高中数学必修2教案：4_2_3-2直线与圆的方程的应用 5页

‎4、2、3直线与圆的方程的应用（二）‎ ‎【教学目标】‎ ‎1、坐标法求直线和圆的应用性问题；‎ ‎2、面积最小圆、中点弦问题的解决方法.‎ ‎【教学重难点】‎ 教学重点：坐标法求直线和圆的应用性问题．‎ 教学难点：面积最小圆、中点弦问题的解决方法．‎ ‎【教学过程】‎ ‎1、面积最小圆问题、中点弦轨迹问题 ‎ 例1、求通过直线与圆的交点，且面积最小的圆的方程.‎ ‎ 结论：解法一：利用过两曲线交点的曲线系.我们可以设圆的方程为 ‎.配方得到标准式方程如下所示，可以得到，当时，此时半径，所求圆的方程为.解法二：利用平面几何知识.以直线与圆的交点连线为直径的圆符合条件.把两个方程式联立，消去，得.因为判别式大于零，我们可以根据根与系数的关系也即韦达定理得到线段的中点的横坐标为，，又半径（弦长公式），所以所求的圆的方程是:.解法三：我们可以求出两点的坐标，根据两点间距离公式和中点坐标公式求出半径和圆心，求出圆的方程.‎ 变式练习：求圆上的点到的最远、最近的距离。‎ 例2、已知圆O的方程为，求过点所作的弦的中点的轨迹.‎ 结论：解法一：参数法（常规方法）设过A所在的直线方程为y-2=k(x-1)(k存在时），P（x,y)，则，消去y，得到如下方程所以我们可以得到下面结果，利用中点坐标公式及中点在直线上，得：(k为参数）.消去k得P点的轨迹方程为，当k不存在时，中点P（1，0）的坐标也适合方程.所以P点的轨迹是以点（1/2,1)为圆心，为半径的圆.解法二：代点法（涉及中点问题可考虑此法）我们可以设过点A的弦为MN，则可以设两点的坐标为.因为M、N都在圆上，所以我们可以得到，然后我们把两式向减可以得到：设P（x,y)则.所以由这个结论和M、N、P、A四点共线，可以得到.所以2x+[(y-2)/(x-‎ ‎1)]2y=0，所以P点的轨迹方程为 ‎（x=1时也成立），所以P点的轨迹是以点（1/2,1)为圆心，为半径的圆.解法三：数形结合（利用平面几何知识），由垂径定理可知,故点P的轨迹是以AO为直径的圆.‎ 变式练习：已知直线，是上一动点，过作轴、轴的垂线，垂足分别为、，则在、连线上，且满足的点的轨迹方程。‎ 反思总结： ‎ ‎ ‎ 当堂检测:‎ 已知与曲线C：相切的直线交的正半轴与两点，O为原点，=a，，．‎ ‎（1）求线段中点的轨迹方程；‎ ‎（2）求的最小值．‎ ‎【板书设计】‎ 例1‎ 变式1‎ 例2‎ 变式2‎ ‎ 【作业布置】‎ ‎1、必做题：习题4.2B组的2、3、题；‎ ‎4、2、3直线与圆的方程的应用导学案（二）‎ 课前预习学案 一、预习目标：利用直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系解决一些实际问题 二、预习内容：‎ ‎1．你能说出直线与圆的位置关系吗？‎ ‎2．解决直线与圆的位置关系，你将采用什么方法？‎ 三、提出疑惑 1、 ‎ ；‎ 2、 ‎ ；‎ 3、 ‎ 。‎ 课内探究学案 一、学习目标：‎ ‎（1）理解直线与圆的位置关系的几何性质；‎ ‎（2）利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；‎ ‎（3）会用“数形结合”的数学思想解决问题．‎ 学习重难点：直线的知识以及圆的知识 二、学习过程：‎ ‎1、面积最小圆问题、中点弦轨迹问题 ‎ 例1、求通过直线与圆的交点，且面积最小的圆的方程.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 变式练习：求圆上的点到的最远、最近的距离。‎ 例2、已知圆O的方程为，求过点所作的弦的中点的轨迹.‎ 变式练习：已知直线，是上一动点，过作轴、轴的垂线，垂足分别为、，则在、连线上，且满足的点的轨迹方程。‎ ‎ ‎ 反思总结： ‎ ‎ ‎ 当堂检测:‎ 已知与曲线C：相切的直线交的正半轴与两点，O为原点，=a，，．‎ ‎（1）求线段中点的轨迹方程；‎ ‎（2）求的最小值．‎ ‎ ‎ 课后练习与提高 ‎1、M（为圆内异于圆心的一点，则直线与该圆的位置关系为 ‎ A、相切 B、相交 C、相离 D、相切或相交 ‎ ‎2.从直线：上的点向圆引切线，则切线长的最小值为 ‎ ‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎3、已知分别是直线上和直线外的点，若直线的方程是 ‎，则方程表示 ‎ A、与重合的直线 B、过P2且与平行的直线 ‎ C、过P1且与垂直的直线 D、不过P2但与平行的直线 ‎4.如果实数 ． ‎ ‎5、已知集合A＝｛(x,y)｜＝2,x、y∈R｝，B＝｛(x,y)｜4x+ay＝16,x、y∈R｝，若 A∩B＝，则实数a的值为 ．‎ ‎6.等腰三角形ABC的顶点，求另一端点C的轨迹方程.‎ ‎ ‎