高考数学一轮复习练案56第八章解析几何第七讲抛物线含解析 9页

‎ [练案56]第七讲　抛物线 A组基础巩固 一、单选题 ‎1．(2020·河北邯郸质检)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，抛物线上一点M(2，m)满足|MF|＝6，则抛物线C的方程为(　D　)‎ A．y2＝2x　　 B．y2＝4x C．y2＝8x　　 D．y2＝16x ‎[解析]　设抛物线的准线为l，作MM′⊥直线l于点M′，交y轴于M″，由抛物线的定义可得：MM′＝MF＝6，结合xM＝2可知：M′M″＝6－2＝4，即＝4，∴2p＝16，据此可知抛物线的方程为：y2＝16x.选D.‎ ‎2．(2019·山东济宁期末)抛物线y＝4x2的准线方程是(　A　)‎ A．y＝－　　 B．y＝ C．x＝1　　 D．x＝－1‎ ‎[解析]　抛物线标准方程为x2＝y，∴p＝，∴准线方程为y＝－，即y＝－，故选A.‎ ‎3．(2020·吉林长春模拟)已知F是抛物线y2＝4x的焦点，则过F作倾斜角为60°的直线分别交抛物线于A，B(A在x轴上方)两点，则的值为(　C　)‎ A．　 B．2　‎ C．3　 D．4‎ ‎[解析]　由题意知F(1,0)，AB：y＝(x－1)，‎ 由，得3x2－10x＋3＝0，‎ 解得x1＝3，x2＝，‎ ‎∴＝＝3，故选C.‎ ‎4．(2019·湖北荆州模拟)从抛物线y2＝4x在第一象限内的一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|＝9，设抛物线的焦点为F，则直线PF的斜率为(　C　)‎ A．　 B．　‎ C．　 D． ‎[解析]　设P(x0，y0)，由抛物线y2＝4x，可知其焦点F的坐标为(1,0)，故|PM|＝x0‎ - 9 -‎ ‎＋1＝9，解得x0＝8，故P点坐标为(8,4)，所以kPF＝＝.‎ ‎5．(2019·山东泰安模拟)以F(0，)(p>0)为焦点的抛物线C的准线与双曲线x2－y2＝2相交于M，N两点，若△MNF为等边三角形，则抛物线C的标准方程为(　C　)‎ A．y2＝2x　　 B．y2＝4x C．x2＝4y　　 D．x2＝2y ‎[解析]　由题意，y＝－代入双曲线x2－y2＝2，可得x＝±.△MNF为等边三角形，∴p＝×.∵p>0，∴p＝2，∴抛物线C的方程为x2＝4y，故选C.‎ ‎6．(2020·福建龙岩质检)已知点A在圆(x－2)2＋y2＝1上，点B在抛物线y2＝8x上，则|AB|的最小值为(　A　)‎ A．1　 B．2　‎ C．3　 D．4‎ ‎[解析]　由题得圆(x－2)2＋y2＝1的圆心为(2,0)，半径为1.‎ 抛物线y2＝8x的焦点C(2,0)，‎ 则|BC|＝＝＝x＋2，‎ ‎∴|BC|min＝2，∴|AB|min＝2－1＝1，故选A.‎ ‎7．(2020·广东肇庆统测)抛物线方程为x2＝4y，动点P的坐标为(1，t)，若过P点可以作直线与抛物线交于A，B两点，且点P是线段AB的中点，则直线AB的斜率为(　A　)‎ A．　 B．－　‎ C．2　 D．－2‎ ‎[解析]　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题得 ，∴(x1＋x2)(x1－x2)＝4(y1－y2)，‎ 所以k＝＝，故选A.‎ ‎8．(2019·山东青岛模拟)已知点A是抛物线C：x2＝2py(p>0)的对称轴与准线的交点，过点A作抛物线C的两条切线，切点分别为P，Q，若△APQ的面积为4，则p的值为(　D　)‎ A．　 B．1　‎ C．　 D．2‎ ‎[解析]　设过点A与抛物线相切的直线方程为 y＝kx－.‎ - 9 -‎ 由得x2－2pkx＋p2＝0.‎ Δ＝4k2p2－4p2＝0，可得k＝±1.‎ 则Q(p，)，P(－p，)，‎ 所以△APQ的面积S＝×2p×p＝4，解得p＝2.‎ ‎9．(2018·课标Ⅰ卷)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点(－2,0)且斜率为的直线与C交于M，N两点，则·＝(　D　)‎ A．5　 B．6　‎ C．7　 D．8‎ ‎[解析]　设M(x1，y1)，N(x2，y2)．‎ 由已知可得直线的方程为y＝(x＋2)，‎ 即x＝y－2，由得y2－6y＋8＝0.‎ 由根与系数的关系可得y1＋y2＝6，y1y2＝8，‎ ‎∴x1＋x2＝(y1＋y2)－4＝5，x1x2＝＝4，‎ ‎∵F(1,0)，∴·＝(x1－1)·(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋y1y2＝4－5＋1＋8＝8，故选D.‎ 二、多选题 ‎10．(2020·山东枣庄期末)在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，设l与x轴的交点为K，P为C上异于O的任意一点，P在l上的射影为E，∠EPF的外角平分线交x轴于点Q，过Q作QM⊥PF于M，过Q作QN⊥PE交线段EP的延长线于点N，则(　ABD　)‎ A．|PE|＝|PF|　　 B．|PF|＝|QF|‎ C．|PN|＝|MF|　　 D．|PN|＝|KF|‎ ‎[解析]　由抛物线定义知A正确；∵∠FQP＝∠QPN＝∠QPF，∴|PF|＝|QF|，B正确；由题意QKEN为矩形，∴|PN|＝|NE|－|PE|＝|QK|－|FQ|＝|KF|，∴D正确；显然当PF⊥x轴时，‎ - 9 -‎ F、M重合，显然|PN|≠|MF|，∴C错，故选ABD.‎ ‎11．(2020·山东烟台期末)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F、准线为l，过点F的直线与抛物线交于两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，点P在l上的射影为P1，则(　ABC　)‎ A．若x1＋x2＝6，则|PQ|＝8‎ B．以PQ为直径的圆与准线l相切 C．设M(0,1)，则|PM|＋|PP1|≥ D．过点M(0,1)与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有2条 ‎[解析]　对于选项A，因为p＝2，所以x1＋x2＋2＝|PQ|，则|PQ|＝8，故A正确；对于选项B，设N为PQ中点，设点N在l上的射影为N1，点Q在l上的射影为Q1，则由梯形性质可得NN1＝＝＝，故B正确；对于选项C，因为F(1,0)，所以|PM|＋|PP1|＝|PM|＋|PF|≥|MF|＝，故C正确；对于选项D，显然直线x＝0，y＝1与抛物线只有一个公共点，设过M的直线为y＝kx＋1，联立，可得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0，令Δ＝0，则k＝1，所以直线y＝x＋1与抛物线也只有一个公共点，此时有三条直线符合题意，故D错误；故选ABC.‎ 三、填空题 ‎12．(2019·邢台模拟)已知M是抛物线x2＝4y上一点，F为其焦点，点A在圆C：(x＋1)2＋(y－5)2＝1上，则|MA|＋|MF|的最小值是__5__.‎ ‎[解析]　抛物线x2＝4y的焦点为F(0,1)，准线为y＝－1，由抛物线的定义得|MF|等于M到准线的距离d，所|MA|＋|MF|的最小值等于圆心C到准线的距离减去圆的半径，即5＋1－1＝5.‎ ‎13．(2019·黑龙江模拟)设抛物线y2＝16x的焦点为F，经过点P(1,0)的直线l与抛物线交于A，B两点，且2＝，则|AF|＋2|BF|＝__15__.‎ ‎[解析]　设A(x1，y1)，B(x2，y2)．∵P(1,0)，‎ ‎∴＝(1－x2，－y2)，＝(x1－1，y1)．‎ ‎∵2＝，∴2(1－x2，－y2)＝(x1－1，y1)，‎ ‎∴x1＋2x2＝3，－2y2＝y1.‎ 将A(x1，y1)，B(x2，y2)代入抛物线方程y2＝16x，‎ 得y＝16x1，y＝16x2.‎ 又∵－2y2＝y1，∴4x2＝x1.‎ - 9 -‎ 又∵x1＋2x2＝3，解得x2＝，x1＝2.‎ ‎∴|AF|＋2|BF|＝x1＋4＋2(x2＋4)＝2＋4＋2×(＋4)＝15.‎ 四、解答题 ‎14.(2020·湖北宜昌部分示范高中协作体联考)如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1，2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．‎ ‎(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；‎ ‎(2)若直线PA和PB的倾斜角互补，求y1＋y2的值及直线AB的斜率．‎ ‎[解析]　(1)设抛物线解析式为y2＝2px，‎ 把(1,2)的坐标代入得p＝2，‎ ‎∴抛物线解析式为y2＝4x，准线方程为x＝－1.‎ ‎(2)∵直线PA和PB的倾斜角互补，‎ ‎∴kPA＋kPB＝0，‎ ‎∴＋＝＋＝0，‎ ‎∴＋＝0，∴y1＋y2＝－4，‎ kAB＝＝＝＝－1.‎ ‎15．(2020·广东梅州质检)已知F为抛物线T：x2＝4y的焦点，直线l：y＝kx＋2与T相交于A，B两点．‎ ‎(1)若k＝1，求|FA|＋|FB|的值；‎ ‎(2)点C(－3，－2)，若∠CFA＝∠CFB，求直线l的方程．‎ ‎[解析]　由已知可得F(0,1)，‎ 设A(x1，)，B(x2，)，‎ 由，得，x2－4kx－8＝0，‎ ‎∴x1＋x2＝4k，①‎ x1x2＝－8.②‎ - 9 -‎ ‎|FA|＋|FB|＝＋1＋＋1＝＋2.‎ ‎(1)当k＝1时，由①②得|FA|＋|FB|＝10.‎ ‎(2)由题意可知，＝(x1，－1)，‎ ＝(x2，－1)，＝(－3，－3)．‎ ‎∠CFA＝∠CFB⇔cos，＝cos，，‎ 又|FA|＝＋1，|FB|＝＋1，‎ 则＝，‎ 即＝，‎ 整理得4＋2(x1＋x2)－x1x2＝0，‎ 解得k＝－，‎ 所以，直线l的方程为3x＋2y－4＝0.‎ B组能力提升 ‎1．(2019·河北邯郸一模)位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥(如图所示)有“仙境之桥”之称，它的桥形可近似地看成抛物线，该桥的高度为‎5 m，跨径为‎12 m，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为(　D　)‎ A． m　 B． m　‎ C． m　 D． m ‎[解析]　建立如图所示的平面直角坐标系．‎ - 9 -‎ 设抛物线的解析式为x2＝－2py，p>0，‎ ‎∵抛物线过点(6，－5)，∴36＝10p，可得p＝，‎ 则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为 m，故选D.‎ ‎2．(2019·安徽模拟)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|＝3，则△AOB的面积为(　C　)‎ A．　 B．　‎ C．　 D．2 ‎[解析]　焦点F(1,0)，设A，B分别在第一、四象限，则点A到准线l：x＝－1的距离为3，得A的横坐标为2，纵坐标为2，AB的方程为y＝2(x－1)，与抛物线方程联立可得2x2－5x＋2＝0，所以B的横坐标为，纵坐标为－，S△AOB＝×1×(2＋)＝.‎ ‎3．(2020·云南师大附中月考)如图所示，点F是抛物线y2＝8x的焦点，点A，B分别在抛物线y2＝8x及圆(x－2)2＋y2＝16的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，则△FAB的周长的取值范围是(　C　)‎ A．(2,6)　 B．(6,8)　‎ C．(8,12)　 D．(10,14)‎ ‎[解析]　抛物线的准线l：x＝－2，焦点F(2,0)，由抛物线定义可得|AF|＝xA＋2，圆(x－2)2＋y2＝16的圆心为(2,0)，半径为4，∴三角形FAB的周长为|AF|＋|AB|＋|BF|＝(xA＋2)＋(xB－xA)＋4＝6＋xB，由抛物线y2＝8x及圆(x－2)2＋y2＝16可得交点的横坐标为2，则xB∈(2,6)，所以6＋xB∈(8,12)，故选C.‎ ‎4．(2020·益阳、湘潭调研)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点 - 9 -‎ A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且|AF|＝4，则线段AB的长为(　C　)‎ A．5　 B．6　‎ C．　 D． ‎[解析]　如图，设l与x轴交于点M，过点A作AD⊥l交l于点D，由抛物线的定义知，|AD|＝|AF|＝4，由F是AC的中点，知|AD|＝2|MF|＝2p，所以2p＝4，解得p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|＝x1＋＝x1＋1＝4，所以x1＝3，又x1x2＝＝1，所以x2＝，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝3＋＋2＝.故选C.‎ 另解：因为＋＝，|AF|＝4，所以|BF|＝，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝4＋＝.故选C.‎ ‎5．(2020·山东泰安期末)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F(4,0)，过F作直线l交抛物线于M，N两点，则p＝__8__，－的最小值为__6__.‎ ‎[解析]　∵抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F(4,0)，‎ ‎∴p＝8，‎ ‎∴抛物线的方程为y2＝16x，‎ 设直线l的方程为x＝my＋4，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，‎ - 9 -‎ 由得y2－16my－64＝0，‎ ‎∴y1＋y2＝‎16m，y1y2＝－64，‎ 由抛物线的定义得 ＋＝＋＝＝＝＝＝＝，∴－＝－4(－)＝＋－1≥2－1＝，当且仅当＝，即|NF|＝6时，等号成立．‎ ‎6．(2019·河北省衡水中学模拟)已知抛物线E：x2＝2py(p>0)的焦点为F，A(2，y0)是E上一点，且|AF|＝2.‎ ‎(1)求E的方程；‎ ‎(2)设点B是E上异于点A的一点，直线AB与直线y＝x－3交于点P，过点P作x轴的垂线交E于点M，证明：直线BM过定点．‎ ‎[解析]　(1)根据题意知，4＝2py0，①‎ 因为|AF|＝2，所以y0＋＝2.②‎ 联立①②解的y0＝1，p＝2.‎ 所以E的方程为x2＝4y.‎ ‎(2)证明：设B(x1，y1)，M(x2，y2)．由题意，‎ 可设直线BM的方程为y＝kx＋b，‎ 代入x2＝4y，得x2－4kx－4b＝0.‎ 根与系数的关系．得x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b.③‎ 由MP⊥x轴及点P在直线y＝x－3上，得P(x2，x2－3)，‎ 则由A，P，B三点共线，得＝，‎ 整理，得(k－1)x1x2－(2k－4)x1＋(b＋1)x2－2b－6＝0，‎ 将③代入上式并整理，得(2－x1)(2k＋b－3)＝0.‎ 由点B的任意性，得2k＋b－3＝0，‎ 所以y＝kx＋3－2k＝k(x－2)＋3.‎ 即直线BM恒过定点(2,3)．‎ - 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