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- 2021-06-10 发布
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小题分类练(三) 推理论证类
一、选择题
1．(2019·福州模拟)已知 x∈R，则“x<－1”是“x2>1”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．(2019·重庆市七校联合考试)设 a＝50.4，b＝log0.40.5，c＝log50.4，则 a，b，c 的大小关
系是( )
A．a0，x，y∈R，p：“|x|＋|y|
2
≤1”，q：“x2＋y2≤
r2”，若 p 是 q 的必要不充分条件，则实数 r 的取值范围是( )
A. 0，2 5
5 B．(0，1]
C.
2 5
5
，＋∞
D．[2，＋∞)
7．某校有 A，B，C，D 四件作品参加航模类作品比赛．已知这四件作品中恰有两件获奖，
在结果揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四件参赛作品的获奖情况预测如下．
甲说：“A，B 同时获奖．”
乙说：“B，D 不可能同时获奖．”
丙说：“C 获奖．”
丁说：“A，C 至少一件获奖．”
如果以上四位同学中有且只有两位同学的预测是正确的，则获奖的作品是( )
A．作品 A 与作品 B B．作品 B 与作品 C
C．作品 C 与作品 D D．作品 A 与作品 D
8．设双曲线x2
a2
－y2
b2
＝1(a＞0，b＞0)的离心率 e＝ 2，右焦点 F(c，0)．方程 ax2－bx－c＝
0 的两个实数根分别为 x1，x2，则点 P(x1，x2)与圆 x2＋y2＝8 的位置关系为( )
A．点 P 在圆外 B．点 P 在圆上
C．点 P 在圆内 D．不确定
9．设α∈ 0，π
2 ，β∈ 0，π
2 ，且 cos β＝tan α(1＋sin β)，则( )
A．α－β＝π
4
B．α＋β＝π
2
C．2α－β＝π
2
D．2α＋β＝π
2
10．已知函数 f(x)是定义在区间(0，＋∞)上的可导函数，满足 f(x)>0 且 f(x)＋f′(x)<0(f′(x)
为函数 f(x)的导函数)，若 0(a＋1)f(b) B．f(b)>(1－a)f(a)
C．af(a)>bf(b) D．af(b)>bf(a)
11．(多选)对于实数 a，b，c，下列命题是真命题的是( )
A．若 a＞b，则 ac＜bc
B．若 ac2＞bc2，则 a＞b
C．若 a＜b＜0，则 a2＞ab＞b2
D．若 c＞a＞b＞0，则 a
c－a
＞ b
c－b
12．(多选)在△ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，以下四个结论中，正确的是
( )
A．若 a＞b＞c，则 sin A＞sin B＞sin C
B．若 A＞B＞C，则 sin A＞sin B＞sin C
C．acos B＋bcos A＝c
D．若 a2＋b2＞c2，则△ABC 是锐角三角形
13．(多选)如图所示，P 为矩形 ABCD 所在平面外一点，矩形对角线交点为 O，M 为 PB
的中点，下列结论正确是( )
A．PD∥平面 AMC B．OM∥平面 PCD
C．OM∥平面 PDA D．OM∥平面 PBA
二、填空题
14．已知点 P(1，m)在椭圆x2
4
＋y2＝1 的外部，则直线 y＝2mx＋ 3与圆 x2＋y2＝1 的位置
关系为________．
15．对于使 f(x)≤M 成立的所有常数 M 中，我们把 M 的最小值叫做 f(x)的上确界．若正
数 a，b∈R 且 a＋b＝1，则－ 1
2a
－2
b
的上确界为________．
16．有一支队伍长 L 米，以一定的速度匀速前进．排尾的传令兵因传达命令赶赴排头，
到达排头后立即返回，且往返速度不变．如果传令兵回到排尾后，整个队伍正好前进了 L 米，
则传令兵所走的路程为________．
17．对于三次函数 f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，给出定义：设 f′(x)是 y＝f(x)的导数，f″
(x)是 y＝f′(x)的导数，若 f″(x)＝0 有实数解 x0，则称 x0 是函数 y＝f(x)的拐点．经过研究发现，
任何一个三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也为该函数的对称中心．若 f(x)＝x3－3
2x2＋1
2x，
则 f″(x)＝________；f
1
2 018 ＋f
3
2 018 ＋f
5
2 018 ＋…＋f
2 017
2 018 ＝________．
小题分类练(三) 推理论证类
1．解析：选 A.解不等式 x2>1，可得 x<－1 或 x>1，所以 x<－1 是 x2>1 的充分不必要条件，
故选 A.
2．解析：选 B.因为 0＝log0.4150＝1，c＝
log50.40，y>0 时，可得菱形的一
边所在的直线方程为 x＋y
2
＝1，即 2x＋y－2＝0，由 p 是 q 的必要不充分条件，可得圆 x2＋y2
＝r2 的圆心到直线 2x＋y－2＝0 的距离 d＝ 2
4＋1
＝2 5
5
≥r，又 r>0，所以实数 r 的取值范围是
0，2 5
5 ，故选 A.
7．解析：选 D.若甲预测正确，则乙预测正确，丙预测错误，丁预测正确，与题意不符，
故甲预测错误；若乙预测错误，则依题意丙、丁均预测正确，但若丙、丁预测正确，则获奖
作品可能是“A，C”“B，C”“C，D”，这几种情况都与乙预测错误相矛盾，故乙预测正确，
所以丙、丁中恰有一人预测正确．若丙预测正确，丁预测错误，两者互相矛盾，排除；若丙
预测错误，丁预测正确，则获奖作品只能是“A，D”，经验证符合题意．故选 D.
8．解析：选 C.因为 e2＝1＋
b
a
2
＝2，所以
b
a
2
＝1，
所以b
a
＝1，所以 a＝b，c＝ 2a，
所以方程 ax2－bx－c＝0 可化为 x2－x－ 2＝0，
所以 x1＋x2＝1，x1·x2＝－ 2.
所以 x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝1＋2 2＜8，
所以点 P 在圆内，故选 C.
9．解析：选 D.由 cos β＝tan α(1＋sin β)，可得 cos β＝sin α
cos α(1＋sin β)，cos βcos
α－sin αsin β＝sin α＝cos
π
2
－α ，即 cos(α＋β)＝cos
π
2
－α ，又α∈ 0，π
2 ，β∈
0，π
2 ，则α＋β∈(0，π)，π
2
－α∈ 0，π
2 .故α＋β＝π
2
－α，即 2α＋β＝π
2
.故选 D.
10．解析：选 C.构造函数 F(x)＝exf(x)，则 F′(x)＝ex(f(x)＋f′(x))<0，即 F(x)单调递减，所
以 F(a)>F(b)，即 eaf(a)>ebf(b)，即f（a）
f（b）>eb － a ＝e1
a
－a.选项可变形为：A.f（a）
f（b）>a＋1，
B.f（a）
f（b）< 1
1－a
，C.f（a）
f（b）>b
a
＝ 1
a2
，D.f（a）
f（b）0(a∈(0，1))成立，令 h(a)＝1
a
－a＋2ln
a(00 成立，则选项 C 正确．若选项 B 成立，则必有 1
1－a>e1
a
－a，即1
a
－a＋ln(1－a)<0(a∈(0，1))成立，取 a＝1
e
，则 e－1
e
＋ln 1－1
e ＝e－1
e
＋ln(e－1)－1>0，
矛盾，则选项 B 不正确；同理选项 D 不正确．故选 C.
11．解析：选 BCD.当 c＝0 时，ac＝bc，故 A 错误；
当 ac2＞bc2，则 c≠0，c2＞0，故 a＞b，故 B 为真命题；
若 a＜b＜0，则 a2＞ab 且 ab＞b2，即 a2＞ab＞b2，故 C 为真命题；
若 c＞a＞b＞0，则c
a
＜c
b
，则 0＜c－a
a
＜c－b
b
，则 a
c－a
＞ b
c－b
，故 D 为真命题．
12．解析：选 ABC.对于 A，由于 a＞b＞c，由正弦定理 a
sin A
＝ b
sin B
＝ c
sin C
＝2R，可得 sin
A＞sin B＞sin C，故 A 正确；
对于 B，A＞B＞C，由大边对大角定理可知，则 a＞b＞c，由正弦定理 a
sin A
＝ b
sin B
＝ c
sin C
＝2R，可得 sin A＞sin B＞sin C，故 B 正确；
对于 C，根据正弦定理可得 acos B＋bcos A＝2R(sin Acos B＋sin Bcos A)＝2Rsin(B＋A)＝
2Rsin(π－C)＝2Rsin C＝c，故 C 正确；
对于 D，a2＋b2＞c2，由余弦定理可得 cos C＝a2＋b2－c2
2ab
＞0，由 C∈(0，π)，可得 C 是
锐角，故 A 或 B 可能为钝角，故 D 错误．
13．解析：选 ABC.矩形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，所以 O 为 BD 的中点．在
△PBD 中，M 是 PB 的中点，所以 OM 是△PBD 的中位线，OM∥PD，则 PD∥平面 AMC，
OM∥平面 PCD，且 OM∥平面 PDA.因为 M∈PB，所以 OM 与平面 PBA 相交．
14．解析：由点 P(1，m)在椭圆x2
4
＋y2＝1 的外部，得 m2＞3
4
，则圆 x2＋y2＝1 的圆心(0，0)
到直线 y－2mx－ 3＝0 的距离 d＝ |－ 3|
1＋4m2
＜ 3
2
＜1，所以直线 y＝2mx＋ 3与圆 x2＋y2＝1 相
交．
答案：相交
15．解析：－ 1
2a
－2
b
＝－
1
2a
＋2
b (a＋b)＝－
b
2a
＋2a
b
＋5
2 ≤－ 2 b
2a·2a
b
＋5
2 ＝－9
2
，当且
仅当 b＝2a 时取等号，因此－ 1
2a
－2
b
的上确界为－9
2.
答案：－9
2
16．解析：设传令兵的速度为 v′，队伍行进速度为 v，则传令兵从排尾到排头的时间为 L
v′－v
，
从排头到排尾的时间为 L
v′＋v
，则易得 L
v′－v
＋ L
v′＋v
＝L
v
，化简得 v′2－v2＝2v′v，得v′
v
＝ 2＋1，
由于队伍与传令兵行进时间相等，故传令兵所走路程为(1＋ 2)L.
答案：(1＋ 2)L
17．解析：由 f(x)＝x3－3
2x2＋1
2x，得 f′(x)＝3x2－3x＋1
2
，所以 f″(x)＝6x－3；
由 6x－3＝0 得 x＝1
2
，所以 f
1
2 ＝0，所以 f(x)的对称中心为
1
2
，0 ，所以 f(1－x)＋f(x)＝0，
所以 f
1
2 018 ＋f
3
2 018 ＋f
5
2 018 ＋…＋f
2 017
2 018 ＝0.
答案：6x－3 0
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