎2‎=‎25‎,再由an‎>0‎,能求出a‎3‎‎+‎a‎5‎的值.‎ ‎【解答】‎ ‎∵ ‎{an}‎是等比数列,且an‎>0‎, a‎2‎a‎4‎‎+2a‎3‎a‎5‎+‎a‎4‎a‎6‎=‎25‎, ∴ a‎3‎‎2‎‎+2a‎3‎a‎5‎+‎a‎5‎‎2‎=‎25‎, ∴ ‎(a‎3‎+‎a‎5‎‎)‎‎2‎=‎25‎, ∵ an‎>0‎, ∴ a‎3‎‎+‎a‎5‎=‎5‎.‎ 三.解答题(共六个小题.共56分)‎ ‎【答案】‎ 解:A={x|x‎2‎+3x+2<0}={x|−2a,即a>0‎时,则B={x|aa,即a>0‎时,则B={x|a0‎,y>0‎ ∴ ‎(x+y)(‎1‎x+‎4‎y)=1+yx+‎4xy+4≥5+2‎4‎=9‎, 当且仅当yx‎=‎‎4xy,即y=2x时取得最小值;‎ ‎(2)∵ a>b>c ∴ a−b>0‎,a−c>0‎,b−c>0‎, ∴ ‎1‎a−b‎+‎1‎b−c≥‎na−c可化为n≤(‎1‎a−b+‎1‎b−c)(a−c)‎ 令t=(‎1‎a−b+‎1‎b−c)(a−c)‎ ‎=(‎1‎a−b+‎1‎b−c)[(a−b)+(b−c)]‎ ‎=1+b−ca−b+a−bb−c+1≥2+2=4‎. 当且仅当b−ca−b‎=‎a−bb−c,即‎2b=a+c时等号成立. ∴ n≤4‎, ∴ n的最大值是‎4‎.‎ ‎【考点】‎ 函数恒成立问题 函数的最值及其几何意义 ‎【解析】‎ ‎(1)展开多项式乘多项式,然后利用基本不等式求最值,并得到使代数式取得最小值的条件;‎ ‎(2)由已知得到a−b,a−c,b−c的符号,两边同时乘以a−c后变式,然后利用基本不等式求最值,从而得到n的最大值.‎ ‎【解答】‎ 解:(1)∵ x>0‎,y>0‎ ∴ ‎(x+y)(‎1‎x+‎4‎y)=1+yx+‎4xy+4≥5+2‎4‎=9‎, 当且仅当yx‎=‎‎4xy,即y=2x时取得最小值;‎ ‎(2)∵ a>b>c ∴ a−b>0‎,a−c>0‎,b−c>0‎, ∴ ‎1‎a−b‎+‎1‎b−c≥‎na−c可化为n≤(‎1‎a−b+‎1‎b−c)(a−c)‎ 令t=(‎1‎a−b+‎1‎b−c)(a−c)‎ ‎=(‎1‎a−b+‎1‎b−c)[(a−b)+(b−c)]‎ ‎=1+b−ca−b+a−bb−c+1≥2+2=4‎. 当且仅当b−ca−b‎=‎a−bb−c,即‎2b=a+c时等号成立. ∴ n≤4‎, ∴ n的最大值是‎4‎.‎ ‎【答案】‎ 解:(1)由cosA=−‎‎5‎‎13‎,得sinA=‎‎12‎‎13‎, 由cosB=‎‎3‎‎5‎,得sinB=‎‎4‎‎5‎. 所以sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=‎‎16‎‎65‎.‎ ‎(2)由正弦定理得AC=BC×sinBsinA=‎5×‎‎4‎‎5‎‎12‎‎13‎=‎‎13‎‎3‎. 所以‎△ABC的面积S=‎1‎‎2‎×BC×AC×sinC=‎1‎‎2‎×5×‎13‎‎3‎×‎16‎‎65‎=‎‎8‎‎3‎.‎ ‎【考点】‎ 求两角和与差的正弦 同角三角函数间的基本关系 ‎【解析】‎ ‎(1)先利用同角三角函数的基本关系求得sinA和sinB的值,进而根据sinC=sin(A+B)‎利用正弦的两角和公式求得答案.‎ ‎(2)先利用正弦定理求得AC,进而利用三角形面积公式求得三角形的面积.‎ ‎【解答】‎ 解:(1)由cosA=−‎‎5‎‎13‎,得sinA=‎‎12‎‎13‎, 由cosB=‎‎3‎‎5‎,得sinB=‎‎4‎‎5‎. 所以sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=‎‎16‎‎65‎.‎ ‎(2)由正弦定理得AC=BC×sinBsinA=‎5×‎‎4‎‎5‎‎12‎‎13‎=‎‎13‎‎3‎. 所以‎△ABC的面积S=‎1‎‎2‎×BC×AC×sinC=‎1‎‎2‎×5×‎13‎‎3‎×‎16‎‎65‎=‎‎8‎‎3‎.‎ ‎【答案】‎ 第17页 共18页 ◎ 第18页 共18页 解:(1)设数列公差为d, 由a‎4‎‎=14‎,a‎7‎‎=23‎, ∴ d=‎1‎‎3‎(a‎7‎−a‎4‎)=3‎, ∴ an‎=a‎4‎+(n−4)d=3n+2‎;‎ ‎(2)Gn‎=a‎2‎+a‎4‎+a‎8‎+...+‎a‎2‎n ‎=(3×2+2)+(3×4+2)+(3×8+2)+...+(3×‎2‎n+2)‎ ‎=3×(2+4+8+...+‎2‎n)+2n ‎=3×‎2×(1−‎2‎n)‎‎1−2‎+2n ‎=6×(‎2‎n−1)+2n.‎ ‎【考点】‎ 数列的求和 等差数列的通项公式 ‎【解析】‎ ‎(1)设数列公差为d,易求d=3‎,于是可得an;‎ ‎(2)利用分组求和的方法即可求得此数列的前n项和Gn.‎ ‎【解答】‎ 解:(1)设数列公差为d, 由a‎4‎‎=14‎,a‎7‎‎=23‎, ∴ d=‎1‎‎3‎(a‎7‎−a‎4‎)=3‎, ∴ an‎=a‎4‎+(n−4)d=3n+2‎;‎ ‎(2)Gn‎=a‎2‎+a‎4‎+a‎8‎+...+‎a‎2‎n ‎=(3×2+2)+(3×4+2)+(3×8+2)+...+(3×‎2‎n+2)‎ ‎=3×(2+4+8+...+‎2‎n)+2n ‎=3×‎2×(1−‎2‎n)‎‎1−2‎+2n ‎=6×(‎2‎n−1)+2n.‎ ‎【答案】‎ 解:.(1)∵ ‎∠BCD=‎90‎‎∘‎+‎60‎‎∘‎=‎‎150‎‎∘‎,CB=AC=CD ∴ ‎∠CBE=‎‎15‎‎∘‎,∴ cos∠CBE=cos(‎45‎‎∘‎−‎30‎‎∘‎)=‎‎6‎‎+‎‎2‎‎4‎.‎ ‎(2)在‎△ABE中,AB=2‎,由正弦定理得AEsin(‎45‎‎∘‎−‎15‎‎∘‎)‎‎=‎‎2‎sin(‎90‎‎∘‎+‎15‎‎∘‎)‎, 故AE=‎2sin‎30‎‎∘‎cos‎15‎‎∘‎=‎2×‎‎1‎‎2‎‎6‎‎+‎‎2‎‎4‎=‎6‎−‎‎2‎.‎ ‎【考点】‎ 正弦定理的应用 ‎【解析】‎ ‎(1)根据图中各角和边的关系可得‎∠CBE的值,再由两角差的余弦公式可得答案.‎ ‎(2)根据正弦定理可直接得到答案.‎ ‎【解答】‎ 解:.(1)∵ ‎∠BCD=‎90‎‎∘‎+‎60‎‎∘‎=‎‎150‎‎∘‎,CB=AC=CD ∴ ‎∠CBE=‎‎15‎‎∘‎,∴ cos∠CBE=cos(‎45‎‎∘‎−‎30‎‎∘‎)=‎‎6‎‎+‎‎2‎‎4‎.‎ ‎(2)在‎△ABE中,AB=2‎,由正弦定理得AEsin(‎45‎‎∘‎−‎15‎‎∘‎)‎‎=‎‎2‎sin(‎90‎‎∘‎+‎15‎‎∘‎)‎, 故AE=‎2sin‎30‎‎∘‎cos‎15‎‎∘‎=‎2×‎‎1‎‎2‎‎6‎‎+‎‎2‎‎4‎=‎6‎−‎‎2‎.‎ ‎【答案】‎ ‎(1)‎解:当n=1‎时,‎2‎S‎1‎‎1‎‎=2a‎1‎=a‎2‎−‎1‎‎3‎−1−‎‎2‎‎3‎, 解得a‎2‎‎=4‎.‎ ‎(2)‎解:‎2Sn=nan+1‎−‎1‎‎3‎n‎3‎−n‎2‎−‎2‎‎3‎n① 当n≥2‎时,‎2Sn−1‎=(n−1)an−‎1‎‎3‎(n−1‎)‎‎3‎−(n−1‎)‎‎2‎−‎2‎‎3‎(n−1)‎② ①-②得‎2an=nan+1‎−(n−1)an−n‎2‎−n 整理得nan+1‎=(n+1)an+n(n+1)‎, 即an+1‎n+1‎‎=ann+1‎,an+1‎n+1‎‎−ann=1‎ 当n=1‎时,a‎2‎‎2‎‎−a‎1‎‎1‎=2−1=1‎ 所以数列‎{ann}‎是以‎1‎为首项,‎1‎为公差的等差数列 所以ann‎=n,即an‎=‎n‎2‎ 所以数列‎{an}‎的通项公式为an‎=‎n‎2‎,‎n∈‎N‎*‎ ‎(3)‎证明:因为‎1‎an‎=‎1‎n‎2‎<‎1‎‎(n−1)n=‎1‎n−1‎−‎1‎n(n≥2)‎, 所以‎1‎a‎1‎‎+‎1‎a‎2‎+…+‎1‎an=‎1‎‎1‎‎2‎+‎1‎‎2‎‎2‎+‎1‎‎3‎‎2‎+…+‎‎1‎n‎2‎ ‎<1+‎1‎‎4‎+(‎1‎‎2‎−‎1‎‎3‎)+‎‎(‎1‎‎3‎−‎1‎‎4‎)+…+(‎1‎n−1‎−‎1‎n)‎ ‎=1+‎1‎‎4‎+‎1‎‎2‎−‎1‎n=‎7‎‎4‎−‎1‎n<‎‎7‎‎4‎. 则对一切正整数n,有‎1‎a‎1‎‎+‎1‎a‎2‎+…+‎1‎an<‎‎7‎‎4‎. ‎ ‎【考点】‎ 不等式恒成立问题 数列与不等式的综合 数列递推式 等差数列的通项公式 ‎【解析】‎ ‎(1)利用已知a‎1‎‎=1‎,‎2‎Snn‎=an+1‎−‎1‎‎3‎n‎2‎−n−‎‎2‎‎3‎,n∈‎N‎*‎.令n=1‎即可求出;‎ 第17页 共18页 ◎ 第18页 共18页 ‎(2)利用an‎=Sn−Sn−1‎(n≥2)‎即可得到nan+1‎=(n+1)an+n(n+1)‎,可化为an+1‎n+1‎‎=ann+1‎,an+1‎n+1‎‎−ann=1‎.再利用等差数列的通项公式即可得出;‎ ‎(3)利用(2),通过放缩法‎1‎an‎=‎1‎n‎2‎<‎1‎‎(n−1)n=‎1‎n−1‎−‎1‎n(n≥2)‎即可证明.‎ ‎【解答】‎ ‎(1)‎解:当n=1‎时,‎2‎S‎1‎‎1‎‎=2a‎1‎=a‎2‎−‎1‎‎3‎−1−‎‎2‎‎3‎, 解得a‎2‎‎=4‎.‎ ‎(2)‎解:‎2Sn=nan+1‎−‎1‎‎3‎n‎3‎−n‎2‎−‎2‎‎3‎n① 当n≥2‎时,‎2Sn−1‎=(n−1)an−‎1‎‎3‎(n−1‎)‎‎3‎−(n−1‎)‎‎2‎−‎2‎‎3‎(n−1)‎② ①-②得‎2an=nan+1‎−(n−1)an−n‎2‎−n 整理得nan+1‎=(n+1)an+n(n+1)‎, 即an+1‎n+1‎‎=ann+1‎,an+1‎n+1‎‎−ann=1‎ 当n=1‎时,a‎2‎‎2‎‎−a‎1‎‎1‎=2−1=1‎ 所以数列‎{ann}‎是以‎1‎为首项,‎1‎为公差的等差数列 所以ann‎=n,即an‎=‎n‎2‎ 所以数列‎{an}‎的通项公式为an‎=‎n‎2‎,‎n∈‎N‎*‎ ‎(3)‎证明:因为‎1‎an‎=‎1‎n‎2‎<‎1‎‎(n−1)n=‎1‎n−1‎−‎1‎n(n≥2)‎, 所以‎1‎a‎1‎‎+‎1‎a‎2‎+…+‎1‎an=‎1‎‎1‎‎2‎+‎1‎‎2‎‎2‎+‎1‎‎3‎‎2‎+…+‎‎1‎n‎2‎ ‎<1+‎1‎‎4‎+(‎1‎‎2‎−‎1‎‎3‎)+‎‎(‎1‎‎3‎−‎1‎‎4‎)+…+(‎1‎n−1‎−‎1‎n)‎ ‎=1+‎1‎‎4‎+‎1‎‎2‎−‎1‎n=‎7‎‎4‎−‎1‎n<‎‎7‎‎4‎. 则对一切正整数n,有‎1‎a‎1‎‎+‎1‎a‎2‎+…+‎1‎an<‎‎7‎‎4‎. ‎ ‎【答案】‎ 解:(1)∵ Sn‎=2an−1‎, ∴ Sn+1‎‎=2an+1‎−1‎, ∴ an+1‎‎=2an+1‎−2‎an 即an+1‎‎=2‎an, ∵ a‎1‎‎=1‎, ∴ ‎{an}‎是首项为‎1‎,公比为‎2‎的等比数列, ∴ an‎=‎‎2‎n−1‎;‎ ‎(2)Tn‎=1×‎2‎‎0‎+2×‎2‎‎1‎+3×‎2‎‎2‎+...+n×‎‎2‎n−1‎①, ‎2Tn=1×‎2‎‎1‎+2×‎2‎‎2‎+...+(n−1)×‎2‎n−1‎+n×‎‎2‎n②, ①-②得:‎−Tn=(‎2‎‎0‎+‎2‎‎1‎+‎2‎‎2‎+...+‎2‎n−1‎)−n×‎‎2‎n ‎=‎2‎n−1−n×‎‎2‎n ‎=−(n−1)‎2‎n−1‎, ∴ Tn‎=(n−1)×‎2‎n+1‎.‎ ‎【考点】‎ 数列的求和 ‎【解析】‎ ‎(1)由Sn‎=2an−1⇒Sn+1‎=2an+1‎−1‎,从而可得an+1‎‎=2‎an,而a‎1‎‎=1‎,从而知‎{an}‎是首项为‎1‎,公比为‎2‎的等比数列,于是可得数列‎{an}‎的通项an;‎ ‎(2)利用错位相减法即可求得数列‎{nan}‎的前n项和Tn.‎ ‎【解答】‎ 解:(1)∵ Sn‎=2an−1‎, ∴ Sn+1‎‎=2an+1‎−1‎, ∴ an+1‎‎=2an+1‎−2‎an 即an+1‎‎=2‎an, ∵ a‎1‎‎=1‎, ∴ ‎{an}‎是首项为‎1‎,公比为‎2‎的等比数列, ∴ an‎=‎‎2‎n−1‎;‎ ‎(2)Tn‎=1×‎2‎‎0‎+2×‎2‎‎1‎+3×‎2‎‎2‎+...+n×‎‎2‎n−1‎①, ‎2Tn=1×‎2‎‎1‎+2×‎2‎‎2‎+...+(n−1)×‎2‎n−1‎+n×‎‎2‎n②, ①-②得:‎−Tn=(‎2‎‎0‎+‎2‎‎1‎+‎2‎‎2‎+...+‎2‎n−1‎)−n×‎‎2‎n ‎=‎2‎n−1−n×‎‎2‎n ‎=−(n−1)‎2‎n−1‎, ∴ Tn‎=(n−1)×‎2‎n+1‎.‎ 第17页 共18页 ◎ 第18页 共18页