2020届高考文科数学二轮专题复习课件：专题5 解析几何2-5-高考小题 3 40页

第 3 课时　 直线与圆锥曲线的位置关系 考向一　直线与圆锥曲线的位置关系 ( 保分题型考点 ) 【题组通关 】 1. 若过点 (0,1) 作直线 , 使它与抛物线 y 2 =4x 仅有一个 公共点 , 则这样的直线有 ( 　　 ) A.1 条　 　　 B.2 条　　 　 C.3 条　　 　 D.4 条 2.(2019 · 兰州一模 ) 若直线 mx+ny =4 和圆 O:x 2 +y 2 =4 没 有交点 , 则过点 (m,n ) 的直线与椭圆 =1 的交点 个数为 ( 　　 ) A. 至多一个 B.2 C.1 D.0 3. 若双曲线 =1(a>0,b>0) 与直线 y= x 无交点 , 则离心率 e 的取值范围是 世纪金榜导学号 ( 　　 ) A.(1,2) B.(1,2] C.(1, ) D.(1, ] 【题型建模 】 1. 画出图象 , 利用数形结合思想求解 2. 根据直线与圆的位置求出 m,n 的关系式 → 根据点与椭圆的位置判断 3. 数形结合 → 构建不等式进行求解 【解析 】 1. 选 C. 结合图象分析可知 , 满足题意的直线共有 3 条 : 直线 x=0, 过点 (0,1) 且平行于 x 轴的直线 y=1, 以及过点 (0,1) 且与抛物线相切的直线 ( 非直线 x=0). 2. 选 B. 因为直线 mx+ny =4 和圆 O∶x 2 +y 2 =4 没有交点 , 所以 >2, 所以 m 2 +n 2 <4. 所以 所以点 (m,n ) 在椭圆 =1 的内部 , 所以过点 (m,n ) 的直线与椭圆 =1 的交点有 2 个 . 3. 选 B. 因为双曲线的渐近线为 y=± x, 要使直线 y= x 与双曲线无交点 , 则直线 y= x 应在两渐近线 之间 , 所以有 ≤ , 即 b≤ a, 所以 b 2 ≤3a 2 , c 2 -a 2 ≤3a 2 , 即 c 2 ≤4a 2 ,e 2 ≤4, 所以 10) 与 l:x+y =1 相交于两 个不同的点 A,B, 与 y 轴交于点 P, 若 , 则 a=__________. 世纪金榜导学号   【题型建模 】 1. 设出直线方程 → 代入抛物线方程 → 构建关于 x 的方程 → 对直线斜率分类讨论求解 2. 构建含有参数 a 的一元二次方程 → 利用根与系数的关系及向量的坐标运算求解 【解析 】 1. 选 C. 由题意得 Q(-2,0). 设 l 的方程为 y=k(x+2), 代入 y 2 =8x 得 k 2 x 2 +4(k 2 -2)x +4k 2 =0, 所以当 k=0 时 , 直线 l 与抛物线恒有一个交点 ; 当 k≠0 时 ,Δ=16(k 2 -2) 2 -16k 4 ≥0, 即 k 2 ≤1, 所以 -1≤k≤1, 且 k≠0, 综上 -1≤k≤1. 2. 因为双曲线 C 与直线 l 相交于两个不同的点 , 故知 方程组 有两组不同的实数解 , 消去 y 并整理 , 得 (1-a 2 )x 2 +2a 2 x-2a 2 =0, 实数 a 应满足 解得 00) 与直线 x+2y-2=0 有两个不同的交点 , 则 m 的取值范围是 ________.  【解析 】 (1) 选 D. 由 得 (1-k 2 )x 2 -4kx-10=0, 因为直线与双曲线右支有两个不同交点 , 所以 解得 - 3. 答案 : 3 考向三　直线与圆锥曲线相交弦及中点弦问题 ( 压轴 题型考点 ) 【典例 】 （ 1 ） 斜率为 1 的直线 l ① 与椭圆 ＋ y 2 ＝ 1 相交于 A ， B 两点，则 |AB| 的最大值 ② 为（ ） (2) 已知椭圆 E ： ＝ 1(a>b>0) 的右焦点为 F(3 ， 0) ，过点 F 的直线交 E 于 A ， B 两点．若 AB 的 中点 坐标为 (1 ，－ 1) ③ ，则 E 的方程 ④ 为世纪金榜导学号 （ ） 【题眼直击 】 题目 题眼 思维导引 (1) ① 想到直线的斜截式方程 ② 利用弦长公式结合函数求最值 (2) ③ 想到点差法求弦所在直线的斜率 ④ 用待定系数法求椭圆的方程 【解析 】 (1) 选 C. 设 A,B 两点的坐标分别为 (x 1 ,y 1 ),(x 2 ,y 2 ), 直线 l 的方程为 y=x+t , 由 消去 y, 得 5x 2 +8tx+4(t 2 -1)=0. 则 x 1 +x 2 =- t,x 1 x 2 = 所以 |AB|= |x 1 -x 2 | 当 t=0 时 ,|AB| max = (2) 选 D. 直线 AB 的斜率 k= 设 A(x 1 ,y 1 ),B(x 2 ,y 2 ), ①-② 得 即 k=- 所以 ③ 又 a 2 -b 2 =c 2 =9,④ 由 ③④ 得 a 2 =18,b 2 =9. 所以椭圆 E 的方程为 =1. 【拓展提升 】 1. 弦长问题的解决方法 (1) 在涉及弦长的问题中 , 应熟练地利用根与系数的关系 , 设而不求计算弦长 ; 涉及过焦点的弦的问题 , 可以考虑用圆锥曲线的定义求解 . (2) 弦长计算公式 : 直线 AB 与圆锥曲线有两个交点 A(x 1 ,y 1 ),B(x 2 ,y 2 ), 则弦长 |AB|= 其中 k 为弦 AB 所在直线的斜率 . 2. 弦中点问题的解决方法 (1) 用“点差法”求解弦中点问题的解题步骤 (2) 对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解 , 在使用根与系数的关系时 , 要注意使用条件 Δ>0, 在用“点差法”时 , 要检验直线与圆锥曲线是否相交 . 【变式训练 】 (1) 已知 (4,2) 是直线 l 被椭圆 =1 所截得的线段 的中点 , 则 l 的方程是 ________________.  (2) 抛物线 y 2 =4x 被直线 y=2x+k 截得的弦长为 3 , 则 k 值为 ______________.  【解析 】 (1) 设直线 l 与椭圆相交于 A(x 1 ,y 1 ),B(x 2 ,y 2 ). 则 两式相减得 又 x 1 +x 2 =8,y 1 +y 2 =4, 所以 故直线 l 的方程为 y-2=- (x-4), 即 x+2y-8=0. 答案 : x+2y-8=0 (2) 直线方程与抛物线方程联立 , 消去 y 得 : 4x 2 -4(1-k)x+k 2 =0, Δ=16(1-k) 2 -16k 2 =16(1-2k)>0, 所以 k< . 又 x 1 +x 2 =1-k,x 1 x 2 = . 依题意得 :3 |x 1 -x 2 |, 即 9=(x 1 +x 2 ) 2 -4x 1 x 2 =(1-k) 2 -k 2 , 解得 :k=-4. 答案 : -4