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  • 2021-06-10 发布

高中数学人教a版必修五第二章数列学业分层测评10word版含答案

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学业分层测评(十) (建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1.在等差数列{an}中,a2=1,a4=5,则{an}的前 5 项和 S5=( ) A.7 B.15 C.20 D.25 【解析】 S5=5×a1+a5 2 =5×a2+a4 2 =5×6 2 =15. 【答案】 B 2.设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若a5 a3 =5 9 ,则S9 S5 等于( ) A.1 B.-1 C.2 D.1 2 【解析】 S9 S5 = 9 2 a1+a9 5 2 a1+a5 =9×2a5 5×2a3 =9a5 5a3 =9 5 ×5 9 =1. 【答案】 A 3.等差数列{an}中,a1=1,a3+a5=14,其前 n 项和 Sn=100,则 n 等于( ) A.9 B.10 C.11 D.12 【解析】 ∵a3+a5=2a4=14,∴a4=7. d=a4-a1 3 =2, Sn=na1+nn-1 2 ·d =n+nn-1 2 ×2=n2=100, ∴n=10. 【答案】 B 4.(2015·全国卷Ⅰ)已知{an}是公差为 1 的等差数列,Sn 为{an}的前 n 项和, 若 S8=4S4,则 a10=( ) A.17 2 B.19 2 C.10 D.12 【解析】 ∵公差为 1, ∴S8=8a1+8×8-1 2 ×1=8a1+28,S4=4a1+6. ∵S8=4S4,∴8a1+28=4(4a1+6),解得 a1=1 2 , ∴a10=a1+9d=1 2 +9=19 2 .故选 B. 【答案】 B 5.若数列{an}的通项公式是 an=(-1)n(3n-2),则 a1+a2+…+a10=( ) A.15 B.12 C.-12 D.-15 【解析】 a1+a2+…+a10 =-1+4-7+10+…+(-1)10·(3×10-2) =(-1+4)+(-7+10)+…+[(-1)9·(3×9-2)+(-1)10·(3×10-2)] =3×5=15. 【答案】 A 二、填空题 6.已知{an}是等差数列,a4+a6=6,其前 5 项和 S5=10,则其公差为 d = . 【解析】 a4+a6=a1+3d+a1+5d=6,① S5=5a1+1 2 ×5×(5-1)d=10,② 由①②联立解得 a1=1,d=1 2. 【答案】 1 2 7.{an}为等差数列,Sn 为其前 n 项和,已知 a7=5,S7=21,则 S10= . 【解析】 设公差为 d,则由已知得 S7=7a1+a7 2 ,即 21=7a1+5 2 ,解得 a1 =1,所以 a7=a1+6d,所以 d=2 3.所以 S10=10a1+10×9 2 d=10+10×9 2 ×2 3 =40. 【答案】 40 8.若数列 1 nn+1 的前 n 项和为 Sn,且 Sn=19 20 ,则 n= . 【导学号: 05920068】 【解析】 Sn= 1 1×2 + 1 2×3 +…+ 1 nn+1 =1-1 2 +1 2 -1 3 +1 3 -1 4 +…+1 n - 1 n+1 =1- 1 n+1 = n n+1. 由已知得 n n+1 =19 20 , 解得 n=19. 【答案】 19 三、解答题 9.等差数列{an}中,a10=30,a20=50. (1)求数列的通项公式; (2)若 Sn=242,求 n. 【解】 (1)设数列{an}的首项为 a1,公差为 d. 则 a10=a1+9d=30, a20=a1+19d=50, 解得 a1=12, d=2, ∴an=a1+(n-1)d=12+(n-1)×2=10+2n. (2)由 Sn=na1+nn-1 2 d 以及 a1=12,d=2,Sn=242, 得方程 242=12n+nn-1 2 ×2,即 n2+11n-242=0,解得 n=11 或 n=-22(舍 去).故 n=11. 10.在我国古代,9 是数学之极,代表尊贵之意,所以中国古代皇家建筑中包 含许多与9 相关的设计.例如,北京天坛圆丘的地面由扇环形的石板铺成(如图232 所示),最高一层的中心是一块天心石,围绕它的第 1 圈有 9 块石板,从第 2 圈开 始,每 1 圈比前 1 圈多 9 块,共有 9 圈,则: 图 232 (1)第 9 圈共有多少块石板? (2)前 9 圈一共有多少块石板? 【解】 (1)设从第 1 圈到第 9 圈石板数所成数列为{an},由题意可知{an}是等 差数列,其中 a1=9,d=9,n=9. 由等差数列的通项公式,得第 9 圈石板块数为: a9=a1+(9-1)·d=9+(9-1)×9=81(块). (2)由等差数列前 n 项和公式,得前 9 圈石板总数为: S9=9a1+9×9-1 2 d=9×9+9×8 2 ×9=405(块). 答:第 9 圈共有 81 块石板,前 9 圈一共有 405 块石板. [能力提升] 1.如图 233 所示将若干个点摆成三角形图案,每条边(包括两个端点)有 n(n>1,n∈N*)个点,相应的图案中总的点数记为 an,则 a2+a3+a4+…+an 等于 ( ) 图 233 A.3n2 2 B.nn+1 2 C.3nn-1 2 D.nn-1 2 【解析】 由图案的点数可知 a2=3,a3=6,a4=9,a5=12,所以 an=3n-3, n≥2, 所以 a2+a3+a4+…+an=n-13+3n-3 2 =3nn-1 2 . 【答案】 C 2.已知命题:“在等差数列{an}中,若 4a2+a10+a( )=24,则 S11 为定值” 为真命题,由于印刷问题,括号处的数模糊不清,可推得括号内的数为( ) A.15 B.24 C.18 D.28 【解析】 设括号内的数为 n,则 4a2+a10+a(n)=24, ∴6a1+(n+12)d=24. 又 S11=11a1+55d=11(a1+5d)为定值, 所以 a1+5d 为定值. 所以n+12 6 =5,n=18. 【答案】 C 3.(2015·安徽高考)已知数列{an}中,a1=1,an=an-1+1 2(n≥2),则数列{an} 的前 9 项和等于 . 【解析】 由 a1=1,an=an-1+1 2(n≥2),可知数列{an}是首项为 1,公差为1 2 的 等差数列,故 S9=9a1+9×9-1 2 ×1 2 =9+18=27. 【答案】 27 4.(2015·全国卷Ⅰ)Sn 为数列{an}的前 n 项和.已知 an>0,a2n+2an=4Sn+3. (1)求{an}的通项公式; (2)设 bn= 1 anan+1 ,求数列{bn}的前 n 项和. 【解】 (1)由 a2n+2an=4Sn+3, ① 可知 a2n+1+2an+1=4Sn+1+3. ② ②-①,得 a2n+1-a2n+2(an+1-an)=4an+1, 即 2(an+1+an)=a2n+1-a2n=(an+1+an)(an+1-an). 由 an>0,得 an+1-an=2. 又 a21+2a1=4a1+3,解得 a1=-1(舍去)或 a1=3. 所以{an}是首项为 3,公差为 2 的等差数列,通项公式为 an=2n+1. (2)由 an=2n+1 可知 bn= 1 anan+1 = 1 2n+12n+3 =1 2 1 2n+1 - 1 2n+3 . 设数列{bn}的前 n 项和为 Tn,则 Tn=b1+b2+…+bn= 1 2 1 3 -1 5 + 1 5 -1 7 +…+ 1 2n+1 - 1 2n+3 = n 32n+3.