备战2014高考数学 高频考点归类分析（真题为例）：极坐标与参数方程 9页

极坐标与参数方程 典型例题：‎ 例1. （2012年上海市理4分）如图，在极坐标系中，过点的直线与极轴的夹角，若将的极坐标方程写成的形式，则 ▲ .‎ ‎【答案】‎ ‎【考点】点斜式直线方程的应用，直角坐标与极坐标互化。‎ ‎【解析】∵该直线过点，与极轴的夹角，‎ ‎ ∴该直线的直角坐标方程为：，即。‎ ‎ 根据直角坐标与极坐标的关系，，代入上式，得 ‎ ，‎ ‎∴。‎ 例2. （2012年北京市理5分）直线 (t为参数)与曲线 (“α为参数)的交点个数为 ▲ ‎ ‎【答案】2。‎ ‎【考点】参数方程，点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系。‎ ‎【解析】将参数方程化为直角坐标方程：‎ ‎ 将直线方程的两式相加，得：‎ ‎ 将曲线方程的两边平方后相加，得 ，它是圆心在（0，0），半径为3的圆。‎ ‎ 由点到直线的距离公式，得圆心（0，0）到直线的距离为 ，它小于圆的半径。‎ ‎ ∴直线与圆相交，有两个交点。‎ ‎【也可用一元二次方程根的判别式求解】‎ 例3. （2012年天津市理5分）己知抛物线的参数方程为（为参数），其中，焦点为，准线为，过抛物线上一点作的垂线，垂足为，若，点的横坐标是3，则 ▲ .‎ ‎【答案】2。‎ ‎【考点】参数方程及其参数的几何意义，抛物线的定义及其几何性质。‎ ‎【分析】∵，可得抛物线的标准方程为，∴焦点。‎ ‎∵点的横坐标是3，则，∴点，。‎ 由抛物线的几何性质得。‎ ‎∵，∴，解得。‎ 例4. （2012年安徽省理5分）在极坐标系中，圆的圆心到直线的距离是 ▲ [来源:Zxxk.Com]‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】极坐标与直角坐标的转换，点到直线的距离公式。‎ ‎【解析】将化为直角坐标方程：，其圆心坐标为。将化为直角坐标方程：。‎ ‎ ∴根据点到直线的距离公式，得圆心到直线的距离是。‎ 例5. （2012年广东省理5分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为和，则曲线C1与C2的交点坐标为　　▲　　。‎ ‎【答案】（1,1）。‎ ‎【考点】参数方程。‎ ‎【解析】曲线C1的普通方程为：；曲线C2的普通方程为：。‎ 解得。‎ ‎∴曲线C1与C2的交点坐标为（1,1）。‎ 例6. （2012年江西省理5分）曲线的直角坐标方程为，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线的极坐标方程为 ▲ 。‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】极坐标方程与直角坐标方程的互化，转化与化归的数学思想的应用。‎ ‎【解析】由极坐标方程与直角坐标方程的互化公式得，‎ ‎ 又∵，∴。‎ 例7. （2012年湖北省理5分）（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知射线与曲线（t为参数）相较于A，B来两点，则线段AB的中点的直角坐标为 ▲ 。‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】极坐标方程，参数方程，曲线的交点。‎ ‎【解析】射线的直角坐标方程为，曲线的直角坐标方程为。‎ 联立方程解得。∴线段AB的中点的直角坐标为。[来源:Z.xx.k.Com]‎ 例8. （2012年湖南省理5分） 在直角坐标系xOy 中，已知曲线： (t为参数)与曲线 ：(为参数，) 有一个公共点在X轴上，则 ▲ .‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】直线的参数方程、椭圆的参数方程。‎ ‎【解析】将曲线与曲线的参数方程分别等价转化为直角坐标方程，找出与轴交点，即可求得：‎ 曲线：直角坐标方程为，与轴交点为；‎ 曲线 ：直角坐标方程为，其与轴交点为。‎ 由，曲线与曲线有一个公共点在X轴上，知。‎ 例9. （2012年陕西省理5分）直线与圆相交的弦长为 ▲ .‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】极坐标方程，圆和直线的关系。‎ ‎【解析】将极坐标方程化为普通方程为与，联立方程组成方程组求出两交点的坐标和，故弦长等于。‎ 例10. （2012年全国课标卷理10分） 已知曲线的参数方程是 ‎，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线的坐标系方程是，正方形的顶点都在上，且依逆时针次序排列，点的极坐标为 ‎（1）求点的直角坐标；‎ ‎（2）设为上任意一点，求的取值范围。‎ ‎【答案】解：（1）∵正方形的顶点都在：上，‎ ‎∴点的极坐标为。‎ ‎∴点的直角坐标为：‎ ‎，‎ 即。‎ ‎ （2）设，则。‎ ‎ ∵ ，‎ ‎ ，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎ ∴ 。‎ ‎ ∵，‎ ‎ ∴的取值范围。‎ ‎【考点】参数方程和极坐标方程，极坐标和直角坐标的转换，三角函数值的范围。‎ ‎【解析】（1）由正方形的性质，首先求得的极坐标，再转换成直角坐标，两点间距离公式。‎ ‎ （2）根据两点间距离公式，求出的表达式即可求出其取值范围。‎ 例11. （2012年福建省理7分）选修4－4：（坐标系与参数方程）在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l上两点M，N的极坐标分别为(2,0)，，圆C的参数方程为(θ为参数)．‎ ‎（Ⅰ）设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）判断直线l与圆C的位置关系．‎ ‎【答案】解：（Ⅰ）由题意知，M，N的平面直角坐标分别为(2,0)，，‎ 又P为线段MN的中点，从而点P的平面直角坐标为，‎ 故直线OP的平面直角坐标方程为y＝x。‎ ‎（Ⅱ）因为直线l上两点M，N的平面直角坐标分别为(2,0)，，‎ 所以直线l的平面直角坐标方程为x＋3y－2＝0。‎ 又圆C的圆心坐标为(2，－)，半径r＝2，‎ 圆心到直线l的距离d＝＝＜r，故直线l与圆C相交。‎ ‎【考点】极坐标和直角坐标的互化，点到直线的距离，直线和圆的位置关系。‎ ‎【解析】（Ⅰ）求出点P的平面直角坐标，即可求出直线OP的平面直角坐标方程。[来源:Z§xx§k.Com]‎ ‎（Ⅱ）求出直线l的平面直角坐标方程和圆心坐标、半径，将圆心到直线l的距离与半径比较即可。‎ 例12. （2012年辽宁省理10分）在直角坐标中，圆，圆。‎ ‎ (Ⅰ)在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆的极坐标方程，并求出圆 的交点坐标(用极坐标表示)；‎ ‎ (Ⅱ)求出的公共弦的参数方程。‎ ‎【答案】解：（I）由，以及可知：‎ 圆的极坐标方程为=2；‎ 圆即的极坐标方程为。‎ 解得。‎ ‎∴圆的交点坐标为。‎ ‎（II）由和圆的交点坐标得圆交点的直角坐标为[来源:学科网ZXXK]‎ ‎。‎ 故圆的公共弦的参数方程为（）。‎ ‎【考点】直线的参数方程和圆的极坐标方程、普通方程与参数方程的互化、极坐标系的组成。‎ ‎【解析】（I）利用 ，以及，直接写出圆，的极坐标方程，求出圆，的交点极坐标，然后求出直角坐标（用坐标表示）。‎ ‎（II）求出两个圆交点的直角坐标，直接写出圆与的公共弦的参数方程。‎ 例13. （2012年江苏省10分）在极坐标中，已知圆经过点，圆心为直线与极轴的交点，求圆的极坐标方程．‎ ‎【答案】解：∵圆圆心为直线与极轴的交点，‎ ‎∴在中令，得。[来源:Zxxk.Com]‎ ‎ ∴圆的圆心坐标为（1，0）。‎ ‎ ∵圆经过点，∴圆的半径为。‎ ‎ ∴圆经过极点。∴圆的极坐标方程为。[来源:学科网ZXXK]‎ ‎【考点】直线和圆的极坐标方程。‎ ‎【解析】根据圆圆心为直线与极轴的交点求出的圆心坐标；根据圆经过点求出圆的半径。从而得到圆的极坐标方程。‎ 例14. （2012年广东省文5分）（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中中，曲线和曲线的 参数方程分别为（为参数，）和（为参数），则曲线和曲线的交点坐标为 ▲ ．‎ ‎【答案】（2，1）。‎ ‎【考点】参数方程，曲线上点的坐标与方程的关系，同角三角函数关系式。‎ ‎【解析】由（为参数，）两式平方后相加，得；‎ ‎ 由两式相减，得。‎ ‎ 二者联立，得，解得或。‎ ‎ ∵，∴舍去。‎ ‎ ∴曲线和曲线的交点坐标为（2，1）。‎ 例15. （2012年湖南省文5分）在极坐标系中，曲线：与曲线：的一个交点在极轴上，则a=　　▲　　.‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】直线的极坐标方程、圆的极坐标方程，直线与圆的位置关系。‎ ‎【解析】曲线的直角坐标方程是，曲线的普通方程是直角坐标方程，‎ ‎∵曲线C1：与曲线C2：的一个交点在极轴上，‎ ‎∴与轴交点横坐标与值相等。‎ 由，知＝。‎