高考数学一轮复习第十章平面解析几何10-3圆的方程练习理北师大版 9页

- 1 - 10.3 圆的方程 核心考点·精准研析 考点一　 求圆的方程 1.圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是 (　　) A.(x-1)2+(y-1)2=1 B.(x+1)2+(y+1)2=1 C.(x+1)2+(y+1)2=2 D.(x-1)2+(y-1)2=2 2.已知三点 A(1,0),B(0, ),C(2, ),则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为 (　　) A. B. C. D. 3.若圆 C 的半径为 1,圆心 C 与点(2,0)关于点(1,0)对称,则圆 C 的标准方程为 (　　) A.x2+y2=1 B.(x-3)2+y2=1 C.(x-1)2+y2=1 D.x2+(y-3)2=1 4.圆(x-2)2+y2=4 关于直线 y= x 对称的圆的方程是 (　　) A.(x- )2+(y-1)2=4　 B.(x- )2+(y- )2=4 C.x2+(y-2)2=4 D.(x-1)2+(y- )2=4 5.已知圆 C 经过 P(-2,4),Q(3,-1)两点,且在 x 轴上截得的弦长等于 6,则圆 C 的方程为________. 【解析】1.选 D.由题意可得圆的半径为 r= ,则圆的标准方程为(x-1)2+ (y-1)2=2. 2.选 B.圆心在直线 BC 的垂直平分线,即 x=1 上,设圆心 D(1,b),由|DA|=|DB|得|b|= ,解得 b= ,所以圆心到原点的距离为 d= = . - 2 - 3.选 A.因为圆心 C 与点(2,0)关于点(1,0)对称,所以由中点坐标公式可得 C(0,0),所以所求圆的标准方程 为 x2+y2=1. 4.选 D.设圆(x-2)2+y2=4 的圆心(2,0)关于直线 y= x 对称的点的坐标为(a,b), 则有 解得 a=1,b= ,从而所求圆的方程为(x-1)2+(y- )2=4. 5.设圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),将 P,Q 两点的坐标分别代入得 又令 y=0,得 x2+Dx+F=0.　③ 设 x1,x2 是方程③的两根, 由|x1-x2|=6,得 D2-4F=36,④ 联立①②④,解得 D=-2,E=-4,F=-8,或 D=-6,E=-8,F=0.故所求圆的方程为 x2+y2-2x-4y-8=0 或 x2+y2-6x-8y=0. 答案:x2+y2-2x-4y-8=0 或 x2+y2-6x-8y=0 　求圆的方程的两种方法 (1)几何法,通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.确定圆的方程时,常用到的圆的三个性质:①圆心在过 切点且垂直切线的直线上;②圆心在任一弦的中垂线上;③两圆内切或外切时,切点与两圆圆心三点共线; (2)代数法,即设出圆的方程,用待定系数法求解: ①若已知条件与圆心(a,b)和半径 r 有关,则设圆的标准方程,依据已知条件列出关于 a,b,r 的方程组,从 而求出 a,b,r 的值. ②若已知条件没有明确给出圆心或半径,则选择圆的一般方程,依据已知条件列出关于 D,E,F 的方程组,进 而求出 D,E,F 的值. 【秒杀绝招】 　第 4 题的解答可以画出直线与圆的图形,发现直线的倾斜角为 30°,所以圆心 M(2,0)的对称圆心 M′,和 原点 O 构成等边三角形,所以 xM ′=2cos 60°=1,yM ′ - 3 - =2sin 60°= . 考点二　与圆有关的轨迹问题 【典例】1.(2020·贵阳模拟)已知圆 C:(x-1)2+(y-1)2=9,过点 A(2,3)作圆 C 的任意弦,则这些弦的中点 P 的轨迹方程为________. 2.已知直角三角形 ABC 的斜边为 AB,且 A(-1,0),B(3,0).求: (1)直角顶点 C 的轨迹方程. (2)直角边 BC 的中点 M 的轨迹方程. 【解题导思】 序号 联想解题 1 看到中点想到中点坐标公式 2 看到直角想到垂直关系,从而联想到斜率之积为-1 或者 向量的数量积为 0 【解析】1.方法一:设 P(x,y),圆心 C(1,1). 因为 P 点是过点 A 的弦的中点,所以 ⊥ . 又因为 =(2-x,3-y), =(1-x,1-y). 所以(2-x)·(1-x)+(3-y)·(1-y)=0. 所以 P 点的轨迹方程为 +(y-2)2= . 方法二: 由已知得,PA⊥PC,所以由圆的性质知点 P 在以 AC 为直径的圆上,圆心 C(1,1),而 AC 中点为 ,|AC|= = ,所以半径为 . 所求动点 P 的轨迹方程为 +(y-2)2= . 答案: +(y-2)2= - 4 - 2.(1)方法一:设 C(x,y),因为 A,B,C 三点不共线,所以 y≠0.因为 AC⊥BC,所以 kAC·kBC=-1,又 kAC= ,kBC= ,所以 · =-1,化简得 x2+y2-2x-3=0.因此,直角顶点 C 的轨迹方 程为 x2+y2-2x-3=0(y≠0). 方法二:设 AB 的中点为 D,由中点坐标公式得 D(1,0),由直角三角形的性质知|CD|= |AB|=2.由圆的定义知, 动点 C 的轨迹是以 D(1,0)为圆心,2 为半径的圆(由于 A,B,C 三点不共线,所以应除去与 x 轴的交点). 所以直角顶点 C 的轨迹方程为(x-1)2+y2=4(y≠0). (2)设 M(x,y),C(x0,y0),因为 B(3,0),M 是线段 BC 的中点,由中点坐标公式得 x= ,y= ,所 以 x0=2x-3,y0=2y.由(1)知,点 C 的轨迹方程为(x-1)2+y2=4(y≠0),将 x0=2x-3,y0=2y 代入得 (2x-4)2+(2y)2=4,即(x-2)2+y2=1.因此动点 M 的轨迹方程为(x-2)2+y2=1(y≠0). 　求与圆有关的轨迹问题的方法: (1)直接法,直接根据题目提供的条件列出方程; (2)定义法,根据圆、直线等定义列方程; (3)几何法,利用圆的几何性质列方程; (4)代入法,找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式等. 　设定点 M(-3,4),动点 N 在圆 x2+y2=4 上运动,以 OM,ON 为邻边作平行四边形 MONP,求点 P 的轨迹. 【解析】如图所示, 设 P(x,y),N(x0,y0),则线段 OP 的中点坐标为 ,线段 MN 的中点坐标为 .由 于平行四边形的对角线互相平分, 故 = , = .从而 - 5 - 又 N(x+3,y-4)在圆上,故(x+3)2+(y-4)2=4. 因此所求轨迹为圆:(x+3)2+(y-4)2=4,但应除去两点 和 (点 P 在直线 OM 上 时的情况). 考点三　与圆有关的最值问题 命题 精解 读 1.考什么:(1)圆的几何性质;(2)基本不等式;(3)函数的单调性. 2.怎么考:以选择题或填空题的形式考查 3.新趋势:(1)借助几何性质求解;(2)建立函数关系求解. 学霸 好方 法 方程 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 表示圆的充要条件:A=C≠0,B=0,且 D2+E2-4AF>0. 1.解决与圆上点(x,y)有关的最值问题:转化为与圆心有关的最值问题. 2.过 x2+y2=r2 上一点 P(x0,y0)的切线方程:x0x+y0y=r2. 利用几何法求最值 【典例】1.(2020·南宁模拟)在平面直角坐标系 xOy 中,已知(x1-2)2+ =5, x2-2y2+4=0,则 (x1-x2)2+(y1-y2)2 的最小值为 (　　) A. 　 B. 　 C. 　 D. 【解析】选 B.由已知得点(x1,y1)在圆(x-2)2+y2=5 上,点(x2,y2)在直线 x-2y+4=0 上,故(x1-x2)2+(y1-y2)2 表示圆(x-2)2+y2=5 上的点和直线 x-2y+4=0 上点的距离的平方,而距离的最小值为 - = , 故(x1-x2)2+(y1-y2)2 的最小值为 . 2.(2020·聊城模拟)已知 M(m,n)为圆 C:x2+y2-4x-14y+45=0 上任意一点, (1)求 m+2n 的最大值.(2)求 的最大值和最小值. 【解析】(1)因为 x2+y2-4x-14y+45=0 的圆心 C(2,7),半径 r=2 , 设 m+2n=t,将 m+2n=t 看成直线方程, 因为该直线与圆有公共点, - 6 - 所以圆心到直线的距离 d= ≤2 ,解上式得:16-2 ≤t≤16+2 , 所以,所求的最大值为 16+2 . (2)记点 Q(-2,3).因为 表示直线 MQ 的斜率,设直线 MQ 的方程为 y-3=k(x+2), 即 kx-y+2k+3=0,则 =k. 由直线 MQ 与圆 C 有公共点, 所以 ≤2 .可得 2- ≤k≤2+ ,所以 的最大值为 2+ ,最小 值为 2- . 用代数法求最值 【典例】1.若点 P 为圆 x2+y2=1 上的一个动点,点 A(-1,0),B(1,0)为两个定点,则|PA|+|PB|的最大值为 (　　) A.2　 B.2 　 C.4 　 D.4 【解析】选 B.由已知得,线段 AB 为圆的直径. 所以|PA|2+|PB|2=4, 由基本不等式得 ≤ =2, 当且仅当|PA|=|PB|时取等号,所以|PA|+|PB|≤2 . 2.已知圆 C 过点 P(1,1),且与圆 M:(x+2)2+(y+2)2=r2(r>0)关于直线 x+y+2=0 对称. (1)求圆 C 的方程. (2)设 Q 为圆 C 上的一个动点,求 · 的最小值. - 7 - 【解析】(1)设圆心 C(a,b),由已知得 M(-2,-2),则 解得 则圆 C 的方程为 x2+y2=r2,将点 P 的坐标代入得 r2=2,故圆 C 的方程为 x2+y2=2. (2)设 Q(x,y),则 x2+y2=2, · =(x-1,y-1)·(x+2,y+2) =x2+y2+x+y-4=x+y-2. 令 x= cos θ,y= sin θ, 所以 · =x+y-2= (sin θ+cos θ)-2 =2sin -2, 又 =-1, 所以 · 的最小值为-4. 1.若直线 ax+by+1=0(a>0,b>0)把圆(x+4)2+(y+1)2=16 分成面积相等的两部分,则 + 的最小值为 (　　) A.10 B.8 C.5 D.4 【解析】选 B.因为圆(x+4)2+(y+1)2=16 的圆心坐标为(-4,-1),直线 ax+by+1=0 把圆分成面积相等的两部 分,所以该直线过点(-4,-1),-4a-b+1=0,即 4a+b=1, + = + (4a+b)=4+ + ≥4+2 =8,当且仅当 a= ,b= 时取“=”. - 8 - 2.(2020·厦门模拟)已知两点 A(0,-3),B(4,0),若点 P 是圆 C:x2+y2-2y=0 上的动点,则△ABP 的面积的最 小值为 (　　) A.6　 B. C.8　 D. 【解析】选 B.x2+y2-2y=0 可化为 x2+(y-1)2=1,则圆 C 为以(0,1)为圆心,1 为半径的圆. 如图,过圆心 C 向直线 AB 作垂线交圆于点 P, 连接 BP,AP,这时△ABP 的面积最小,直线 AB 的方程为 + =1,即 3x-4y-12=0,圆心 C 到直线 AB 的距 离 d= , 又|AB|= =5,所以△ABP 的面积的最小值为 ×5× = . 1.已知点 P(t,t),t∈R,点 M 是圆 x2+(y-1)2= 上的动点,点 N 是圆(x-2)2+y2= 上的动点,则|PN|-|PM|的 最大值是 (　　) A. -1　 B.2　 C.3　 D. 【解析】选 B.易知圆 x2+(y-1)2= 的圆心为 A(0,1),圆(x-2)2+y2= 的圆心为 B(2,0),P(t,t)在直线 y=x 上,A(0,1)关于直线 y=x 的对称点为 A′(1,0),则 |PN|-|PM|≤ - =|PB|-|PA|+1=|PB|-|PA′|+1≤|A′B|+1=2.(此时|PN|最大,|PM|最小) 2.设点 P(x,y)是圆:x2+(y-3)2=1 上的动点,定点 A(2,0),B(-2,0),则 · 的最大值为________. - 9 - 【解析】由题意,知 =(2-x,-y), =(-2-x,-y),所以 · =x2+y2-4,由于点 P(x,y)是圆上的点,故 其坐标满足方程 x2+(y-3)2=1,故 x2=-(y-3)2+1,所以 · =-(y-3)2+1+y2-4=6y-12.易知 2≤y≤4,所以, 当 y=4 时, · 的值最大,最大值为 6×4-12=12. 答案:12 3.设点 P 是函数 y=- 图像上的任意一点,点 Q 坐标为(2a,a-3)(a∈R),则|PQ|的最 小值为________. 【解析】函数 y=- 的图像表示圆(x-1)2+y2=4 在 x 轴及下方的部分,令点 Q 的坐标为 (x,y),则 得 y= -3,即 x-2y-6=0,作出图像如图所示, 由于圆心(1,0)到直线 x-2y-6=0 的距离 d= = >2,所以直线 x-2y-6=0 与圆(x-1)2+y2=4 相离,因此|PQ|的最小值是 -2. 答案: -2