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- 2021-06-10 发布
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第8课 指数与指数函数
[最新考纲]
内容
要求
A
B
C
指数
√
指数函数的图象与性质
√
1.根式的性质
(1)()n=a.
(2)当n为奇数时,=a.
(3)当n为偶数时,=|a|=
(4)0的n次实数方根等于0.
2.有理指数幂
(1)分数指数幂
①正分数指数幂:a=(a>0,m,n∈N+,且n>1);
②负分数指数幂:a-==(a>0,m,n∈N+,且n>1);
③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.
(2)有理数指数幂的运算性质
①ar·as=ar+s(a>0,r,s∈Q);
②(ar)s=ars(a>0,r,s∈Q);
③(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q).
3.指数函数的图象与性质
图象
a>1
0<a<1
定义域
R
值域
(0,+∞)
性质
过定点(0,1)
当x>0时,y>1;
当x<0时,0<y<1
当x>0时,0<y<1;
当x<0时,y>1
在R上是增函数
在R上是减函数
1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)=-4.( )
(2)(-1)=(-1)=.( )
(3)函数y=2x-1是指数函数.( )
(4)函数y=ax2+1(a>1)的值域是(0,+∞).( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
2.化简[(-2)6]-(-1)0的结果为________.
7 [原式=(26)-1=8-1=7.]
3.函数y=ax-a(a>0,且a≠1)的图象可能是________.(填序号)
① ② ③ ④
图81
③ [法一:令y=ax-a=0,得x=1,即函数图象必过定点(1,0),符合条件的只有选项③.
法二:当a>1时,y=ax-a是由y=ax向下平移a个单位,且过(1,0),①,
②都不合适;
当0<a<1时,y=ax-a是由y=ax向下平移a个单位,因为0<a<1,故排除选项④.]
4.(教材改编)已知0.2m<0.2n,则m________n.(填“>”或“<”)
> [设f(x)=0.2x,f(x)为减函数,
由已知f(m)<f(n),∴m>n.]
5.(2015·山东高考)已知函数f(x)=ax+b(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[-1,0],则a+b=________.
- [当a>1时,函数f(x)=ax+b在[-1,0]上为增函数,由题意得无解.当01的解集是________.
[由2x2+x-1>1得2x2+x-1<0,解得-10时,开口向上,对称轴x=>0,过点(0,-1),必有一个根为正,所以,a>0.
法二:方程2ax2-x-1=0可化为a==2-,
∴a的范围即为函数g(x)=2-在(0,+∞)上的值域.
所以,a>0.
4.(2017·南通第一次学情检测)已知函数f(x)=3x+λ·3-x(λ∈R).
(1)当λ=1时,试判断函数f(x)=3x+λ·3-x的奇偶性,并证明你的结论;
(2)若不等式f(x)≤6在x∈[0,2]上恒成立,求实数λ的取值范围.
[解] (1)函数f(x)=3x+λ·3-x为偶函数.
证明:函数f(x)=3x+λ·3-x的定义域为R,
λ=1时,f(x)=3x+3-x,f(-x)=f(x).
所以函数f(x)=3x+λ·3-x为偶函数.
(2)由f(x)≤6得3x+λ·3-x≤6,即3x+≤6,
令t=3x,原不等式等价于t+≤6在t∈[1,9]上恒成立,亦即λ≤-t2+6t在t∈[1,9]上恒成立.
令g(t)=-t2+6t,t∈[1,9],
当t=9时g(t)min=g(9)=-27,所以λ≤-27.