新教材高中数学第三章指数运算与指数函数3指数函数第1课时指数函数的概念图象与性质课件北师大版必修第一册 37页

3.1 　指数函数的概念　 3.2 　指数函数的图象和性质 第 1 课时　指数函数的概念、图象与性质 激趣诱思 知识点拨 当有机体生存时 , 会因呼吸、进食等不断地从外界摄入碳 14, 最终体内碳 14 与碳 12 的比值会达到与环境一致 ( 该比值基本不变 ), 当有机体死亡后 , 碳 14 的摄入停止 , 之后体中碳 14 因衰变就会逐渐减少 , 通过测定碳 14 与碳 12 的比值就可以测定该生物的死亡年代 . 已知碳 14 的半衰期 ( 消耗一半所花费的时间 ) 为 5 730 年 , 你能用函数表示有机体内的碳 14 与其死亡时间之间的关系吗 ? 激趣诱思 知识点拨 一、指数函数的概念 1 . 形如 y=a x ( a> 0, 且 a ≠1) 的函数称为指数函数 . 其中 x 是自变量 , 且 x ∈ R . 即定义域为 R , 值域为 (0, +∞ ) . 2 . 指数函数的图象过定点 (0,1) . 名师点析 1 . 当 x= 0 时 , y=a 0 = 1, 即指数函数的图象过定点 (0,1); 若 a= 1, 指数函数 y=a x 即为 y= 1, 图象为经过点 (0,1) 与 x 轴平行的直线 . 所以图象过定点 (0,1) . 2 . 根据指数函数的定义 , 只有形如 y=a x ( a> 0, 且 a ≠1) 的函数才叫指数函数 , 如 都不是指数函数 . 激趣诱思 知识点拨 微思考 指数函数中 , 为什么要规定 a> 0, 且 a ≠1? 如果 a= 0, 那么当 x> 0 时 , a x = 0, 当 x ≤ 0 时 , a x 无意义 ; 如果 a= 1, y= 1 x = 1 是个常数函数 , 没有研究的必要 . 所以规定 a> 0, 且 a ≠1, 此时 x 可以是任意实数 . 激趣诱思 知识点拨 二、指数函数的图象和性质 1 . 指数函数的图象和性质 激趣诱思 知识点拨 激趣诱思 知识点拨 2 . 函数 y=a x 和 y=b x 函数值的大小 关系 y 轴 激趣诱思 知识点拨 名师点析 1 . 指数函数的图象 , 既不关于原点对称 , 也不关于 y 轴对称 , 所以 指数函数既不是奇函数 , 也不是偶函数 . 2 . 指数函数的图象永远在 x 轴的上方 . 底数越大 , 图象越高 , 简称 “ 底大图高 ” . 激趣诱思 知识点拨 微 判断 (1) 指数函数 y=m x ( m> 0, 且 m ≠1) 是 R 上的增函数 . ( 　　 ) (2) 指数函数 y=a x ( a> 0, 且 a ≠1) 既不是奇函数 , 也不是偶函数 . ( 　　 ) (3) 所有的指数函数图象过定点 (0,1) . ( 　　 ) (4) 函数 y=a |x| 与函数 y=|a x | 的图象是相同的 . ( 　　 ) 答案 : (1) × 　 (2) √ 　 (3) √ 　 (4 ) × 判断下列说法是否正确 , 正确的在后面的括号内画 “ √ ”, 错误的画 “ × ” . 激趣诱思 知识点拨 微练习 1 若指数函数 y= ( a- 2) x 是 R 上的单调增函数 , 则实数 a 的取值范围是 　　　　　 .   微 练习 2 函数 y= 2 -x 的图象是 ( 　　 ) 答案 : (3, +∞ ) 　 解析 : 由函数 y= ( a- 2) x 是 R 上的单调增函数 , 得 a- 2 > 1, 即 a> 3 . 答案 : B 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 指数函数的概念 例 1 (1) 若指数函数 f ( x ), 满足 f (2) -f (1) = 6, 则 f (3) = 　　　　　 ;   (2) 已知函数 y= ( a 2 - 3 a+ 3) a x 是指数函数 , 求 a 的值 . 答案 : (1)27 　 解析 : 设指数函数 f ( x ) =a x ( a> 0, 且 a ≠1), 则 a 2 -a= 6, 得 a=- 2( 舍去 ) 或 a= 3, 于是 f (3) = 3 3 = 27 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 1 . 判断一个函数是不是指数函数的方法 : (1) 看形式 : 即看是否符合 y=a x ( a> 0, 且 a ≠1, x ∈ R ) 这一结构形式 . (2) 明特征 : 指数函数的解析式具备的三个特征 , 只要有一个特征不具备 , 则不是指数函数 . 2 . 已知某个函数是指数函数 , 求参数值的步骤 : (1) 列 : 依据指数函数解析式所具备的三个特征 , 列出方程 ( 组 ) 或不等式 ( 组 ) . (2) 解解所列的方程 ( 组 ) 或不等式 ( 组 ), 求出参数的值或范围 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 1 下列函数 , 一定是指数函数的是 　　　　　 . ( 填序号 )   答案 : ①⑥ 　 解析 : ① y= 5 x 符合指数函数的定义 , 是指数函数 ; ② y= 4 x- 1 中 , 指数是 x- 1 而非 x , 不是指数函数 ; ③ y=- 3 x 中 , 系数是 - 1 而非 1, 不是指数函数 ; ⑦ y= ( a+ 3) x 中 , 底数 a+ 3 不一定满足 “ 大于 0, 且不等于 1” 的条件 , 不一定是指数函数 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 指数函数的图象及应用 1 . 图象过定点问题 例 2 已知函数 f ( x ) =a x+ 1 + 3( a> 0, 且 a ≠1) 的图象一定过点 P , 则点 P 的坐标是 　　　　　 .   答案 : ( - 1,4) 　 解析 : ∵ 当 x+ 1 = 0, 即 x=- 1 时 , f ( x ) =a 0 + 3 = 4 恒成立 , 故函数 f ( x ) =a x+ 1 + 3 恒过点 ( - 1,4) . 反思感悟 指数型函数图象过定点问题的解法 因为函数 y=a x ( a> 0 且 a ≠1) 的图象恒过点 (0,1), 所以对于函数 f ( x ) =ka g ( x ) +b ( k , a , b 均为常数 , 且 k ≠0, a> 0, 且 a ≠1) . 若 g ( m ) = 0, 则 f ( x ) 的图象过定点 ( m , k+b ) . 即令指数等于 0, 解出相应的 x , y , 则点 ( x , y ) 为所求定点 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 延伸探究 本例中函数改为 f ( x ) = 5· a 3 x- 2 + 4 呢 ? 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 2 . 画指数型函数的图象 例 3 画出下列函数的图象 , 并说明它们是由函数 f ( x ) = 2 x 的图象经过怎样的变换得到的 . (1) y= 2 x- 1 ;(2) y= 2 x + 1;(3) y=- 2 x ;(4) y= 2 |x| . 分析 作出函数 y= 2 x 的图象 , 利用平移变换与对称变换求解 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解 : (1) 如图 ① , y= 2 x- 1 的图象是由 y= 2 x 的图象向右平移 1 个单位长度得到的 . (2) 如图 ① , y= 2 x + 1 的图象是由 y= 2 x 的图象向上平移 1 个单位长度得到的 . (3) 如图 ① , y=- 2 x 的图象与 y= 2 x 的图象关于 x 轴对称 . (4) 函数 y= 2 |x| 为偶函数 , 图象关于 y 轴对称 , 且其在 x ≥ 0 上的图象与 y= 2 x 的图象一致 , 可得 y= 2 |x| 的图象如图 ② 所示 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 变换作图法及注意点 (1) 平移变换及对称变换 : 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 (2) 翻折变换 : ① 将函数 y=f ( x ) 的图象在 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折到 x 轴上方 , 替代原 x 轴下方部分 , 并保留 y=f ( x ) 的图象在 x 轴上及其上方部分即可得到函数 y=|f ( x ) | 的图象 . ② 将函数 y=f ( x ) 的图象在 y 轴右侧的部分沿 y 轴翻折到 y 轴左侧 , 替代原 y 轴左侧部分 , 并保留 y=f ( x ) 的图象在 y 轴上及其右侧的部分即可得到函数 y=f ( |x| ) 的图象 . (3) 利用变换作图法作图要注意以下两点 : ① 选择哪个指数函数作为起始函数 ; ② 要注意平移的方向及单位长度 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 2 函数 y = 的 图象有什么特征 ? 你能根据图象指出其值域和单调区间吗 ? 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 3 . 函数图象的识别 例 4 如 图是指数函数 : ① y=a x , ② y=b x , ③ y=c x , ④ y=d x 的图象 , 则 a , b , c , d 与 1 的大小关系是 ( 　　 ) A. a 0, 且 a ≠1) 的图象与直线 x= 1 相交于点 (1, a ), 因此 , 直线 x= 1 与各图象交点的纵坐标即底数 , 由此可得底数的大小 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 3 若函数 y=a x - ( b+ 1)( a> 0, 且 a ≠1) 的图象经过第一、三、四象限 , 则必有 ( 　　 ) A.0 0 B.0 1, b< 0 D. a> 1, b> 0 答案 : D 　 解析 : 由指数函数 y=a x 图象的性质知函数 y=a x 的图象过第一、二象限 , 且恒过点 (0,1), 而函数 y=a x - ( b+ 1) 的图象是由 y=a x 的图象向下平移 ( b+ 1) 个单位长度得到的 , 如图 , 故若函数 y=a x - ( b+ 1) 的图象过第一、三、四象限 , 则 a> 1, 且 b+ 1 > 1, 从而 a> 1, 且 b> 0 . 故选 D . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 利用指数函数单调性比较幂值大小 例 5 比较下列各题中两个值的大小 : 解 : (1)( 单调性法 ) 由于 2 . 5 3 与 2 . 5 5 . 7 的底数是 2 . 5, 故构造函数 y= 2 . 5 x , 而函数 y= 2 . 5 x 在 R 上是增函数 . 又 3 < 5 . 7, ∴ 2 . 5 3 < 2 . 5 5 . 7 . (3)( 中间量法 ) 由指数函数的性质 , 知 2 . 3 - 0 . 28 < 2 . 3 0 = 1,0 . 67 - 3 . 1 > 0 . 67 0 = 1, 则 2 . 3 - 0 . 28 < 0 . 67 - 3 . 1 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 比较幂的大小的常用 方法 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 延伸探究 比较下面两个数的大小 : ( a- 1) 1 . 3 与 ( a- 1) 2 . 4 ( a> 1, 且 a ≠2) . 解 : 因为 a> 1, 且 a ≠2, 所以 a- 1 > 0, 且 a- 1≠1 . 若 a- 1 > 1, 即 a> 2, 则 y= ( a- 1) x 是增函数 , ∴ ( a- 1) 1 . 3 < ( a- 1) 2 . 4 . 若 0 ( a- 1) 2 . 4 . 故当 a> 2 时 ,( a- 1) 1 . 3 < ( a- 1) 2 . 4 ; 当 1 ( a- 1) 2 . 4 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 数形结合思想 —— 指数函数图象的应用 典例 若直线 y= 2 a 与函数 y=|a x - 1 |+ 1( a> 0, 且 a ≠1) 的图象有两个公共点 , 求实数 a 的取值范围 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 在运用指数型函数的图象求解相关问题时 , 要注意已知函数与指数函数的联系 , 把握图象的特点 , 抓住特殊点 , 巧用函数图象的平移和对称变换规律 , 结合函数的性质进行求解 . 特别是在图象变换时 , 要注意渐近线的相应变化 . 如本题中 , 就容易忽视渐近线问题 , 即没有考虑直线 y= 2 的限制 , 而得出 2 a> 1 的错误结论 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 (2020 陕西师大附中高一月考 ) 方程 2 x +x 2 - 2 = 0 的实数根 有 　　　　　 个 .   答案 : 2 　 解析 : 原方程可化为 2 x =-x 2 + 2, 设函数 f ( x ) = 2 x , g ( x ) =-x 2 + 2, 在同一个平面直角坐标系中分别作出两个函数的图象 , 如图所示 . 则由两个函数的图象有两个交点 , 得方程 2 x +x 2 - 2 = 0 有两个不同的实数根 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 1 . 给出下列函数 : ① y=x 3 ; ② y=- 2 x ; ③ y= 2 x ; ④ y= 2 x+ 1 ; ⑤ y= 3·2 x , 其中是指数函数的个数是 ( 　　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 答 案 : A 　 解析 : 指数函数是形如 y=a x ( a> 0, 且 a ≠1) 的函数 , 故只有 y= 2 x 是指数函数 , 所以正确选项为 A . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 2 . 若函数 f ( x ) = ( m- 2)· m x 是指数函数 , 则 f ( - 2) = ( 　　 ) 答案 : B 　 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 A. a>b>c B. a 0 且 a ≠1) 的图象恒过定点 P , 则定点 P 的坐标为 ( 　　 ) A.(1,7) B.(1,8) C.(0,1) D.(0,7) 答案 : B 　 解析 : ∵ a 0 = 1, f (1) = 7 +a 1 - 1 = 8, 故函数恒过点 P (1,8), 所以正确选项为 B . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 5 . 函数 f ( x ) = 2 |x| 的图象是 ( 　　 ) 答案 : A 　 解析 : f ( -x ) = 2 |-x| = 2 |x| =f ( x ), f ( x ) 是偶函数 , 可排除 C,D, 又 x> 0 时 , f ( x ) = 2 x 是增函数 , 排除 B .