- 587.45 KB
- 2021-06-10 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
文数
课标版
第四节 数列求和
1.求数列的前n项和的方法
(1)公式法
(i)等差数列的前n项和公式
Sn=① =② na1+ .
教材研读
(ii)等比数列的前n项和公式
当q=1时,Sn=③ na1 ;
当q≠1时,Sn=④ =⑤ .
(2)分组转化法
把数列的每一项转化成几项之和,使所求和转化为几个等差、等比数列
之和,再求解.
(3)裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差求和,正负相消剩下首尾若干项.
(4)倒序相加法
把数列分别正着写和倒着写再相加,倒序相加法是对等差数列求和公式
的推导过程的推广.
(5)错位相减法
适用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和,错
位相减法是对等比数列求和公式的推导过程的推广.
(6)并项求和法
若一个数列的前n项和中,可两两合并求解,这种方法称为并项求和.形如
an=(-1)nf(n)类型,可采用两项合并求解.例如,Sn=1002-992+982-972+…+22-12
=(100+99)+(98+97)+…+(2+1)=5 050.
2.常见的裂项公式
(1) =⑥ - ;
(2) =⑦ ;
(3) =⑧ - .
较为合理. (√)
(2)如果数列{an}为等比数列,且公比不等于1,则其前n项和Sn= .
(√)
(3)求Sn=a+2a2+3a3+…+nan时只要把等号两边同时乘a即可根据错位相
减法求得. (×)
(4)如果数列{an}是周期为k的周期数列,那么Skm=mSk(m,k为大于1的正整
数). (√)
判断下列结论的正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)如果已知等差数列的通项公式,那么在求其前n项和时使用公式Sn=
1.若数列{an}的通项公式为an=2n+2n-1,则它的前n项和Sn= ( )
A.2n+n2-1 B.2n+1+n2-1
C.2n+1+n2-2 D.2n+n2-2
答案 C Sn=(21+1)+(22+3)+(23+5)+…+(2n+2n-1)=(21+22+…+2n)+[1+3+5
+…+(2n-1)]= + =2n+1-2+n2.故选C.
答案 B S15=1-5+9-13+…+(4×13-3)-(4×14-3)+(4×15-3)=7×(-4)+57=29,
S22=1-5+9-13+…+(4×21-3)-(4×22-3)=11×(-4)=-44,
S31=1-5+9-13+…+(4×29-3)-(4×30-3)+(4×31-3)=15×(-4)+121=61,
∴S15+S22-S31=29-44-61=-76.
故选B.
2.已知数列{an}的前n项和为Sn=1-5+9-13+17-21+…+(-1)n-1·(4n-
3),则S15+S22-
S31的值是 ( )
A.13 B.-76 C.46 D.76
3.数列 的前n项之和为 ,则n= .
答案 99
解析 由题意得 + + +…+ = - + - + - +…+ -
=1- = ,令 = ,解得n=99.
4.已知数列{an}的前n项和为Sn,且an=n·2n,则Sn= .
答案 (n-1)2n+1+2
解析 ∵an=n·2n,
∴Sn=1×21+2×22+3×23+…+n×2n. ①
∴2Sn=1×22+2×23+…+(n-1)×2n+n×2n+1. ②
①-②,得
-Sn=2+22+23+…+2n-n·2n+1
= -n·2n+1=2n+1-2-n·2n+1
=(1-n)2n+1-2.
∴Sn=(n-1)2n+1+2.
考点一 错位相减法求和
典例1 (2016山东,19,12分)已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+8n,{bn}是等
差数列,且an=bn+bn+1.
(1)求数列{bn}的通项公式;
(2)令cn= .求数列{cn}的前n项和Tn.
解析 (1)由题意知当n≥2时,an=Sn-Sn-1=6n+5,
当n=1时,a1=S1=11,符合上式,
所以an=6n+5.
设数列{bn}的公差为d.
由 即
考点突破
可解得 所以bn=3n+1.
(2)由(1)知cn= =3(n+1)·2n+1.
由Tn=c1+c2+…+cn,
得Tn=3×[2×22+3×23+…+(n+1)×2n+1],
2Tn=3×[2×23+3×24+…+(n+1)×2n+2],
两式作差,得-Tn=3×[2×22+23+24+…+2n+1-(n+1)×2n+2]
=3×
=-3n·2n+2.
所以Tn=3n·2n+2.
方法技巧
(1)一般地,如果数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列,求数列{an·bn}的前
n项和时,可采用错位相减法求和,一般是和式两边同乘等比数列{bn}的
公比,然后作差求解;
(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”
以便下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式.
1-1 (2016吉林长春外国语学校期末)已知数列{an}是公差大于零的等
差数列,数列{bn}为等比数列,且a1=1,b1=2,b2-a2=1,a3+b3=13.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(2)设cn=anbn,求数列{cn}的前n项和Tn.
解析 (1)设数列{an}的公差为d(d>0),数列{bn}的公比为q,
由已知得
解得 或
∵d>0,∴d=2,q=2,
∴an=1+2(n-1)=2n-1,bn=2×2n-1=2n,
即an=2n-1(n∈N*),bn=2n(n∈N*).
(2)由(1)知cn=anbn=(2n-1)2n,
∴Tn=1×2+3×22+5×23+…+(2n-1)×2n①,
2Tn=1×22+3×23+5×24+…+(2n-1)×2n+1②,
②-①得Tn=-1×2-2×22-2×23-…-2×2n+(2n-1)×2n+1
=-2-23-24-…-2n+1+(2n-1)×2n+1
=-2- +(2n-1)×2n+1=6+(2n-3)×2n+1.
考点二 裂项相消法求和
典例2 (2015课标Ⅰ,17,12分)Sn为数列{an}的前n项和.已知an>0, +2an=
4Sn+3.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设bn= ,求数列{bn}的前n项和.
解析 (1)由 +2an=4Sn+3,可知 +2an+1=4Sn+1+3.
可得 - +2(an+1-an)=4an+1,即
2(an+1+an)= - =(an+1+an)(an+1-an).
由an>0,可得an+1-an=2.
又 +2a1=4a1+3,
解得a1=-1(舍去)或a1=3.
所以{an}是首项为3,公差为2的等差数列,通项公式为an=2n+1.
(2)由an=2n+1可知
bn= = = .
设数列{bn}的前n项和为Tn,则
Tn=b1+b2+…+bn
=
= .
易错警示
利用裂项相消法求和时,应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一
项,也有可能前面剩两项,后面也剩两项.有些情况下,裂项时需要调整前
面的系数,使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等.
2-1 数列{an}的前n项和为Sn=2n+1-2,数列{bn}是首项为a1,公差为d(d≠0)
的等差数列,且b1,b3,b9成等比数列.
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式;
(2)若cn= (n∈N*),求数列{cn}的前n项和Tn.
又a1=S1=21+1-2=2=21,也满足上式,
所以数列{an}的通项公式为an=2n,
由b1,b3,b9成等比数列,得(2+2d)2=2×(2+8d),
解得d=0(舍去)或d=2,
所以数列{bn}的通项公式为bn=2n.
(2)由(1)得cn= = ,
所以数列{cn}的前n项和Tn= + + +…+ =1- + - +…
+ - =1- = .
解析 (1)当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n+1-2n=2n,
考点三 分组转化法求和
典例3 (2015福建,17,12分)等差数列{an}中,a2=4,a4+a7=15.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn= +n,求b1+b2+b3+…+b10的值.
解析 (1)设等差数列{an}的公差为d.
由已知得 解得
所以an=a1+(n-1)d=n+2.
(2)由(1)可得bn=2n+n.
所以b1+b2+b3+…+b10=(2+1)+(22+2)+(23+3)+…+(210+10)
=(2+22+23+…+210)+(1+2+3+…+10)
= +
=(211-2)+55
=211+53=2 101.
规律总结
(1)若an=bn±cn,且{bn},{cn}为等差或等比数列,可采用分组转化法求{an}
的前n项和.
(2)对于通项公式为an= 的数列,其中{bn},{cn}是等比数列或
等差数列,可采用分组转化法求和.
(3)采用分组转化法求和是将所求数列和分解转化为若干个可求和的新
数列的和或差,从而求得原数列的和,这就需要通过对数列通项结构特
点进行分析研究,将数列的通项合理分解转化.
3-1 (2017山东临沂期中)设数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2an-a1,且a1,a3+
1,a4成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足an·bn= -1,求数列{bn}的前n项和Tn.
解析 (1)数列{an}的前n项和Sn=2an-a1,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2an-2an-1,
∴an=2an-1(n≥2).
∴数列{an}是公比为2的等比数列.
∵a1,a3+1,a4成等差数列,
∴2(a3+1)=a4+a1,
∴2a3+2=2a3+a1,
解得a1=2,∴an=2n.
(2)由(1)知,an=2n.
∵an·bn= -1,
∴2n·bn=(2n)2-1,
∴bn=2n- ,
∴Tn=b1+b2+b3+…+bn
= + +…+
=(2+22+23+…+2n)-
= - =2n+1+ -3.
3-2 已知数列{an}的通项公式是an=2·3n-1+(-1)n(ln 2-ln 3)+(-1)nnln 3,求其
前n项和Sn.
解析 Sn=2×(1+3+…+3n-1)+[-1+1-1+…+(-1)n]·(ln 2-ln 3)+[-1+2-3+…+
(-1)nn]ln 3,
当n为偶数时,
Sn=2× + ln 3=3n+ ln 3-1;
当n为奇数时,
Sn=2× -(ln 2-ln 3)+ ln 3
=3n- ln 3-ln 2-1.
综上所述,Sn=