高考数学专题复习教案： 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用备考策略 5页

函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用备考策略 主标题：函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用备考策略 副标题：通过考点分析高考命题方向，把握高考规律，为学生备考复习打通快速通道。‎ 关键词：y＝Asin(ωx＋φ)，图象与性质，备考策略 难度：2‎ 重要程度：4‎ 内容考点一　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象画法与变换 ‎【例1】 (1)已知f(x)＝sin(ω＞0)的图象与y＝－1的图象的相邻两交点间的距离为π，要得到y＝f(x)的图象，只需把y＝cos 2x的图象 ‎(　　)．‎ A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 ‎(2)已知函数y＝2sin.‎ ‎①求它的振幅、周期、初相；‎ ‎②用“五点法”作出它在一个周期内的图象；‎ ‎③说明y＝2sin的图象可由y＝sin x的图象经过怎样的变换而得到．‎ ‎(1)解析　依题意T＝π，∴T＝π＝，∴ω＝2，∴f(x)＝sin(2x＋)，∴只需y＝cos 2x＝sin(2x＋)＝sin2(x＋) f(x)＝sin(2x＋)．‎ 答案　B ‎(2)解　①y＝2sin的振幅A＝2，周期T＝＝π，初相φ＝.‎ ‎②令X＝2x＋，则y＝2sin＝2sin X.‎ 列表，并描点画出图象：‎ x ‎－ X ‎0‎ π ‎2π y＝sin X ‎0‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎－1‎ ‎0‎ y＝2sin ‎0‎ ‎2‎ ‎0‎ ‎－2‎ ‎0‎ ‎③法一　把y＝sin x的图象上所有的点向左平移个单位，得到y＝sin的图象；再把y＝sin的图象上的点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到y＝sin的图象；最后把y＝sin的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y＝2sin的图象．‎ 法二　将y＝sin x的图象上所有点的横坐标x缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到y＝sin 2x的图象；再将y＝sin 2x的图象向左平移个单位，得到y＝sin 2＝sin的图象；再将y＝sin的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到y＝2sin的图象．‎ ‎【备考策略】 函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的两种作法是五点作图法和图象变换法．‎ ‎(1)五点法：用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，π，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．‎ ‎(2)三角函数图象进行平移变换时注意提取x的系数，进行周期变换时，需要将x的系数变为原来的ω 倍，要特别注意相位变换、周期变换的顺序，顺序不同，其变换量也不同．‎ 考点二　由图象求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 ‎【例2】 函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象 如图所示，则函数f(x)的解析式为________．‎ 解析　由图可知A＝，‎ 法一　＝－＝，所以T＝π，故ω＝2，因此f(x)＝sin(2x＋φ)，‎ 又对应五点法作图中的第三个点，因此2×＋φ＝π，所以φ＝，故f(x)＝sin.‎ 法二　以为第二个“零点”，为最小值点，‎ 列方程组解得 故f(x)＝sin.‎ 答案　f(x)＝sin ‎【备考策略】 已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：‎ ‎(1)由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.‎ ‎(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.‎ 考点三　函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质应用 ‎【例3】 已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(x∈R，ω，A>0,0<φ<)的最大值为2，最小正周期为π，直线x＝是其图象的一条对称轴．‎ ‎(1)求函数f(x)的解析式；‎ ‎(2)求函数g(x)＝f－f的单调递增区间．‎ 解　(1)由题意，得A＝2，ω＝＝2，‎ 当x＝时，2sin＝±2，‎ 即sin＝±1，所以＋φ＝kπ＋，‎ 解得φ＝kπ＋，又0＜φ＜，所以φ＝.‎ 故f(x)＝2sin.‎ ‎(2)g(x)＝2sin－2sin ‎＝2sin 2x－2sin ‎＝2sin 2x－2 ‎＝sin 2x－cos 2x＝2sin.‎ 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，‎ 得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.‎ 所以函数g(x)的单调递增区间是，k∈Z.‎ ‎【备考策略】 函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质 ‎(1)奇偶性：φ＝kπ时，函数y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数；φ＝kπ＋(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数．‎ ‎(2)周期性：y＝Asin(ωx＋φ)存在周期性，其最小正周期为T＝.‎ ‎(3)单调性：根据y＝sin t和t＝ωx＋φ(ω＞0)的单调性来研究，由－＋2kπ≤ωx＋φ ‎≤＋2kπ(k∈Z)得单调增区间；由＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)得单调减区间．‎ ‎(4)对称性：利用y＝sin x的对称中心为(kπ，0)(k∈Z)求解，令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求得x、ω.‎ 利用y＝sin x的对称轴为x＝kπ＋(k∈Z)求解，令ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)得其对称轴．‎