2021届新高考版高考数学一轮复习课件：§8-5　空间向量及其在立体几何中的应用（讲解部分） 31页

§8.5 空间向量及其在立体几何中的应用 高考数学 考点一　用向量法证明平行、垂直 1.空间向量的有关定理 (1)共线向量定理:共线向量定理可以分解为两个命题( a , b ( b ≠ 0) 为空间内 任意两个向量):(i) a ∥ b ⇒ 存在唯一实数 λ ,使得 a = λb ;(ii)若存在实数 λ ,使得 a = λb ,则 a ∥ b ,其中命题(ii)是空间向量共线的判定定理. (2)四点共面的充要条件:a.空间一点 P 位于平面 ABC 的充要条件是存在有 序实数对( x , y ),使   = x   + y   成立;b.对空间任意一点 O ,有   = x   + y   + z   ,若①      x + y + z =1     ,则 P , A , B , C 四点共面,反之亦成立. (3)空间向量基本定理:a.空间 任意三个不共面的向量 都可以构成空间的一 组基底;b.基底选定后,空间的所有向量均可由基底 唯一表示 . 考点清单 2.与空间向量运算有关的结论 设 a =( a 1 , a 2 , a 3 ), b =( b 1 , b 2 , b 3 ). (1) a ∥ b ⇔ a = λb ( b ≠ 0) ⇔ ②      a 1 = λb 1 , a 2 = λb 2 , a 3 = λb 3      ( λ ∈R); (2) a ⊥ b ⇔ a · b =0 ⇔ ③      a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 =0     ; (3)| a |=   =   ; (4)cos< a , b >=   =④             . 3.与空间向量有关的问题 (1)空间直角坐标系 (i)一般建立右手直角坐标系;(ii)建立的空间直角坐标系必须满足三坐标轴两两垂直,让尽可能多的点落到坐标轴上或第一象限(第一象限内点的坐标都为正). (2)直线的方向向量和平面的法向量 (i)直线的方向向量是指和这条直线 平行 (或在这条直线上)的有向线段所 表示的向量,一条直线的方向向量可以有无数个. (ii)平面的法向量: a.一个平面的法向量是 与平面垂直的直线的方向向量 ,因此一个平面的法 向量有无数个,其中任意两个都是共线向量,但零向量不能作为平面的法向 量. b.平面法向量的求法:首先要建立空间直角坐标系,然后用待定系数法求解. 具体的步骤为:设平面的法向量为 n =( x , y , z ),找出(求出)平面内的两个不共 线的向量 a , b ,根据法向量的定义得   由此可建立关于x、y、z的方程 组,解方程组,并取其中的一组解,该组解可作为法向量的坐标. 4.利用空间向量解决平行、垂直问题 设不同直线 l , m 的方向向量分别为 a , b ,不同平面 α , β 的法向量分别为 u , v ,则 (1) l ∥ m ⇔ a ∥ b ⇔ a = kb , k ∈R且 k ≠ 0; (2) l ∥ α ⇔ a ⊥ u ⇔ a · u =0; (3) α ∥ β ⇔ u ∥ v ⇔ u = λv , λ ∈R且 λ ≠ 0; (4) l ⊥ m ⇔ a ⊥ b ⇔ a · b =0; (5) l ⊥ α ⇔ a ∥ u ⇔ a = ku , k ∈R且 k ≠ 0; (6) α ⊥ β ⇔ u ⊥ v ⇔ u · v =0. 考点二　用向量法求空间角与距离 1.空间角的计算 (1)异面直线所成角公式:设 a 、 b 分别为异面直线 l 1 、 l 2 的方向向量, θ 为 l 1 、 l 2 所成的角,则cos θ =|cos< a , b >|=   . (2)线面所成角公式:设 l 为平面 α 的斜线, a 为 l 的方向向量, n 为平面 α 的法向 量, θ 为 l 与 α 所成的角,则sin θ =⑤ 　|cos< a , n >|=        . (3)二面角公式:设 n 1 、 n 2 分别为平面 α 、 β 的法向量,二面角为 θ ,则 θ =< n 1 , n 2 > 或 θ =π-< n 1 , n 2 >(需要根据具体情况判断相等或互补),其中cos< n 1 , n 2 >=   . 2.点到平面的距离公式 P 为平面 α 外一点, a 、 n 分别为平面 α 过 P 点的斜向量、法向量, d 为 P 到 α 的距 离,则 d =| a |·|cos< a , n >|=   . 注意　线面、面面距离均可转化为点到平面的距离,用点到平面的距离公 式求解. 3.两点间的距离:已知点 A ( x 1 , y 1 , z 1 ), B ( x 2 , y 2 , z 2 ),则 A , B 两点间的距离为|   |= ⑥             . 拓展延伸 　1.最小角定理:平面的斜线和它在平面内的射影所成的角是这 条斜线和这个平面内任一条直线所成的角中最小的角. 2.三余弦公式:cos θ =cos θ 1 ·cos θ 2 (如图所示,其中 θ 1 是斜线 OA 与平面 α 所成 的角, θ 2 是斜线 OA 的射影 AB 与平面内的直线 AC 的夹角, θ 是斜线 OA 与平面 内的直线 AC 的夹角). 考法一　 求异面直线所成角的方法 知能拓展 例1　 在长方体 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1 中, AB = BC =1, AA 1 =   ,则异面直线 AD 1 与 DB 1 所成角的余弦值为   (　　) A.   　    B.   　    C.   　    D.   解析　 解法一:以 A 1 为原点建立空间直角坐标系(如图),则 A (0,0,   ), D 1 (0,1, 0), D (0,1,   ), B 1 (1,0,0),所以   =(0,1,-   ),   =(1,-1,-   ),所以cos<   ,   >=   =   =   .则异面直线 AD 1 与 DB 1 所成 角的余弦值为|cos<   ,   >|=   ,故选C. 解法二:如图,连接 A 1 D ,交 AD 1 于点 O , ∵四边形 ADD 1 A 1 为矩形,∴ A 1 O = OD ,再取 A 1 B 1 的中点 E , 连接 OE , D 1 E ,则 OE ∥ DB 1 ,且 OE =   DB 1 , ∴ AD 1 与 DB 1 所成角即为∠ D 1 OE 或其补角.∵ AB = BC =1, AA 1 =   , ∴ AD 1 =2, D 1 E =   =   , DB 1 =   =   , ∴ OD 1 =   AD 1 =1, OE =   . 在△ D 1 OE 中,由余弦定理的推论得cos∠ D 1 OE =   =   =   .∴异面直线 AD 1 与 DB 1 所成角的余弦值为   ,故选C. 答案     C 例2 　如图,在四面体 ABCD 中, O 为 BD 中点, CA = CB = CD = BD =2, AB = AD =   . (1)求证: AO ⊥平面 BCD ; (2)求异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值.   解析　 (1)证明:连接 OC ,由 CB = CD , AB = AD , O 为 BD 的中点,得 AO ⊥ BD , CO ⊥ BD ,∴ CO =   =   , AO =   =1. 在△ AOC 中, AC 2 = AO 2 + OC 2 ,故 AO ⊥ OC . 又 BD ∩ OC = O ,因此 AO ⊥平面 BCD . (2)如图,建立空间直角坐标系 O - xyz , 则 A (0,0,1), B (1,0,0), C (0,   ,0), D (-1,0,0), ∴   =(1,0,-1),   =(-1,-   ,0), ∴|cos<   ,   >|=   =   ,∴异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值为   . 方法总结 　向量法求异面直线所成角 建立空间直角坐标系后,确定两直线的方向向量 a , b ,则两直线所成角 θ 满足 cos θ =   . 考法二 　求直线与平面所成角的方法 例3     (2018浙江,19,15分)如图,已知多面体 ABCA 1 B 1 C 1 , A 1 A , B 1 B , C 1 C 均垂直 于平面 ABC ,∠ ABC =120 ° , A 1 A =4, C 1 C =1, AB = BC = B 1 B =2. (1)证明: AB 1 ⊥平面 A 1 B 1 C 1 ; (2)求直线 AC 1 与平面 ABB 1 所成的角的正弦值.   解题导引 　解法一:建立空间直角坐标系,求出各点的坐标. (1)利用   ·   =0及   ·   =0得出 AB 1 ⊥平面 A 1 B 1 C 1 . (2)求出平面 ABB 1 的法向量 n 以及直线 AC 1 的方向向量,利用sin θ =   求 得. 解法二:(1)在△ AA 1 B 1 中,由勾股定理的逆定理得 AB 1 ⊥ A 1 B 1 ,在△ AB 1 C 1 中,由 勾股定理的逆定理得 AB 1 ⊥ B 1 C 1 ,从而得 AB 1 ⊥平面 A 1 B 1 C 1 . (2)过 C 1 作 C 1 D ⊥ A 1 B 1 ,交直线 A 1 B 1 于点 D ,利用面面垂直的性质得 C 1 D ⊥面 ABB 1 ,从而得出 AC 1 与平面 ABB 1 所成的角为∠ C 1 AD ,解三角形得出其正弦 值. 解析 　解法一: (1)证明:如图,以 AC 的中点 O 为原点,分别以射线 OB , OC 为 x , y 轴的非负半轴, 建立空间直角坐标系 O - xyz .   由题意知各点坐标如下: A (0,-   ,0), B (1,0,0), A 1 (0,-   ,4), B 1 (1,0,2), C 1 (0,   ,1). 因此   =(1,   ,2),   =(1,   ,-2),   =(0,2   ,-3). 由   ·   =0得 AB 1 ⊥ A 1 B 1 . 由   ·   =0得 AB 1 ⊥ A 1 C 1 . 所以 AB 1 ⊥平面 A 1 B 1 C 1 . (2)设直线 AC 1 与平面 ABB 1 所成的角为 θ . 由(1)可知   =(0,2   ,1),   =(1,   ,0),   =(0,0,2). 设平面 ABB 1 的法向量 n =( x , y , z ). 由   得   可取 n =(-   ,1,0). 所以sin θ =|cos<   , n >|=   =   . 因此,直线 AC 1 与平面 ABB 1 所成的角的正弦值是   . 解法二: (1)证明:由 AB =2, AA 1 =4, BB 1 =2, AA 1 ⊥ AB , BB 1 ⊥ AB 得 AB 1 = A 1 B 1 =2   ,所以 A 1   + A   = A   ,故 AB 1 ⊥ A 1 B 1 .由 BC =2, BB 1 =2, CC 1 =1, BB 1 ⊥ BC , CC 1 ⊥ BC 得 B 1 C 1 =   ,由 AB = BC =2,∠ ABC =120 ° 得 AC =2   ,由 CC 1 ⊥ AC ,得 AC 1 =   ,所以 A   + B 1   = A   ,故 AB 1 ⊥ B 1 C 1 .又 A 1 B 1 ∩ B 1 C 1 = B 1 ,因此 AB 1 ⊥平面 A 1 B 1 C 1 . (2)如图,过点 C 1 作 C 1 D ⊥ A 1 B 1 ,交直线 A 1 B 1 于点 D ,连接 AD . 由 AB 1 ⊥平面 A 1 B 1 C 1 得平面 A 1 B 1 C 1 ⊥平面 ABB 1 , 由 C 1 D ⊥ A 1 B 1 得 C 1 D ⊥平面 ABB 1 , 所以∠ C 1 AD 是 AC 1 与平面 ABB 1 所成的角. 由 B 1 C 1 =   , A 1 B 1 =2   , A 1 C 1 =   得cos∠ C 1 A 1 B 1 =   , 则sin∠ C 1 A 1 B 1 =   ,所以 C 1 D =   ,故sin∠ C 1 AD =   =   . 因此,直线 AC 1 与平面 ABB 1 所成的角的正弦值是   . 方法总结　 1.定义法 (1)作:在斜线上选取恰当的点,过该点向平面引垂线,作出所求角,其中确定 垂足的位置是关键;(2)证:证明所作的角为直线与平面所成的角;(3)求:构造 角所在的三角形,利用解三角形的知识求角. 2.公式法 sin θ =   (其中 h 为斜线上除斜足外的任一点到所给平面的距离, l 为该点到 斜足的距离, θ 为斜线与平面所成的角). 3.向量法 sin θ =|cos<   , n >|=   (其中AB为平面α的斜线, n 为平面 α 的法向量, θ 为 斜线 AB 与平面 α 所成的角). 考法三 　求二面角的方法 例4     (2017课标Ⅰ,18,12分)如图,在四棱锥 P - ABCD 中, AB ∥ CD ,且∠ BAP = ∠ CDP =90 ° . (1)证明:平面 PAB ⊥平面 PAD ; (2)若 PA = PD = AB = DC ,∠ APD =90 ° ,求二面角 A - PB - C 的余弦值.   解题导引 　(1)由已知得 AB ⊥ PA , AB ⊥ PD ,从而得出 AB ⊥平面 PAD ,最后获 证平面 PAB ⊥平面 PAD . (2)解法一:建立空间直角坐标系,写出各点坐标,分别求出平面 PBC 与平面 PAB 的法向量 n 与 m ,从而利用向量法求结果. 解法二:取 PB 的中点 F ,由△ PAB 为等腰三角形得 AF ⊥ PB ,由△ PBC 为等边 三角形得 CF ⊥ PB ,从而得∠ AFC 为二面角 A - PB - C 的平面角,在△ AFC 中由 余弦定理的推论得∠ AFC 的余弦值. 解析 　(1)证明:由已知∠ BAP =∠ CDP =90 ° ,得 AB ⊥ AP , CD ⊥ PD . 由于 AB ∥ CD ,故 AB ⊥ PD , 又 AP ∩ PD = P , AP 、 PD ⊂ 平面 PAD ,所以 AB ⊥平面 PAD . 又 AB ⊂ 平面 PAB ,所以平面 PAB ⊥平面 PAD . (2)解法一(向量法):在平面 PAD 内作 PF ⊥ AD ,垂足为 F . 由(1)可知, AB ⊥平面 PAD ,故 AB ⊥ PF , 又 AD ∩ AB = A ,可得 PF ⊥平面 ABCD . 以 F 为坐标原点,   的方向为 x 轴正方向,|   |为单位长,建立如图所示的空 间直角坐标系 F - xyz . 由(1)及已知可得 A   , P   , B   , C   . 所以   =   ,   =(   ,0,0),   =   ,   =(0,1,0). 设 n =( x 1 , y 1 , z 1 )是平面 PCB 的法向量,则   即   可取 n =(0,-1,-   ). 设 m =( x 2 , y 2 , z 2 )是平面 PAB 的法向量,则   即   可取 m =(1,0,1). 则cos< n , m >=   =-   .易知二面角 A - PB - C 为钝二面角, 所以二面角 A - PB - C 的余弦值为-   .解法二(定义法):根据题意可设 AB =1, 因为 AB ∥ CD ,∠ APD =∠ BAP =∠ CDP =90 ° , PA = PD = AB = DC ,所以四边形 ABCD 是平行四边形,且 AD = PC = PB = CB =   ,取 PB 的中点 F ,连接 AF , CF , 在等腰三角形 PAB 中,可得 AF ⊥ PB ,在等边三角形 PBC 中,可得 CF ⊥ PB , 所以∠ AFC 为二面角 A - PB - C 的平面角,由(1)知 AB ⊥平面 PAD , 又 AD ⊂ 平面 PAD ,所以 AB ⊥ AD . 所以平行四边形 ABCD 是矩形,连接 AC ,则 AC =   . 在△ AFC 中, AC =   , AF =   , FC =   , 由余弦定理的推论可得cos∠ AFC =   =-   , 所以二面角 A - PB - C 的余弦值为-   . 方法总结 　1.向量法:利用公式cos< n 1 , n 2 >=   ( n 1 , n 2 分别为两平面的法向 量)进行求解,注意< n 1 , n 2 >与二面角大小的关系,是相等还是互补,需结合图 形进行判断. 2.定义法:在二面角的棱上找一特殊点,过该点在两个半平面内分别作垂直 于棱的射线,如图(1),∠ AOB 为二面角 α - l - β 的平面角. 3.垂面法:过棱上一点作棱的垂直平面,该平面与二面角的两个半平面的交 线所形成的角即为二面角的平面角,如图(2),∠ AOB 为二面角 α - l - β 的平面角. 4.垂线法(三垂线定理法):过二面角的一个半平面内一点作另一个半平面所在平面的垂线,从垂足出发向棱引垂线,利用三垂线定理(线面垂直的性质)即可找到所求二面角的平面角或其补角.如图(3),∠ ABO 为二面角 α - l - β 的平面角. 　　立体几何中常见的探索型问题有以下两种类型: (1)条件追溯型:解决此类问题的基本策略为执果索因,其结论明确,需要求出使结论成立的充分条件,将题设和结论都视为已知条件即可迅速找到切点.但在执果索因的过程中,常常会犯的错误是将必要条件当成充要条件,应引起注意. (2)存在判断型:解决与平行、垂直有关的存在性问题的基本策略为:先假设题中的数学对象存在(或结论成立),然后在这个前提下进行逻辑推理,若能导出与条件吻合的数据或事实,说明假设成立,即存在;若导出与条件相矛盾的结果,则说明假设不成立,即不存在.求解此类问题的难点在于涉及的点具有运动性和不确定性,所以用传统方法解决起来难度比较大,若用空间向量通过待定系数法求解存在性问题,则思路简单,解法固定,操作方便. 实践探究 例 　如图,四棱锥 P - ABCD 中, PA ⊥底面 ABCD ,底面 ABCD 是直角梯形, ∠ ADC =90 ° , AD ∥ BC , AB ⊥ AC , AB = AC =   ,点 E 在 AD 上,且 AE =2 ED . (1)已知点 F 在 BC 上,且 CF =2 FB ,求证:平面 PEF ⊥平面 PAC ; (2)当二面角 A - PB - E 的余弦值为多少时,直线 PC 与平面 PAB 所成的角为45 ° ?   解题导引　 (1)欲证平面 PEF ⊥平面 PAC ,结合题意只需证 EF ⊥平面 PAC (也许有考虑证明 AC ⊥平面 PEF 的,但此路不通),把证“面面垂直”转化为 证明“线面垂直”是通法, PA ⊥ EF 易证,再证 EF ⊥ AC 是关键,同一平面内 证线线垂直问题,用平面几何知识证明即可. (2)这是已知结论找充分条件的问题,由线面角定义,易得∠ APC =45 ° ,反推 出 AP 的长,再通过建系求得二面角 A - PB - E 的余弦值. 解析 　(1)证明:∵ AB ⊥ AC , AB = AC ,∴∠ ACB =45 ° , ∵底面 ABCD 是直角梯形,∠ ADC =90 ° , AD ∥ BC , ∴∠ ACD =45 ° ,则 AD = CD ,   (1分) 又 AB ⊥ AC ,∴ BC =   AC =2 AD ,   (2分) ∵ AE =2 ED , CF =2 FB ,∴ AE = BF =   AD , ∴四边形 ABFE 是平行四边形, ∴ AB ∥ EF ,   (3分) ∴ AC ⊥ EF , ∵ PA ⊥底面 ABCD ,∴ PA ⊥ EF ,   (4分) ∵ PA ∩ AC = A ,∴ EF ⊥平面 PAC , ∵ EF ⊂ 平面 PEF ,∴平面 PEF ⊥平面 PAC .   (5分) (2)∵ PA ⊥ AC , AC ⊥ AB , PA ∩ AB = A ,∴ AC ⊥平面 PAB ,则∠ APC 为 PC 与平面 PAB 所成的角,若 PC 与平面 PAB 所成的角为45 ° , 则tan∠ APC =   =1,即 PA = AC =   ,   (6分) 取 BC 的中点 G ,连接 AG ,则 AG ⊥ BC ,以 A 为坐标原点,建立如图所示的空间 直角坐标系 A - xyz ,   则 A (0,0,0), B (1,-1,0), C (1,1,0), E   , P (0,0,   ),∴   =   ,   =   ,   (7分) 设平面 PBE 的法向量为 n =( x , y , z ), 则   即   令y=3,则x=5,z=   , ∴ n =(5,3,   ),   (9分) 易知   =(1,1,0)是平面 PAB 的一个法向量,   (10分) cos< n ,   >=   =   , 结合图形可知当二面角 A - PB - E 的余弦值为   时,直线 PC 与平面 PAB 所成 的角为45 ° .   (12分) 例 　已知正方体 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1 的棱长为 a ,定点 M 在棱 AB 上(不与端点 A , B 重合),点 P 是平面 ABCD 内的动点,且点 P 到直线 A 1 D 1 的距离与点 P 到点 M 的 距离的平方差为 a 2 ,则点 P 的轨迹为   (　　) A.圆　    B.椭圆　    C.双曲线　    D.抛物线 创新思维 解题导引　 本题考查立体几何中点的轨迹问题,关键是能够通过建立空间 直角坐标系,求出动点满足的方程,从而求得轨迹. 解析　 作 PF ⊥ AD , PE ⊥ A 1 D 1 ,垂足分别为 F , E .以 A 为原点建立如图所示的空 间直角坐标系: 设 M (0, t ,0), P ( x , y ,0), 由正方体的性质可知, PF ⊥平面 ADD 1 A 1 , ∴ PE 2 = y 2 + a 2 , PM 2 = x 2 +( y - t ) 2 , ∴ PE 2 - PM 2 = y 2 + a 2 - x 2 -( y - t ) 2 = a 2 , 整理得 x 2 =2 ty - t 2 ∴ P 的轨迹是抛物线. 答案     D