高二数学同步辅导教材(第7讲) 8页

高二数学同步辅导教材（第 7 讲） 一、本讲进度 7.2 直线的方程 课本第 38 页至第 44 页 二、本讲主要内容 直线普通方程的五种形式 三、学习指导 1、从几何条件看，给出直线上一点及直线的方向可以确定直线；给出直线上的两点也可以确定直线。 由此得到了求直线方程两种常用途径，得到了直线方程的基本形式：点斜式及两点式。两点式归根到底 又由点斜式确定。 同学们应熟练掌握直线普通方程五种基本形式的特征。使用范围及注意事项： （1）在选用点斜式 y-y0=k(x-x0)（将 k 作为待定参数）时，应讨论直线斜率 k 不存在的情形，此时 直线方程为 x=x0。 斜截式 y=kx+b 作为点斜式的特例，也有类似问题。 点斜式是直线方程的最基本形式，斜截式是使用频率最高的一种形式。 （2）两点式是最不常用的一种形式。教材是把两点式转化为点斜式写出直线方程的，体现了转化的 思想，同学们在解题时也应这样去转化。 也可以依照点斜式的推导思想去求两点式直线方程：已知直线上两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线 上任取一点 P(x，y)（异于 P1、P2 点），由 P1、P2、P 三点共线，借助于向量一章中介绍的分比公式得到： 21 1 21 1 yy yy xx xx    …………① 或借助于斜率概念，有 211 PPPP kk  （或 12 PPPP kk  等），则： 12 12 1 1 xx yy xx yy    …………② 方程①及②均是两点式直线方程的表示形式。不管是哪一种分式形式，它都没有能表示出平面上直 线 x=x1(x=x2)及直线 y=y1，即直线斜率不存在或斜率为 0 时，不能通过两点式的分式形式表示出来。若 将分式形式改写成整式形式，如，由①变形为(x-x1)(y1-y2)=(y-y1)(x1-x2)，则它可以表示平面上过任意 两个已知点的直线方程。 截距式是两点式特例。当某条直线在坐标轴上截距相等时，应对截距是否为零进行讨论。若截距不 为零，直线方程形式为 x+y=a（a≠0）；若截距为零，则直线方程形式为 y=kx（k≠0），此时直线必过原 点。 （3）直线方程一般式 Ax+By+c=0（A2+B2≠0），则指明了直线方程的特征，揭示了平面上直线（形） 与二元一次方程（数）之间的一一对应关系。正因为存在这样一种对应关系，所以可把“直线的方程为 Ax+By+C=0”简说成“直线 Ax+By+C=0”。 应熟练对直线方程的各种形式进行互相转化。一般说来，解题的最后结果都应写成一般式。 2、求直线方程，一般用待定系数法。首先根据题目条件，选择适当的直线方程形式；其次，通过解 方程确定有关参数。 3、在求直线方程过程中，重视分析图形的平几性质简化计算。实际上，这也是研究解析几何问题的 重要思想方法。 四、典型例题 例 1、等腰△ABC 的顶点 A（-1，2）， AC 边所在直线斜率为 3 ，点 B 坐标为（-3，2），求 AC、BC 及∠A 平分线所在直线方程。 解题思路分析： 首先正确画出示意图，可以发现点 C 有两种可能，应分情况求解。 AC 边所在直线方程：y-2= (x+1)，即 x-y+2+ =0。 当点 C 为点 C1 时 ∵ AB∥x 轴 ∴ ∠BAC2= 3  ，∠BAC1= 3 2 又 |AB|=|AC1| ∴ ∠ABC1=∠AC1B= 6  ∴ 直线 BC 方程：y-2= 3 3 (x+3) 即 x-3y+6+3 =0 ∵ ∠A 平分线与线段 AB 夹角为 3  ∴ ∠A 平分线与 x 轴正方向形成的角为 3 2 ∴ ∠A 平分线方程：y-2=- (x+1) 即 x+y-2+ =0 当点 C 为点 C2 时，△ABC2 为正三角形，BC2 倾斜角为 3 2 ，∠A 平分线倾斜角为 6  ，可求得 BC 边所在 直线方程为 x+y-2+3 =0，∠A 平分线方程为 x-3y+6+ =0。 注：若进一步分析图形的平几性质，因|BA|= 2 1 |C1C2|，故△C1BC2 是以 B 为顶点的直角三角形。由 AB ∥x 轴得∠BAC2= 3  。∴△ABC2 为正三角形，∠ABC1= 6  ，即为直线 BC1 倾斜角。下求有关直线方程亦相当 简单。 在后面讲完两条直线互相垂直的充要条件后，由 BC1⊥BC2，求出 1BCk 后，立即可以求 2BCk ；两种情 况下的角 A 平分线亦互相垂直，求出第一种情形下∠A 平分线斜率，马上可以得到第二种情形下角 A 平 分线斜率。 例 2、过点 P（2，1）作直线分别交 x 轴、y 轴正半轴于 A、B 两点，求 出△AOB 面积最小时直线的方程。 解题思路分析： 从条件分析，因涉及到过定点 P，故可选用点斜式，将斜率 k 作为参数； 又涉及到与坐标轴交点，也可采用截距式，将横、纵截距作为参数。 从结论分析，这是一个最值问题。应将△AOB 面积作为目标函数，将刚才设定的参数作为未知数建 立函数关系，然后求该函数的最小值。 思路一：直线的斜率显然存在，设直线：y-1=k(x-2)，由直线的几何位置可知 k<0（这是一个隐 藏条件，却是解决本题关键。由此说明，形与数的对应、转化是多么重要！） △AOB 面积 S= 2 1 |OA||OB|= ]4k 1)k4[(2 1)k21)(k 12(2 1  ≥ k 1)k4(2[2 1  +4]=4 当且仅当-4k= k 1 ，k= 2 1 （舍正）时，Smin=4，此时直线方程为 x+2y-4=0 思路二：设直线方程为 1b y a x  ，a>0，b>0（实际上，a>2，b>1） ∵ P∈ ∴ 1b 1 a 1  …………① 则△AOB 面积 S= ab2 1 问题转化为在条件①下求二元函数 S 的最小值，这在不等式中已多次讲过，这里只介绍一种消元方 法。 由①得 b= 2a a  S= 2a a 2 1 2a aa2 1 2  令 t=a-2，则 t>0，S= )4t 4t(2 1 t )2t( 2 1 2  ≥ 4]4t 4t2[2 1  当且仅当 t 4t  ， 2t  （舍负）时等号成立，此时 a=4，b=2，A（4，0）， B（0，2） 注 1：在思路二之下，同学们可以发现一个有趣的结论：点 P 在 AB 中点。在与本题相仿的条件下， 记住这个结论也许会提高你解客观题的速度。 思路三：对于本题中的直线，在过点 P 的条件下，实际是无数条直线，称这些直线为放置直线系（束）， k 为变量。k 与倾斜角θ 是对应的，故本题也可考虑将旋转角作为参数。 分析图形特征，当绕点 P 绕转时，点 P 与坐标轴围成矩形面积 OMPN 为常数，引起的是两 Rt△BNP、 Rt△PMA 的面积变化，由此可联想到用分割法求面积，如图。 设∠BAO=θ ，θ ∈（0， 2  ） 则 APMPMONBPNOAB SSSS   矩 2 12  (4tanθ +cotθ ) ≥  cottan422 12 =4 当且仅当 4tanθ =cotθ ，tanθ = 2 1 ，θ =arctan 2 1 时，Smin=4，此时直线方程：x+2y-4=0。 例 3、对于直线上任意点（x，y），点（4x+2y，x+3y）仍在直线上，求直线方程。 解题思路分析： 法一：用待定系数法这个常规方法比较困难，考虑从特殊情形着手。为了保证两点（x，y），（4x+2y， x+3y）同时在直线上， 令      y3xy y2x4x 解之得      0y 0x 可知直线过原点，其方程特征为 Ax+By=0（即常数项为 0），下面再确定参数 A、B。 ∵ 点（4x+2y，x+3y）在直线上 ∴ A（4x+2y）+B(x+3y)=0 ∴ (4x+B)x+(2A+3B)y=0 设方程表示的直线其实就是直线 Ax+By=0 ∴ B B3A2 A BA4  ∴ 2A2-AB-B2=0 ∴ A=B，或 B=-2A ∴ 直线方程为 x+y=0 或 x-2y=0 法二：若用待定系数法，只能选用两个参数 设：y=kx+b 则 x+3y=k(4x+2y)+b ∴ x+3(kx+b)=4kx+2k(kx+b)+b ∴ (2k2+k-1)x+2(k-1)b=0 ∵ x∈R ∴      0b)1k(2 01kk2 2 ∴      0b 2 1k 或      0b 1k ∴ 直线：x-2y=0，或 x+y=0 例 4、已知△ABC 中，A(1，3）， AB、AC 边上的中线所在直线方程分别为 x-2y+1=0，y-1=0 求△ABC 各边所在直线方程。 解题思路分析： 尽可能画出准确的示意图。 设 AB、AC 中点分别为 E、F 显然求各边所在直线斜率有一定困难，因中线与中点有关，中点 又与三角形顶点相关，均考虑求△ABC 的顶点坐标。由已知两点的几 何条件求直线方程。 ∵ C∈CE，CE 方程为 x-2y+1=0 ∴ 可设点 C(2y0-1，y0)，则点 F(y0， 2 3y0  ) ∵ F∈BC，BF 方程 y-1=0 ∴ 012 3y0  ∴ y0=-1 ∴ C(-3，-1) 同理可求得 B（5，1） ∴ △ABC 三边所在直线方程为 AB：x+2y-7=0 BC：x-4y-1=0 AC：x-y+2=0 五、同步练习 （一）选择题 1、直线： 14 y 3 x  的倾斜角是 A、 3 4arctan B、 )3 4arctan( C、 )3 4arctan( D、 )3 4arctan( 2、a、b∈N，则过不同三点（a，0），（0，b），（1，3）的直线条数为 A、1 B、2 C、3 D、多于 3 3、点 A（3，0）， B（0，4），动点 P（x，y）在线段 AB 上运动，则(xy)max 为 A、3 B、 3 C、 4 3 D、 49 144 4、已知点 A（3，3）、 B（-1，5）、直线：y=kx+1 与线段 AB 有公共点，则 k 取值范围是 A、(∞，- 2 1 )∪(- 2 1 ,+∞) B、[-4，- 2 1 )∪(- ]3 2,2 1 C、[-4， 3 2 ] D、（ -∞，-4]∪[ 3 2 ，+∞） 5、直线：Ax+By+C=0 过第一、二、三象限，则 A、      0BC 0AB B、      0BC 0AB C、      0BC 0AB D、      0BC 0AB 6、直线：(m+2)x-(m-2)y-2m=0，直线 x 轴上截距为 3，则 m 等于 A、6 B、-6 C、 5 6 D、 5 6 7、直线 2x-y-4=0 绕它与 x 轴的交点逆时针旋转 450 所得直线方程是 A、x-3y-2=0 B、3x-y+6=0 C、x-y-2=0 D、3x+y-6=0 8、等腰△AOB 中，AO=AB，点 O（0，0）， A（1，3），点 B 在 x 轴正半轴上，则直线 AB 方程为 A、y-1=3(x-3) B、y-1=-3(x-3) C、y-3=3(x-1) D、y-3=-3(x-1) （二）填空题 9、过点（2，1），且倾斜角α 满足 sinα = 5 4 的直线方程是______________________。 10、过点（1，2）且在 x 轴、y 轴上的截距相等的直线方程是________________。 11、已知直线 y=kx+b，当 x∈[-3，4]时，y∈[-8，13]，则此直线方程是____________。 12、直线与 x 轴、y 轴的正向交于 A、B，S△AOB=2，且|AO|-|BO|=3，则直线方程________________。 13、直线 3x-4y+k=0 在两坐标轴上截距之积为 2，则实数 k=__________。 14、若直线(a-1)x+(3-a)y+a=0 在两坐标轴上截距相等，则实数 a=____________。 15、已知直线过点（1，-1）且倾斜角等于直线 y=2x+1 的倾斜角的两倍，则直线方程______________。 （三）解答题 16、已知直线过点 P（-1，3）且与 x 轴、y 轴分别交于 A、B，若线段中点为 P，求方程。 17、直线过 P（-2，1），斜率为 k（k>1），将直线绕点 P 逆时针方向旋转 450 得直线 m，若直线和 m 分别与 y 轴交于 Q、R 两点，则当 k 为何值时，△PQR 面积最小？求出面积的最小值。 18、已知两直线 a1x+b1y+1=0 和 a2x+b2y+1=0 都过点 P（2，3），求经过两点 Q1（a1，b1）， Q2(a2，b2) 的直线方程。 19、A 是直线：y=3x 上一点，且 A 在第一象限内，直线 AB 交 x 轴正半轴于 C，求使△AOC 面积最小 时 A 点坐标。 20、已知 3A+4B+5C=0，求直线：Ax+By+C=0 必过某定点 P，并求点 P 坐标。 六、参考答案 （一）选择题 1、C。 3 4k  ， 3 4tan  ，∵α ∈[0，π ），∴α =π +arctan(- 3 4 ) 2、B。 ∵ a1 3 a b  ，∴ a1 33b  ，∵a、b∈N，∴1-a=±3，±1,当 a=2 时 b=6；当 a=4 时 b=4。 3、A。 P∈AB， 14 y 3 x  ，且 x≥0，y≥0。∵ 4 y 3 x  ≥ 3 xy 12 xy2  ，∴ xy ≤ 3 ，xy≤3。 4、D。 如图，直线表示过 P（0，1）的旋转线系， 3 2k PA  ， 4k PB  ， 当从 PA 逆时针旋转到 y 轴时，k≥ 3 2 ；当 从 y 轴逆时针旋转到 PB 时，k≤-4， ∴k≤-4，或 k≥ 3 2 。 5、D。 化一般式为斜截式 y=- B CxB A  ，当过第一、二、三象限时，k>0 且 b>0，∴ 0B A  且 0B C  ，∴ B A <0 且 0B C  ，∴AB<0 且 BC<0。 6、B。 7、D。 所求直线斜率   tan45tan1 tan45tank 0 0 （θ 为直线 2x-y-4=0 的倾斜角， 321 21k   。又直线过 （2，0），∴直线方程为 3x+y-6=0。 8、D。 kAB=-kAO=-3，∴直线 AB 方程 y-3=-3(x-1)。 （二）填空题 9、4x-3y-5=0，或 4x+3y-11=0。当α 为锐角时，tanα = ，k= 3 4 ，直线 y-1= 3 4 (x-2),即 4x-3y-5=0； 当α 为钝角时，tanα =- 3 4 ，k= 3 4 ，直线为 y-1=- 3 4 (x-2)，即 4x+3y-11=0。 10、2x-y=0，或 x+y-3=0。当截距为零时，设直线方程为 y=kx，令 x=1，y=2，得 k=2，直线方程为 2x-y=0；当截距不为零时，设直线方程为 x+y=a，令 x=1，y=2，则 a=3，直线方程为 x+y-3=0。 11、y=3x+1，或 y=-3x+4。记 f(x)=kx+b，当 k>0 时，f(x)在[-3，4]上递增，      13)4(f 8)3(f ，      1b 3k ； 当 k<0 时，f(x)在[-3，4]上递减，      8)4(f 13)3(f ，∴      4b 3k 。 12、x+4y-4=0。设直线： 1b y a x  （a>0，b>0），则      3ba 2ab2 1 ，      4a 1b 。 13、-24。令 x=0，y= 4 k ，令 y=0，x=- 3 k ，则 2)3 k(4 k  ，∴k=-24。 14、0，或 2。显然 a≠1，a≠3，令 x=0，y= 3a a  ；令 y=0，x= a1 a  。令 a1 a 3a a  ，解之得 a=0， 或 2。 15、4x+3y-1=0。设直线 y=2x+1 倾斜角为α ，则 tanα =2，   2tan1 tan22tank  = 3 4 ，∴直线 L 方程为 y+1=- 4 3 (x-1)，即 4x+3y-1=0。 （三）解答题 16、解：设 A（a，0）， B（0，b），则        32 b 12 a ，      6b 2a ∴ 直线方程 16 y 2 x  ，即 3x-y+6=0。 17、解；设直线倾斜角为α ，则直线 m 倾斜角为α +450，km=tan(α +450)= k1 k1   ∴ 直线方程：y-1=k(x+2) 直线 m 方程： )2x(k1 k11y   令 x=0 则 yQ=2k+1>0， k1 k3yk   <0 ∴ |PQ|=yQ-yR=2k+1- 1k k31k2k1 k3    ∴ 1k 3k1k2|x||PQ|2 1S PPQR   ]21k 2)1k[(2  ≥ )12(4  当且仅当 k-1= 1k 2  ，k= 12  ，k=1- 2 （舍）时 )12(4Smin  18、解：由已知得      01b3a2 01b3a2 22 11 ∴ （a1，b1）， (a2，b2)均是方程 2x+3y+1=0 的解 ∴ 点 Q1(a1，b1)，Q2(a2，b2)均在方程 2x+3y+1=0 表示的直线上 ∵ 过两点的直线唯一 ∴ 直线 Q1、Q2 方程为 2x+3y+1=0 19、解：（1）当 AB 斜率存在时，设 A(t，3t)（t>0） ∵ kAB=kBC ∴ Cx3 2 3t 2t3   ∴ 2t3 t7x C  ∵ 点 C 在 x 轴正半轴上 ∴ xC>0 ∴ t> 3 2 令 u=3t-2 则 S= )4u 4u(6 7 u )3 2u( 2 21 2    ≥ 3 28 当且仅当 u=±2（舍负），t= 3 4 时， 3 28Smin  ，此时 A（ 3 4 ，4） （2）当 AB 斜率不存在时，A（3，9）， S= 2 27 ∵ 3 28 2 27  ∴ 当 A 为（ ，4）时， 3 28)S( minAOC  20、解：∵ 3A+4B+5C=0 ∴ )B4A3(5 1C  代入直线方程得 Ax+By- 5 1 (3A+4B)=0 ∴ 5 4)5 3x(B Ay  ∴ )5 3x(B A 5 4y  由方程特征可知，这是表示过定点（ 5 4,5 3 ）的旋转直线系 ∴ P（ ）