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- 2021-06-10 发布
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【2019 最新】精选高二数学上学期期中试题 理(含解析) (2)
理科数学
第Ⅰ卷(共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出
的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 中,角的对边分别为,已知,,,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】在△ABC 中, ,
∴则 ,
∴由正弦定理可得:
故选 C
2. 等比数列中,若,,则( )
A. 64 B. -64 C. 32 D. -32
【答案】A
【解析】数列是等比数列,,,
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即
解得
那么
故选 A.
3. 已知等差数列中,公差,,,则( )
A. 5 或 7 B. 3 或 5 C. 7 或-1 D. 3 或-1
【答案】D
【解析】在等差数列中,公差,,,得 ,解得 或 .
故选 D.
4. 中,,,,则( )
A. 15 B. 9 C. -15 D. -9
【答案】B
- 3 - / 14
..................
故选 B.
5. 已知成等比数列,且曲线的顶点是,则等于( )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 12
【答案】B
【解析】把 配方得
得到顶点坐标为 ,即 由 成等比数列,则 ,
故选 B.
6. 已知等差数列的公差为整数,首项为 13,从第五项开始为负,则等
于( )
A. -4 B. -3 C. -2 D. -1
【答案】A
【解析】在等差数列中,由 ,得 ,得 ,
∵公差 为整数, .
故选 A.
7. 已知中,角的对边分别为,已知,,若三角形有两解,则边的取值
范围是( )
A. B. C. D.
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【答案】C
【解析】 ,要使三角形有两解,就是要使以 为圆心,半径为 2 的圆与
有两个交点,
当时,圆与相切;
当时交于点,也就是只有一解,,即
由正弦定理以及 .可得:
的取值范围是
故选 C.
8. 中,角的对边分别为,已知,则的形状是( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形或直角三角形 D.
等腰直角三角形
【答案】C
当 时,的形状是等腰三角形,
当 时,即 ,那么 ,的形状是直角三角形.
故选 C.
【点睛】本题考查正弦定理和三角形内角和定理的运用.解题的关键
是得到一定要注意分类讨论.
9. 已知中,,则( )
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A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据正弦定理 化简已知等式得:
,又 为三角形的内角,
则 .
故选 D
【点睛】此题考查了正弦定理,以及余弦定理的运用,熟练掌握定理
是解本题的关键.
10. 《九章算术》中有“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等,
问各得几何?”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分 5 钱,甲、
乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得
依次成等差数列,问五人各得多少钱?”这个问题中,甲所得为( )
A. 钱 B. 钱 C. 钱 D. 钱
【答案】B
【解析】设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为,则,解得,又 ,则,故选
B.
11. 设为等差数列,,公差,则使前项和取得最大值时正整数等于( )
A. 4 或 5 B. 5 或 6 C. 6 或 7 D. 8 或 9
【答案】B
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【解析】设等差数列{an}的首项为公差为
解得 a 或(舍去)
则 ,
故使前项和取最大值的正整数是 5 或 6.
故选 B.
12. 已知锐角中,角的对边分别为,若,,则的面积的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵,,
∴由题 为锐角,可得
∵由正弦定理可得 ,可得:
, 为锐角,可得 ,
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可得
故选 C.
第Ⅱ卷(共 90 分)
二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
13. 在中,角的对边分别为,若,则此三角形面积为__________.
【答案】
【解析】 ,
故
,
故三角形面积
故答案为
14. 数列的首项,,则__________.
【答案】-61
【解析】由题数列的首项,,则当时。
是以-1 为首项以 2 为公比的等比数列,
故答案为-61.
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15. 已知等差数列,前项和分别为和,若,则=__________.
【答案】
【解析】
故答案为
16. 如图半圆的半径为 1,为直径延长线上一点,且,为半圆上任意一
点,以为一边作等边三角形,则四边形面积最大值为___________.
【答案】
【解析】设,在中,由余弦定理得: ,
所以四边形的面积为:
, ,
∴当 ,即
即时,四边形 面积取得最大值,最大为
故答案为:.
【点睛】本题考查了余弦定理以及三角函数的化简和求最大值问题.
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其中利用余弦定理得到是解题的关键.
三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明
过程或演算步骤.)
17. 在中,角的对边分别为,且满足.
(1)求角;
(2)若的面积,,求边.
【答案】(1);(2)7.
【解析】试题分析:(1)根据 .利用二倍角和诱导公式化简可得角.
(2)根据 ,即可求解边的值.
试题解析:(1)∵解得或,
∵,
∴,∴.
(2)∵,即,
∴,∴ ,解得.
18. 已知等比数列满足,.
(1)求数列的通项公式;
(2)设数列的前项和为,若不等式,对一切恒成立,求实数的取值范
围.
【答案】(1);(2).
【解析】试题分析:1)根据是等比数列,可得 *.可得,即可求解数
列的通项公式;
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(2)根据等比数列的前项和公式求解 n,由于,分离参数,即可求解
实数的取值范围.
试题解析:(1)设等比数列公比为,∵,,
∴,,∴,∴,∴,
∴.
(2)由(1)知,∴,即
对一切恒成立.
令,则随的增大而增大.
∴,
∴,∴实数的取值范围是.
【点睛】本题考查等比数列通项公式和前 n 项和的求解,其中根据分
离参数的表达式以及结合单调性求解范围是解决本题的关键.
19. 在等差数列中,,,其前项和为.
(1)求数列的通项公式;
(2)求数列的前项和,并证明.
【答案】(1);(2),证明见解析.
【解析】试题分析:(1)设等差数列的首项为,公差为,由已知列出
关于首项和公差的方程组,求得,,代入等差数列的通项公式求解;
(2)求出,可得,利用裂项相消法求和后即可证明.
试题解析:(1)设等差数列的公差为,则由及等差数列的通项公式,
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得,又,解得,,
则;
(2)由(1)知,
即 ,
则
.
所以.
20. 在锐角中,分别为角的对边,且.
(1)确定角的大小;
(2)当时,求周长的最大值.
【答案】(1);(2).
【解析】试题分析:(1)由正弦定理化简已知可求,结合范围 ,求得
,结合范围 ,即可得解 的值.
(2)根据正弦定理可得.,结合是锐角三角形,可求得周长的最大值
.
试题解析:(1)由及正弦定理得,.
∵,∴.
∵是锐角三角形,∴.
(2)∵,
∴ .
∵是锐角三角形,∴,
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故,
所以周长的最大值是.
21. 轮船从某港口将一些物品送到正航行的轮船上,在轮船出发时,轮
船位于港口北偏西且与相距 20 海里的处,并正以 30 海里的航速沿正
东方向匀速行驶,假设轮船沿直线方向以海里/小时的航速匀速行驶,
经过小时与轮船相遇.
(1)若使相遇时轮船航距最短,则轮船的航行速度大小应为多少?
(2)假设轮船的最高航速只能达到 30 海里/小时,则轮船以多大速度
及什么航行方向才能在最短时间与轮船相遇,并说明理由.
【答案】(1)轮船以海里/小时的速度航行,相遇时轮船航距最短;(2
)航向为北偏东,航速为 30 海里/小时,轮船能在最短时间与轮船相
遇.
【解析】试题分析:(1)设两轮船在处相遇,在 中,利用余弦定理得
出关于 t 的函数,从而得出的最小值及其对应的,得出速度;
(2)利用余弦定理计算航行时间,得出 距离,从而得出 的度数,得
出航行方案.
试题解析:(1)设相遇时轮船航行的距离为海里,则
.
∴当时,,,
即轮船以海里/小时的速度航行,相遇时轮船航距最短.
(2)设轮船与轮船在处相遇,则 ,
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即.
∵,
∴,即,解得,又时,
∴时,最小且为,此时中,
∴航向为北偏东,航速为 30 海里/小时,
轮船能在最短时间与轮船相遇.
22. 已知数列及,且,.
(1)求的值;
(2)求数列的通项公式;
(3)求证:.
【答案】(1),,;(2);(3)证明见解析.
【解析】试题分析:(1)由已知条件利用函数的性质能求出 的值.
(2)由已知条件推导出,由此能求出数列的通项公式.
(3)由利用错位相减法能证明.
试题解析:(1)由已知,所以.
,所以.
,所以.
(2)令,则,①
,②
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两式相减,得
,
所以,即,
又也满足上式,
所以数列的通项公式为.
(3),
所以,③
,④
①-②得
,
所以.
又,∴,故.
又,
所以是递增数列,故.
所以.
【点睛】本题考查数列的前 3 项及通项公式的求法,考查不等式的证
明,解题时要认真审题,注意错位相减法的合理运用.
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