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- 2021-06-10 发布
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第二节 排列、组合与
二项式定理
内容索引
必备知识
·
自主学习
核心考点
·
精准研析
核心素养测评
【
教材
·
知识梳理
】
1.
排列
(
数
)
、组合
(
数
)
的异同点
(1)
共同点
:
从
n
个
_________
中取出
m(m≤n)
个元素
.
(2)
不同点
:
排列与
_____
有关
,
组合与
_____
无关
.
不同元素
顺序
顺序
2.
排列数、组合数公式及性质
:
3.
二项式定理
:
(1)
展开式
:
特征
:①
项数
:n+1.
②
各项次数
:
字母
a
的指数与字母
b
的指数和为
n.
③
顺序
:
字母
a
按
_____
排列
,
字母
b
按
_____
排列
.
降幂
升幂
(2)
通项公式
:
(3)
二项式系数
:
第
k+1
项的二项式系数为
(4)
二项式系数的性质
:
①
对称性
:
与首末两项等距的二项式系数相等
,
即
.
②
增减性
:
当
k<
时
,
二项式系数是
_____
的
,
当
k>
时
,
二项式系数是
_____
的
.
③
最大值
:
当
n
为偶数时
,_________
的二项式系数最大
,
当
n
为奇数时
_________
的
二项式系数相等且最大
.
④
二项式系数和
: .
.
递增
递减
中间一项
中间两项
【
知识点辨析
】
(
正确的打“√”
,
错误的打“
×”)
(1)
(
)
(2)
若组合式
,
则
x=m
成立
.
(
)
(3)(n+1)!-n!=n·n!. (
)
(4) .
(
)
(5) a
n-r
b
r
是
(a+b)
n
的展开式中的第
r
项
. (
)
(6)
二项展开式中某项的系数与该项的二项式系数一定相同
. (
)
提示
:
(1)√.
因为
(2)×.
由组合数性质可得
x=m
或
x=n-m.
(3)√.
由阶乘的定义可知
,
正确
.
(4)√.
因为
(5)×.
由二项式定理可得 是第
r+1
项
.
(6)×.
二项展开式的某一项的系数与这一项的二项式系数不一定相同
,
比如
:
的第
5
项的系数是
2
4
=3 360,
第
5
项的二项式系数是
=210.
【
易错点索引
】
序号
易错警示
典题索引
1
分不清是排列还是组合
考点一、
T1,2
考点二、
T1
2
排列、组合中计算有重复、
遗漏
考点一、
T3
考点二、
T2
3
排列组合问题计算出错
考点一
T4
考点二、
T3
4
二项式定理中通项出错
考点三、角度
2 T1,2
5
二项展开式的系数错误
考点三、角度
3 T1,2
【
教材
·
基础自测
】
1.(
选修
2-3P29
习题
1.4T5
改编
)
学校要安排一场文艺晚会的
11
个节目的演出顺序
,
除第
1
个节目和最后
1
个节目已确定外
,
还有
4
个音乐节目
,3
个舞蹈节目
,2
个曲艺
节目
,
且
3
个舞蹈节目要求不能相邻
,2
个曲艺节目出场前后顺序已定
,
共有
______
种不同排法
.
【
解析
】
先把
4
个音乐节目
,2
个曲艺节目
,
进行全排
,
且
2
个曲艺节目出场前后顺序
已定
,
形成了
7
个空
,
选
3
个
,
把舞蹈节目插入
,
故有
=75 600(
种
).
答案
:
75 600
2.(
选修
2-3P54
例
2
改编
)
在
100
件产品中
,
有
2
件次品
,
从中任取
3
件
,
其中“至少有
1
件次品”的取法有
________
种
.
【
解析
】
方法一
:
第
1
类
,
“
只有
1
件次品
”
,
共有 种
;
第
2
类
,
“
有
2
件次
品
”
,
共有 种
,
由分类加法计数原理知共有
=9 604(
种
).
方法二
:
无任何限制共有 种
,
其中
“
没有次品
”
共有 种
,
则
“
至少有
1
件
次品
”
共有
=9 604(
种
).
答案
:
9 604
3.(
选修
2-3P18
习题
1.2T10
改编
)
由
1,2,3,4,5,6,7,8
八个数字
,
组成无重复数字
的两位数的个数为
________.(
用数字作答
)
【
解析
】
问题转化为求从
8
个不同元素中选取
2
个元素的排列数
,
即
=8×7=56.
答案
:
56
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