2021高考数学一轮复习第11章概率第1节随机事件的概率教学案文北师大版 8页

第11章 概率 全国卷五年考情图解 高考命题规律把握 ‎1.考查形式 高考在本章内容中一般命制1道小题，1道解答题，分值在5～17分.‎ ‎2.考查内容 高考中小题重点考查古典概型、几何概型，解答题重点考查概率的意义、古典概型及概率与统计相结合的综合性问题.‎ ‎3.备考策略 ‎(1)熟练掌握解决以下问题的方法和规律 ‎①互斥、对立事件的概念及概率计算问题；‎ ‎②古典概型、几何概型的概率计算问题；‎ ‎③概率与统计相结合的综合性问题.‎ ‎(2)重视分类讨论、转化与化归思想的应用.‎ 第一节　随机事件的概率 ‎[最新考纲]　1．了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义及频率与概率的区别.2.了解两个互斥事件的概率加法公式．‎ ‎(对应学生用书第188页)‎ ‎1．概率 ‎(1)定义：在相同的条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A发生的频率会在某个常数附近摆动，即随机事件A发生的频率具有稳定性．这时这个常数叫作随机事件A的概率，记作P(A)，有0≤P(A)≤1.‎ ‎(2)频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，但频率是随机的，而概率是一个确定的值，因此，人们用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率作为随机事件概率的估计值．‎ ‎2．互斥事件与对立事件 - 8 -‎ ‎(1)互斥事件：在一个随机试验中，我们把一次试验下不能同时发生的两个事件A与B称作互斥事件．‎ ‎(2)对立事件：在每一次试验中，两个事件不会同时发生，并且一定有一个发生的事件A和称为对立事件．‎ ‎3．概率的几个基本性质 ‎(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.‎ ‎(2)必然事件的概率：P(A)＝1.‎ ‎(3)不可能事件的概率：P(A)＝0.‎ ‎(4)互斥事件的概率加法公式：‎ ‎①P(A＋B)＝P(A)＋P(B)(A，B互斥)．‎ ‎②P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)(A1，A2，…，An彼此互斥)．‎ ‎(5)对立事件的概率：P()＝1－P(A)．‎ ‎1．辨析两组概念 ‎(1)频率与概率 ‎①频率是一个变量，随着试验次数的改变而改变；‎ ‎②概率是一个确定的常数，是客观存在的，与每次试验无关；‎ ‎③频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率．‎ ‎(2)互斥事件与对立事件 ‎①两个事件是互斥事件，它们未必是对立事件；‎ ‎②两个事件是对立事件，它们也一定是互斥事件．‎ ‎2．概率加法公式的推广 当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．‎ 一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)“方程x2＋2x＋8＝0有两个实根”是不可能事件． (　　)‎ ‎(2)对立事件一定是互斥事件，互斥事件也一定是对立事件． (　　)‎ ‎(3)事件发生的频率与概率是相同的． (　　)‎ ‎(4)若事件A发生的概率为P(A)，则0＜P(A)＜1. (　　)‎ ‎[答案](1)√　(2)×　(3)×　(4)×‎ 二、教材改编 ‎1．一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是(　　)‎ A．至多有一次中靶 B．两次都中靶 - 8 -‎ C．只有一次中靶 D．两次都不中靶 D　[“至少有一次中靶”的对立事件是“两次都不中靶”．]‎ ‎2．有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：[11.5,15.5)，2；[15.5,19.5)，4；[19.5,23.5)，9；[23.5，27.5)，18；[27.5,31.5)，11；[31.5,35.5)，12；[35.5,39.5)，7；[39.5,43.5]，3.‎ 根据样本的频率分布估计，数据落在[27.5,43.5]内的概率约是________．‎ 　[由条件可知，落在[27.5,43.5]内的数据有11＋12＋7＋3＝33(个)，故所求概率约是＝.]‎ ‎3．一副混合后的扑克牌(52张)中，随机抽取1张，事件A为“抽得红桃K”，事件B为“抽得黑桃”，则概率P(A＋B)＝________.(结果用最简分数表示)‎ 　[P(A)＝，P(B)＝，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.]‎ ‎4．甲、乙二人下棋，甲不输的概率为0.8，则乙获胜的概率为________．‎ ‎0.2　[事件“乙获胜”的对立事件是“甲不输”，根据对立事件的概率计算公式可得，乙获胜的概率为：1－0.8＝0.2.]‎ ‎(对应学生用书第189页)‎ ‎⊙考点1　随机事件之间的关系 ‎　判断互斥、对立事件的两种方法 ‎(1)定义法：判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．对立事件是互斥事件的充分不必要条件．‎ ‎(2)集合法：①由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥．‎ ‎②事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．‎ ‎　1.把红、蓝、黑、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得一张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是(　　)‎ A．对立事件　 B．互斥但不对立事件 C．不可能事件 D．以上都不对 B　[事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不会同时发生，两者是互斥事件，但仍然有可能甲、乙均不能分得红牌，所以二者不是对立事件，故选B.]‎ ‎2．把语文、数学、英语三本学习书随机地分给甲、乙、丙三位同学，每人一本，则事件 - 8 -‎ A：“甲分得语文书”，事件B：“乙分得数学书”，事件C：“丙分得英语书”，则下列说法正确的是(　　)‎ A．A与B是不可能事件 B．A＋B＋C是必然事件 C．A与B不是互斥事件 D．B与C既是互斥事件也是对立事件 C　[事件A，B，C可能同时发生，也可能不同时发生，因此选项A，B，D错，C正确．]‎ ‎3．在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是，那么概率是的事件是(　　)‎ A．至多有一张移动卡 B．恰有一张移动卡 C．都不是移动卡 D．至少有一张移动卡 A　[至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡”，“2张全是联通卡”两个事件，它是“2张全是移动卡”的对立事件．]‎ ‎　第2题易误选B，造成错误的原因是忽视了事件A，B，C可能同时发生，也可能不同时发生．‎ ‎⊙考点2　随机事件的概率与频率 ‎1．计算简单随机事件频率或概率的解题思路 ‎(1)计算出所求随机事件出现的频数及总事件的频数．‎ ‎(2)由频率与概率的关系得所求．‎ ‎2．求解以统计图表为背景的随机事件的频率或概率问题的关键点 求解该类问题的关键是由所给频率分布表、频率分布直方图或茎叶图等图表，计算出所求随机事件出现的频数，进而利用频率与概率的关系得所求．‎ ‎　某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：‎ 上年度出 险次数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎≥5‎ 保费 ‎0.85a a ‎1.25a ‎1.5a ‎1.75a ‎2a 随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：‎ 出险 次数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎≥5‎ 频数 ‎60‎ ‎50‎ ‎30‎ ‎30‎ ‎20‎ ‎10‎ ‎(1)记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的估计值；‎ - 8 -‎ ‎(2)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P(B)的估计值；‎ ‎(3)求续保人本年度平均保费的估计值．‎ ‎[解](1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为＝0.55，故P(A)的估计值为0.55.‎ ‎(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为＝0.3，故P(B)的估计值为0.3.‎ ‎(3)由所给数据得 保费 ‎0.85a a ‎1.25a ‎1.5a ‎1.75a ‎2a 频率 ‎0.30‎ ‎0.25‎ ‎0.15‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ 调查的200名续保人的平均保费为0.85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.192 5a.‎ 因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a.‎ ‎[母题探究]‎ ‎1．若本例的条件不变，试求“一续保人本年度的保费不低于基本保费”的概率的估计值．‎ ‎[解]　设事件“一续保人本年度的保费不低于基本保费”为E，事件E对应于出险次数大于或等于1，由本例(3)知出险次数小于1的频率为0.3，故一年内出险次数大于或等于1的频率为1－0.3＝0.7，故P(E)的估计值为0.7.‎ ‎2．若本例的条件不变，记F为事件：“一续保人本年度的保费等于基本保费”，求P(F)的估计值．‎ ‎[解]　“一续保人本年度的保费等于基本保费”的事件F发生当且仅当一年内出险次数等于1，其频率为0.25，故P(F)的估计值为0.25.‎ ‎　本例第(1)(2)两问，考查了用频率估计概率，第(3)问解题的关键是列出保费与频率的关系，再根据公式求平均保费．‎ ‎[教师备选例题]‎ ‎　某花店每天以每朵5元的价格从农场购进若干朵玫瑰花，然后以每朵10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理．‎ ‎(1)若花店一天购进17朵玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：朵，n∈N)的函数解析式；‎ ‎(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：朵)，整理得下表：‎ 日需求量n ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ - 8 -‎ 频数 ‎10‎ ‎20‎ ‎16‎ ‎16‎ ‎15‎ ‎13‎ ‎10‎ ‎①假设花店在这100天内每天购进17朵玫瑰花，求这100天的日利润(单位：元)的平均数；‎ ‎②若花店一天购进17朵玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率．‎ ‎[解](1)当日需求量n≥17时，利润y＝85；当日需求量n＜17时，利润y＝10n－85.‎ 所以利润y关于当天需求量n的函数解析式为y＝(n∈N*)．‎ ‎(2)①这100天的日利润的平均数为 ‎＝76.4(元)．‎ ‎②当天的利润不少于75元，当且仅当日需求量不少于16朵，故当天的利润不少于75元的概率为P＝0.16＋0.16＋0.15＋0.13＋0.1＝0.7.‎ ‎　(2017·全国卷Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：‎ 最高气温 ‎[10,15)‎ ‎[15,20)‎ ‎[20,25)‎ ‎[25,30)‎ ‎[30,35)‎ ‎[35,40)‎ 天数 ‎2‎ ‎16‎ ‎36‎ ‎25‎ ‎7‎ ‎4‎ 以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．‎ ‎(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；‎ ‎(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．‎ ‎[解](1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表格数据知，最高气温低于25的频率为＝0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.‎ ‎(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，‎ 若最高气温不低于25，则Y＝6×450－4×450＝900；‎ 若最高气温位于区间[20,25)，则Y＝6×300＋2(450－300)－4×450＝300；‎ 若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(450－200)－4×450＝－100，‎ 所以，Y的所有可能值为900,300，－100.‎ - 8 -‎ Y大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为＝0.8，因此Y大于零的概率的估计值为0.8.‎ ‎⊙考点3　互斥事件、对立事件的概率 ‎　求复杂的互斥事件的概率的方法 ‎(1)直接法 ‎(2)间接法(正难则反)‎ ‎　某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：‎ ‎(1)P(A)，P(B)，P(C)；‎ ‎(2)1张奖券的中奖概率；‎ ‎(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．‎ ‎[解](1)P(A)＝，‎ P(B)＝＝，‎ P(C)＝＝.‎ 故事件A，B，C的概率分别为，，.‎ ‎(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖券中奖”这个事件为M，则M＝A∪B∪C.‎ ‎∵A，B，C两两互斥，‎ ‎∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)‎ ‎＝＝，‎ - 8 -‎ 故1张奖券的中奖概率约为.‎ ‎(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，‎ ‎∴P(N)＝1－P(A＋B)＝1－＝，‎ 故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为.‎ ‎　求概率时，若直接求解较复杂，可考虑先求其对立事件的概率．‎ ‎　1.从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为(　　)‎ A．0.3　　　B．0.65　　　C．0.35　　　D．0.5‎ C　[事件“抽到的产品不是一等品”与事件A是对立事件，因此所求概率P＝1－P(A)＝1－0.65＝0.35，故选C.]‎ ‎2．某城市2019年的空气质量状况如表所示：‎ 污染指数T ‎30‎ ‎60‎ ‎100‎ ‎110‎ ‎130‎ ‎140‎ 概率P 其中污染指数T≤50时，空气质量为优；50＜T≤100时，空气质量为良；100＜T≤150时，空气质量为轻微污染，则该城市2019年空气质量达到良或优的概率为________．‎ 　[设“空气质量为优”为事件A，“空气质量为良”为事件B，“空气质量为良或优”为事件C，则P(A)＝，P(B)＝＋＝，则P(C)＝P(A＋B)＝＋＝.]‎ - 8 -‎